Matematický formalismus

Při úloze učení Pauliho šumu pro množinu Cliffordových hradel je běžnou analytickou technikou sledovat, jak se jednotlivé Pauliho operátory transformují posloupností aplikací hradel (za předpokladu, že hradla jsou Cliffordova a šum je Pauliho kanál, bude se jediný Pauliho operátor vždy zobrazovat na jiný Pauliho operátor až na skalár, který je funkcí šumu). Evoluci libovolného stavu touto posloupností lze zjevně zachytit lineární kombinací takových trajektorií, ale za předpokladu, že stav vždy připravujeme jako Pauliho vlastní stav a výsledky vždy měříme a zpracováváme tak, abychom spočítali střední hodnotu Pauliho operátoru, bude vztah mezi střední hodnotou a parametry šumového modelu vždy záviset pouze na jediné takové trajektorii. To plyne z jednoduchého faktu, že počáteční stav je lineární kombinací Pauliho operátorů, každé hradlo a šumový model zobrazují Pauliho operátory na Pauliho operátory a zachovávají jejich ortogonalitu a konečná střední hodnota „vybírá“ před měřením pouze jeden z Pauliho operátorů v konečném rozkladu.

Tento typ úvah se objevuje v mnoha paralelních výzkumných liniích v učení šumu, včetně literatury o učení Pauliho šumu množin hradel [1, 2], literatury o ACES [3] a literatury o cycle benchmarkingu [4]. Tyto úvahy byly dále zobecněny v [5] na hradla Clifford-MCM (Cliffordovo hradlo následované projektivním měřením uprostřed obvodu). Tento balíček nejvíce vychází z [1, 5]. I když to není explicitně pojmenováno, přijímáme formalismus Pattern Transfer Graph (PTG) pro popis toho, jak se Pauliho operátory vyvíjejí učícími obvody, což poskytuje přímou datovou reprezentaci cest grafem.

Následující text je přehledem některých základních matematických konceptů z literatury. Primárně slouží ke sjednocení notace a jako koncepční dokumentační reference pro zbytek balíčku.

1. Pozadí

1.1 Notace

Pro $K \in \mathbb{N}$ nechť $[K] = \{0, 1, \dots, K - 1\}$. Pro konečnou množinu $S \subset \mathbb{N}$ indexů qubitů nechť $\mathcal{P}^S$ označuje množinu nefázovaných Pauliho operátorů působících na tyto qubity. Všimni si, že prvky $\mathcal{P}^S$ chápeme jako funkce zobrazující $S \rightarrow \{I, X, Y, Z\}$, takže pro libovolné $P \in \mathcal{P}^S$ a $T \subseteq S$ označuje $P|_T$ restrikci $P$ na podmnožinu qubitů $T$. V tomto duchu pro disjunktní množiny $S, T$ a $P \in \mathcal{P}^S$ a $Q \in \mathcal{P}^T$ označuje $P \otimes Q$ prvek $\mathcal{P}^{S \cup T}$ takový, že $P \otimes Q |_S = P$ a $P \otimes Q |_T = Q$. Tato notace je užitečná, protože se vyhneme explicitnímu řešení pořadí podsystémů a usnadňuje popis restrikcí.

Pro konečné podmnožiny $M \subset \mathbb{N}$ označujeme $\mathbb{Z}_2^M$ množinu bitových řetězců, jejichž prvky jsou indexovány pomocí $M$. Podobně jako výše chápeme prvky jako funkce zobrazující $M \rightarrow \mathbb{Z}_2$, takže můžeme snadno popisovat podřetězce pomocí restrikcí množiny indexů.

Konečně pro matici $X$ používáme $| X \rangle\!\rangle$ k označení její vektorizace. Vzhledem k omezenému způsobu, jakým tuto notaci používáme, není ve skutečnosti nutné volit konkrétní konvenci vektorizace. Pro klasický bitový řetězec $m$ používáme zkratku $| m \rangle\!\rangle = | | m \rangle\langle m | \rangle\!\rangle$.

1.2 Kvantové instrumenty

Kvantová operace produkující klasické bity $m \in \mathbb{Z}_2^M$ (například výsledek měření) se obecně modeluje jako lineární zobrazení tvaru:

$$\rho \mapsto \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m(\rho) \otimes | m \rangle\langle m |,$$

kde množina $\{\mathcal{E}_m: m \in \mathbb{Z}_2^M\}$ jsou úplně pozitivní zobrazení a $\sum_m \mathcal{E}_m$ zachovává stopu. Množina úplně pozitivních zobrazení $\{\mathcal{E}_m\}$ splňujících tyto vlastnosti se nazývá kvantový instrument. Unitární hradlo je speciální případ instrumentu s jediným prvkem, který je unitární operací.

2. Zašuměná hradla Clifford-MCM-reset

Formalismus použitý v tomto balíčku předpokládá, že každé hradlo v charakterizované množině hradel sestává z následující posloupnosti operací na $K$ qubitech:

1. Cliffordova operace na všech qubitech.

2. Projektivní měření uprostřed obvodu podél $Z$ na nějaké podmnožině qubitů $M \subseteq [K]$.

3. Reset uprostřed obvodu do základního stavu $Z$ na nějaké podmnožině qubitů $R \subseteq [K]$.

Jde o obecnou třídu operací, která zahrnuje unitární Cliffordova hradla, měření, přípravu stavu a libovolnou kombinaci výše uvedeného. Všimni si, že předpokládáme, že měření a reset jsou vždy podél osy $Z$ každého qubitu. I když to není striktně vyžadováno, je to běžný rys mnoha modalit kvantových počítačů a umožňuje to zjednodušené reprezentace a analýzu.

Jak je nastíněno v [5, 6] pro případ bez resetu, pokud je na zašuměnou instanci takového hradla aplikována specifická strategie twirlingu, lze působení výsledné operace matematicky modelovat jako uniformní Pauliho instrument. To znamená, že v notaci kvantových instrumentů platí $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$, kde $G$ je Cliffordova unitární operace a:

$$\mathcal{U}_m = \sum_{a,b \in \mathbb{Z}_2^M} \Lambda_{a,b} \otimes | m + a \rangle\!\rangle\langle\!\langle m + b |,$$

kde každé $\Lambda_{a,b}$ je podnormalizovaný Pauliho kanál na neměřených qubitech $N = [K] \setminus M$. Z toho, že jde o kvantový instrument, plyne, že $\sum_{a,b} \Lambda_{a,b}$ také zachovává stopu. Několik poznámek:

• Počáteční netwirlovaný šum je modelován tak, že zahrnuje „kvantové“ i „klasické“ chyby: chybné operace na kvantových registrech i chyby při hlášení naměřené hodnoty.

• Šumové zobrazení $\Lambda_{a,b}$ je nezávislé na výsledku měření $m$.

Slovy: jeden člen ve výše uvedeném součtu představuje pozorování výsledku měření $m$, když měřený stav byl $| m + b \rangle$ (chybná klasifikace, pokud $b \neq 0$), a když výstupní stav měřicího registru je $| m + a \rangle$ („špatný“ stav, pokud $a \neq 0$). Zobrazení $\Lambda_{a,b}$ současně kóduje působení na neměřené qubity (podmíněné chováním měření) i pravděpodobnost konkrétního chování měření (prostřednictvím normalizace).

Všimni si, že se zde nezabýváme detaily strategie twirlingu: stačí, že taková strategie existuje a převádí kanál do výše uvedeného tvaru. Všimni si také, že existují „jemnější“ strategie twirlingu, které mohou tvar Pauliho kanálů dále omezit [7]; my však bereme výše uvedený tvar jako nejobecnější matematickou reprezentaci, kterou uvažujeme.

V lemmatu 1 z [5] je ukázáno, že $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$ lze přepsat jako:

$$\mathcal{E}_m = \frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{x, y \in \mathbb{Z}_2^M, Q \in \mathcal{P}^N} (-1)^{m \cdot (x + y)} \lambda^Q_{x, y}| Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes Z^x) |.$$

pro nějaká reálná čísla $\lambda_{x,y}^Q$, která se nazývají fidelity instrumentu.

Přidání resetu do tohoto obrazu je relativně přímočaré. Zašuměnou operaci resetu na qubitech $R \subset [K]$ lze modelovat podle rozkladu:

$$\frac{1}{2^{|R|}}\sum_{r \in \mathbb{Z}_2^{R}} \lambda_r | Z^r \rangle\!\rangle\langle\!\langle I_R |.$$

Výše uvedený tvar explicitně využívá předpoklad, že reset probíhá podél osy $Z$ každého qubitu. Šum v operaci je zakódován ve fidelitách resetu $\lambda_r$, které jsou jednoduše indexovány podmnožinami qubitů.

Analog rovnice (1), který zahrnuje operaci resetu na konci, lze získat jednoduše jejím složením s rovnicí (2). Toto složení po určitém zjednodušení dává:

$$\begin{split} \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} (-1)^{m \cdot (x + y|_M)} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |. \end{split}$$

Tento rozklad ukazuje, že počet fidelit $\lambda^Q_{x, y}$ je

$$4^{|N \setminus R|} 2^{|M|}2^{|M \cup R|} = 4^{K}2^{|M|}2^{-|M \cup R|} = 4^K 2^{-|R \setminus M|}.$$

Uvažuj limitní případy: (1) Pro žádné měření ani reset je $M = R = \emptyset$ a výraz dává $4^K$, počet bezfázových Pauliho operátorů na $K$ qubitech. (2) Pro $M = \emptyset$ a $R=[K]$ to dává $2^K$, což je počet podmnožin $[K]$. Nakonec (3) pro $M = [K]$ a $R = \emptyset$ to dává $4^K$. Všimni si, že to může zprvu působit překvapivě: u standardního učení se obvykle uvažuje, že měření a reset mají stejný počet fidelit: $2^K$. Zde se však hradlo se samým měřením v tomto kontextu chápe nikoli jako koncové měření, ale jako MCM, a proto jsou zahrnuty také fidelity odpovídající neidentickým výstupům měření (například $y \neq 0$ v rovnici (3)).

Nakonec je důležité poznamenat, že jakákoli strategie twirlingu dávající tvar z rovnice (1) v případě bez resetu platí stejně dobře i pro netriviální případ s resetem s jednoduchou úpravou. Potenciální problém je, že taková strategie twirlingu může vyžadovat operace na měřených qubitech po měření. Pokud je tedy qubit měřen a resetován, zdánlivě implementace strategie vyžaduje vkládání operací uvnitř hradla mezi měření a reset. Vzhledem k povaze resetu však žádné takové operace nemají žádný účinek a lze je jednoduše vynechat, přičemž se stále získá stejná požadovaná struktura.

3. Formalismus cest

Jak bylo popsáno v úvodu, všechny učící algoritmy pro šum Pauliho typu na Cliffordových hradlech jsou založeny na sledování toho, jak se jednotlivé Pauliho operátory vyvíjejí obvodem a po cestě získávají faktory šumové fidelity. Střední hodnoty obvodu složeného z takových hradel proto souvisejí jednoduše se součiny základních fidelit jednotlivých hradel a parametry modelu lze tímto způsobem odvodit inverzí jakéhokoli řídkého zobrazení parametrů na fidelity, které se předpokládá.

V [1] je to v kontextu množin unitárních hradel formalizováno jako Pattern Transfer Graph (PTG): orientovaný graf popisující všechny možné experimenty sestávající z prvků množiny hradel a vrstev jednoqubitových Cliffordových hradel (která se považují za dokonalé, neboli „volné“ operace). To bylo zobecněno v [5] na množiny hradel s měřeními uprostřed obvodu. V obou případech je každý experiment popsán sledováním jediného Pauliho operátoru obvodem za předpokladu, že se v každém místě měření počítá určitá pozorovatelná. Zde grafové konstrukce ani konstrukce cest přímo nepřipomínáme; uvádíme však fakta potřebná k jejich zdůvodnění v naší vlastní notaci a se zahrnutím resetů.

Zatímco sledování jediného Pauliho operátoru obvodem může být v případě množiny unitárních hradel intuitivní, v obecnějším případě Clifford-MCM-reset to tak zřejmě neplatí kvůli nedeterministické povaze měření. Následující tvrzení tento obraz obnovuje i v obecnějším případě [5]:

Tvrzení 1

Pro libovolné $x \in \mathbb{Z}_2^M$, $y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R}$ a $Q\in \mathcal{P}^{N \setminus R}$ platí:

$$\langle\!\langle Q \otimes Z^y |\otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} |_M \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right) = \lambda_{x,y}^Q\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$$

Jinými slovy, pokud spočítáme střední hodnotu $Z^{x + y|_M}$ na klasickém registru, který MCM vypíše, pak evoluce pozorovatelné v „Heisenbergově obrazu“ hradlem Clifford-MCM-reset zobrazuje $Q \otimes Z^y \rightarrow Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x$. Samotný tento fakt umožňuje obnovit analýzu podobnou PTG i mimo případ množiny unitárních hradel: s určitým zpracováním výsledků měření lze i hradla s měřeními a resety chápat jako deterministicky zobrazující jeden Pauliho operátor na jiný.

Před důkazem zapíšeme rovnici (3) sugestivnějším způsobem. Všimni si, že pro $x, y \in \mathbb{Z}_2^M$ platí $Z^{x+y} = \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} (-1)^{m \cdot (x + y)}| m \rangle\langle m |$, a proto (v notaci superoperátorů) máme:

$$\begin{split} \begin{aligned} \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle_M = \frac{1}{2^{2|M|+|N|}}\sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) | \otimes | Z^{x + y|_M} \rangle\!\rangle_M, \end{aligned} \end{split}$$

kde jsme použili rovnici (3) a sloučili členy a dolní index $M$ používáme k označení registru klasického výsledku měření, se kterým výše zacházíme v podobné notaci jako s kvantovými registry.

Důkaz. Platí:

$$\begin{split} \begin{aligned} &\langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right)\\ &= \langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left( \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^P_{a,b} | P \otimes Z^b \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \otimes | Z^{a + b|_M} \rangle\!\rangle \right) \\ &=\frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N \setminus R}}} \lambda^P_{a, b}\underbrace{\langle Q \otimes Z^y, P \otimes Z^b \rangle}_{2^{|M| + |N|} \delta_{P, Q}\delta_{y,b}} \underbrace{\langle Z^{x + y|_M}, Z^{a + b|_M} \rangle}_{2^{|M|}\delta_{x+y|_M,a+b|_M}}\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \end{aligned} \end{split}$$

Nakonec si všimni, že $\delta_{y,b}\delta_{x+y|_M,a+b|_M} = \delta_{y,b}\delta_{x,a}$, a proto se poslední člen výše zredukuje na jediný člen $\lambda^Q_{x,y} \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$, což dává požadovaný výsledek.

Pro pokračování za tímto bodem viz [5]: definice PTG, cesty PTG a důkaz, že každá správně definovaná cesta odpovídá experimentu.

Reference

[1]

Senrui Chen, Zhihan Zhang, Liang Jiang, and Steven T. Flammia. Efficient Self-Consistent Learning of Gate Set Pauli Noise. PRX Quantum, 7(1):010305, 2026. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/1pnv-t9px, doi:10.1103/1pnv-t9px.

[2]

Edward H. Chen, Senrui Chen, Laurin E. Fischer, Andrew Eddins, Luke C. G. Govia, Brad Mitchell, Andre He, Youngseok Kim, Liang Jiang, and Alireza Seif. Disambiguating pauli noise in quantum computers. PRX Quantum, pages, 2026. doi:10.1103/69wc-gzl6.

[3]

Steven T. Flammia. Averaged Circuit Eigenvalue Sampling. In 17th Conference on the Theory of Quantum Computation, Communication and Cryptography (TQC 2022), volume 232 of Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs), 4:1–4:10. Dagstuhl, Germany, 2022. Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum für Informatik. doi:10.4230/LIPIcs.TQC.2022.4.

[4]

Alexander Erhard, Joel J. Wallman, Lukas Postler, Michael Meth, Roman Stricker, Esteban A. Martinez, Philipp Schindler, Thomas Monz, Joseph Emerson, and Rainer Blatt. Characterizing large-scale quantum computers via cycle benchmarking. Nature Communications, 10(1):5347, 2019. doi:10.1038/s41467-019-13068-7.

[5]

Zhihan Zhang, Senrui Chen, Yunchao Liu, and Liang Jiang. Generalized Cycle Benchmarking Algorithm for Characterizing Midcircuit Measurements. PRX Quantum, 6(1):010310, 2025. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PRXQuantum.6.010310, doi:10.1103/PRXQuantum.6.010310.

[6]

Stefanie J. Beale and Joel J. Wallman. Randomized compiling for subsystem measurements. 2023. URL: http://arxiv.org/abs/2304.06599, doi:10.48550/arXiv.2304.06599.

[7]

Ewout van den Berg and Pawel Wocjan. Techniques for learning sparse Pauli-Lindblad noise models. Quantum, 8:1556, 2024. URL: https://quantum-journal.org/papers/q-2024-12-10-1556/, doi:10.22331/q-2024-12-10-1556.