Použití různých Lp-norem pro zkracování Pauliho členů

Poznámka: Před čtením tohoto průvodce si přečti průvodce Zkracování Pauliho členů, který popisuje zkracování Pauliho členů s nízkou vahou zabudované v metodě backpropagate na základě zadaného TruncationErrorBudget. V tomto průvodci se seznámíš s klíčovým argumentem metody backpropagate p_norm, který lze použít ke změně Lp-normy používané k odhadu chyby vzniklé zkrácenými Pauliho členy.

Sestavení ukázkového obvodu

Tento průvodce používá stejný ukázkový obvod jako průvodce Zkracování Pauliho členů:

# Added by doQumentation — installs the packages this notebook needs if they are missing
import importlib.util

_needed = {"matplotlib": "matplotlib", "qiskit": "qiskit", "qiskit_addon_obp": "qiskit-addon-obp", "qiskit_addon_utils": "qiskit-addon-utils", "rustworkx": "rustworkx"}
_missing = [pip for module, pip in _needed.items()
            if importlib.util.find_spec(module) is None]
# One at a time, so a package that fails to install does not block the others
for _pip in _missing:
    %pip install -q {_pip}
if not _missing:
    print("\u2713 All required packages are installed")

import rustworkx.generators
from qiskit.synthesis import LieTrotter
from qiskit_addon_utils.problem_generators import (
    PauliOrderStrategy,
    generate_time_evolution_circuit,
    generate_xyz_hamiltonian,
)
from qiskit_addon_utils.slicing import combine_slices, slice_by_gate_types

# Generate a linear chain of 10 qubits
num_qubits = 10
linear_chain = rustworkx.generators.path_graph(num_qubits)

# Use an arbitrary XY model
hamiltonian = generate_xyz_hamiltonian(
    linear_chain,
    coupling_constants=(0.05, 0.02, 0.0),
    ext_magnetic_field=(0.02, 0.08, 0.0),
    pauli_order_strategy=PauliOrderStrategy.InteractionThenColor,
)
# Evolve for some time
circuit = generate_time_evolution_circuit(
    hamiltonian, synthesis=LieTrotter(reps=3), time=2.0
)
# slice the circuit by gate type
slices = slice_by_gate_types(circuit)

# For visualization purposes only, recombine the slices with barriers between them and draw the resulting circuit
combine_slices(slices, include_barriers=True).draw("mpl", fold=50, scale=0.6)

Definuj observabli pro celkovou magnetizaci:

from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp

obs = SparsePauliOp.from_sparse_list(
    [("Z", [i], 1.0) for i in range(num_qubits)], num_qubits=num_qubits
)

Pro srovnání vypočítej přesnou střední hodnotu:

from qiskit.primitives import StatevectorEstimator

estimator = StatevectorEstimator()
job = estimator.run([(circuit, obs)])
res = job.result()
exact_exp = res[0].data.evs
print(exact_exp)

9.318197859862146

Použití normy L1

Ve výchozím nastavení, jak už jsi viděl(a) v průvodci Zkracování Pauliho členů, je p_norm=1, což znamená, že se chyba odhaduje jako:

$$|\langle\psi|\Delta|\psi\rangle| \leq \sum_{P\in\mathcal{T}} |c_P|$$

kde $\psi$ je kvantový stav, $\Delta$ je skutečný rozdíl mezi přesnou a zkrácenou observablí (který není znám), $\mathcal{T}$ je množina zkrácených Pauliho členů a $c_P$ je koeficient Pauliho členu. Tato nerovnost je přesná, ale ve většině scénářů velmi volná horní mez. Tento průvodce zpětně propaguje šest řezů ukázkového obvodu s konstantní chybou na řez 0.001. Tuto hodnotu je třeba chápat jako rozpočet v rámci zadané p_norm.

from qiskit_addon_obp.utils.truncating import setup_budget

l1_truncation_error_budget = setup_budget(max_error_per_slice=0.001, p_norm=1)
print(l1_truncation_error_budget)

TruncationErrorBudget(per_slice_budget=[0.001], max_error_total=inf, p_norm=1)

from qiskit_addon_obp import backpropagate

max_slices = 6
l1_bp_obs, l1_remaining_slices, l1_metadata = backpropagate(
    obs,
    slices[-max_slices:],
    truncation_error_budget=l1_truncation_error_budget,
)
l1_reduced_circuit = combine_slices(
    slices[:-max_slices] + l1_remaining_slices
)
print(
    f"Backpropagated {max_slices - len(l1_remaining_slices)} circuit slices."
)
print(
    f"New observable contains {len(l1_bp_obs)} terms and {len(l1_bp_obs.group_commuting(qubit_wise=True))} commuting groups."
)

Backpropagated 6 circuit slices.
New observable contains 116 terms and 10 commuting groups.

Nyní můžeme vypočítat střední hodnotu zpětně propagované observably i chybu vůči přesné referenční hodnotě:

estimator = StatevectorEstimator()
job = estimator.run([(l1_reduced_circuit, l1_bp_obs)])
res = job.result()
l1_exp = res[0].data.evs
l1_error = exact_exp - l1_exp
print(l1_exp, l1_error)

9.317869899338842 0.00032796052330397174

Nakonec můžeme vykreslit chybu vzniklou při zpětné propagaci každého řezu i akumulovanou chybu. Akumulovaná chyba je součtem chyb jednotlivých řezů. Vidíme, že akumulovaná chyba je velmi volná horní mez skutečné chyby.

from matplotlib import pyplot as plt
from qiskit_addon_obp.utils.visualization import (
    plot_accumulated_error,
    plot_slice_errors,
)

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))
axes[1].plot([6], [l1_error], "x", color="red", label="actual error")
plot_slice_errors(l1_metadata, axes[0])
plot_accumulated_error(l1_metadata, axes[1])

Použití normy L2

Lze argumentovat, že norma L2 je lepší aproximací vzniklé chyby než norma L1. Důvodem je, že můžeme předpokládat, že kvantový stav $|\psi\rangle$ je vybrán z Haarova náhodného souboru, v kterémžto případě vzniklá chyba sleduje rozdělení s nulovou střední hodnotou a rozptylem, který lze přibližně omezit normou L2:

$$|\langle\psi|\Delta|\psi\rangle| \lesssim \left( \sum_{P\in\mathcal{T}} |c_P|^2 \right)^{1/2}$$

I když tato mez není přesná, bude porušena jen v patologických případech. Znovu zpětně propagujeme šest řezů ukázkového obvodu s maximální chybou na řez 0.001 (tentokrát interpretovanou v normě L2).

l2_truncation_error_budget = setup_budget(max_error_per_slice=0.001, p_norm=2)
print(l2_truncation_error_budget)

TruncationErrorBudget(per_slice_budget=[0.001], max_error_total=inf, p_norm=2)

max_slices = 6
l2_bp_obs, l2_remaining_slices, l2_metadata = backpropagate(
    obs,
    slices[-max_slices:],
    truncation_error_budget=l2_truncation_error_budget,
)
l2_reduced_circuit = combine_slices(
    slices[:-max_slices] + l2_remaining_slices
)
print(
    f"Backpropagated {max_slices - len(l2_remaining_slices)} circuit slices."
)
print(
    f"New observable contains {len(l2_bp_obs)} terms and {len(l2_bp_obs.group_commuting(qubit_wise=True))} commuting groups."
)

Backpropagated 6 circuit slices.
New observable contains 84 terms and 6 commuting groups.

Opět vypočítáme střední hodnotu zpětně propagované observably a chybu vůči přesné referenční hodnotě:

estimator = StatevectorEstimator()
job = estimator.run([(l2_reduced_circuit, l2_bp_obs)])
res = job.result()
l2_exp = res[0].data.evs
l2_error = exact_exp - l2_exp
print(l2_exp, l2_error)

9.317829770853422 0.00036808900872387085

Vykreslení vzniklých chyb na řez a akumulované chyby dává podobný obraz jako dříve.

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))
axes[1].plot([6], [l2_error], "x", color="red", label="actual error")
plot_slice_errors(l2_metadata, axes[0])
plot_accumulated_error(l2_metadata, axes[1])

Všimni si, že akumulovaná chyba je opět součtem chyb jednotlivých řezů. Jde o další volnou mez, a to kvůli Minkowského nerovnosti, protože tuto mez musíme počítat rekurzivně:

$$|\langle\psi|\Delta_{i}|\psi\rangle| \leq |\langle\psi|\tilde{\Delta}_{i-1}|\psi\rangle| + \left( \sum_{P\in\mathcal{T_i}} |c_P|^2 \right)^{1/2} = |\langle\psi|\tilde{\Delta}_{i}|\psi\rangle|$$

kde nový dolní index $i$ označuje aktuální iteraci řezu, takže $\Delta_i$ je skutečná chyba v iteraci zpětné propagace $i$, $\tilde{\Delta}_{i-1}$ aproximovaná chyba zkrácení z iterace $i-1$ a $\mathcal{T}_i$ množina Pauliho členů zkrácených v iteraci $i$.