Simulace 127qubitového kicked Isingova modelu

V tomto průvodci používáme balíček pauli-prop ke klasické simulaci časové dynamiky 127qubitového kicked Isingova modelu na heavy-hex mřížce a k aproximaci magnetizace jednoho místa, $\langle Z_{62} \rangle$. Uvažovaný hamiltonián je:

$H = -J\sum\limits_{\langle i,j \rangle} Z_iZ_j + h\sum\limits_iX_i$

kde $J>0$ popisuje vazbu mezi nejbližšími sousedními spiny, $i<j$, a $h$ je globální příčné pole. Trotterův rozklad prvního řádu časově vyvinutého operátoru bude implementován jako kvantový obvod, $U$, o $20$ Trotterových krocích. Vazebná konstanta $J$ bude pevně nastavena na $J=-\frac{\pi}{2}$, takže $U$ je cliffordovský vždy, když $h\mod\frac{\pi}{2}=0$.

Pracovní postup:

• Vytvoř kvantové obvody implementující trotterizovaný Isingův model

  • Měň $h$ mezi Cliffordovými body, $0.0$ a $\frac{\pi}{2}$

• Vyber místo uprostřed mřížky (qubit $62$) a odhadni magnetizaci po $20$ Trotterových krocích pro každý obvod

• Pozoruj pokles magnetizace z $1.0$ na $0.0$, jak se $h$ přesouvá z jednoho Cliffordova bodu do druhého

Vytvoření obvodů

Nejprve použijeme FakeSherbrooke z qiskit-ibm-runtime, abychom získali indexy hran pro mapu propojení 127qubitového QPU Eagle. Jakmile máme indexy hran, vytvoříme Trotterovy obvody pro různé hodnoty $h$, které chceme simulovat. Obvody implementují trotterizaci hamiltoniánu prvního řádu s 20 Trotterovými kroky a 5420 hradly.

# Added by doQumentation — installs the packages this notebook needs if they are missing
import importlib.util

_needed = {"matplotlib": "matplotlib", "numpy": "numpy", "pauli_prop": "pauli-prop", "qiskit": "qiskit", "qiskit_ibm_runtime": "qiskit-ibm-runtime"}
_missing = [pip for module, pip in _needed.items()
            if importlib.util.find_spec(module) is None]
# One at a time, so a package that fails to install does not block the others
for _pip in _missing:
    %pip install -q {_pip}
if not _missing:
    print("\u2713 All required packages are installed")

import numpy as np
from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit_ibm_runtime.fake_provider import FakeSherbrooke

# Get the edges in the device coupling map
backend = FakeSherbrooke()
edges = backend.coupling_map.get_edges()

# Num Trotter steps
num_steps = 20

# Create Trotter circuits with varying global fields
hs = [i * np.pi / 32 for i in range(17)]
circuits = []
for h in hs:
    circuit = QuantumCircuit(backend.num_qubits)
    for _ in range(num_steps):
        circuit.rx(h, [i for i in range(backend.num_qubits)])
        for edge in edges:
            circuit.rzz(-np.pi / 2, edge[0], edge[1])
    circuits.append(circuit)

Simulace časové dynamiky pomocí Pauliho propagace

Dále určíme observabli $O$, kterou chceme měřit. V tomto případě odhadujeme $\langle Z_{62} \rangle$.

Abychom prozkoumali magnetizaci mezi Cliffordovými body, přibližně propagujeme $O$ na začátek obvodu $U$, čímž vznikne nová observabla $O^\prime \approx U^{\dagger}OU$.

Během propagace počet členů ve vyvíjené observabli roste exponenciálně s počtem hradel, takže je obvykle nutné omezit, jak velká může být. Zde omezujeme počet členů v $O^\prime$ na $10^5$ a zkracujeme členy s koeficienty menšími než $10^{-5}$. Zkracování členů způsobuje určitou chybu. Jakmile máme $O^\prime$, můžeme snadno odhadnout střední hodnotu, $\langle0|U^{\dagger}OU|0\rangle = \langle0|O^\prime|0\rangle$, sečtením koeficientů diagonálních členů v $O^\prime$ (členy sestávající na všech qubitech pouze z I nebo Z).

Nastavením frame='h' určujeme, že chceme observabli vyvíjet v Heisenbergově obraze ($U^{\dagger}OU$). Pro Schrödingerovu evoluci použij frame=s ($UOU^{\dagger}$).

import time

from pauli_prop import propagate_through_circuit
from qiskit.quantum_info import Pauli, SparsePauliOp

# Z_62 observable
id_pauli = Pauli("I" * backend.num_qubits)
observable = SparsePauliOp(id_pauli.dot(Pauli("Z"), [62]))

# Estimate the single-site magnetization for varying magnetic fields
times = []
approx_evs = []
for circuit in circuits:
    st = time.perf_counter()
    propagated_obs = propagate_through_circuit(
        observable, circuit, 100_000, 1e-5, frame="h"
    )[0]
    times.append(time.perf_counter() - st)
    approx_evs.append(
        float(
            propagated_obs.coeffs[~propagated_obs.paulis.x.any(axis=1)].sum()
        )
    )
print(f"Finished {len(circuits)} simulations in {sum(times):.0f}s")

Finished 17 simulations in 494s

Vizualizace

Nakonec vykreslíme magnetizaci jako funkci $h$. Pro $h=0$ obvod neovlivňuje počáteční stav ve výpočetní bázi a víme, že $\langle0|O|0\rangle = 1.0$. S rostoucí vzdáleností $h$ od $0$ magnetizace monotónně klesá, dokud $h$ nedosáhne dalšího Cliffordova úhlu, $\frac{\pi}{2}$, a magnetizace nezkonverguje k $0$.

import matplotlib.pyplot as plt

plt.xlabel(r"$R_x$ angle $\theta_h$")
plt.ylabel(r"$\langle Z_{62} \rangle$")
plt.plot(hs, approx_evs, marker="o")

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x123f68b00>]