Základy kvantové mechaniky

Úvod

V následujícím videu tě Olivia Lanes provede obsahem této lekce. Případně si můžeš otevřít video na YouTube pro tuto lekci v samostatném okně.

V předchozí lekci jsme se naučili, jak vytvořit provázaný stav dvou qubitů, známý jako „Bellův stav". Když jsme tento stav změřili, viděli jsme, že výsledky měření obou qubitů byly korelované: když byl jeden naměřen jako 0, byl i druhý naměřen jako 0, a když byl jeden 1, byl i druhý naměřen jako 1. Viděli jsme, že to je charakteristický znak kvantového provázání. Dnes se do tohoto stavu ponoříme hlouběji a prozkoumáme, co odhaluje o kvantové fyzice, která je základem kvantových výpočtů.

Bellův stav

Mnoho kvantových jevů, díky nimž se kvantové počítače chovají jinak než klasické počítače, je přítomno již v zdánlivě jednoduchém Bellově stavu, který jsme vytvořili v předchozí lekci. Vraťme se k tomu obvodu Bellova stavu:

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q qiskit

from qiskit import QuantumCircuit

qc = QuantumCircuit(2)
qc.h(0)
qc.cx(0, 1)
qc.measure_all()
qc.draw("mpl")

Obrázek výše představuje kvantový Circuit pro vytvoření Bellova stavu $\vert\Phi^+\rangle$. Dvě černé vodorovné čáry představují naše dva qubity a rámečky a další symboly na těchto čárách představují Gate nebo operace prováděné na příslušných qubitech. Šedá dvojitá čára je sběrnice klasických informací, která nám umožňuje ukládat klasické informace získané měřením obou qubitů. Ponoříme se do podrobností tohoto obvodu a výsledného Bellova stavu, abychom pochopili základy kvantových výpočtů.

Matematika kvantových výpočtů

Reprezentace kvantového stavu

Nejprve potřebujeme společný jazyk pro diskusi o kvantových stavech a obvodech. Existuje několik různých způsobů reprezentace kvantových stavů. Prvním je Diracova notace. V Diracově notaci stav vypadá takto:

$$\vert \Phi^+\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}} ( \vert 00 \rangle + \vert 11 \rangle )$$

Zde je stav zapsán uvnitř lomených závorek a svislých čar. Oba termíny představují dva možné výsledky měření daného stavu. Když tedy tento stav změříme, zjistíme buď, že oba qubity jsou ve stavu 0, nebo že oba jsou ve stavu 1. Výraz $\frac{1}{\sqrt{2}}$ se nazývá „normalizační konstanta". Je tam proto, aby součet čtverců všech koeficientů ve stavu byl roven $1$. Proč tomu tak je, si vysvětlíme později v části o měřeních.

Druhý způsob reprezentace stavu je ve standardním jazyce lineární algebry: jako vektor, kde každá složka vektoru představuje jiný možný výsledek měření. V této notaci by byl náš Bellův stav zapsán takto:

$$\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ~.$$

Podle konvence jsou složky vektoru seřazeny takto:

• První složka odpovídá dvouqubitovému stavu $\vert00\rangle$
• Druhá složce $\vert01\rangle$
• Třetí složce $\vert10\rangle$
• Čtvrtá složce $\vert11\rangle$

Jak se očekávalo, ve vektoru Bellova stavu $\vert\Phi^+\rangle$ jsou první a čtvrtá složka nenulové, zatímco druhá a třetí jsou nulové. Normalizační konstanta $1/\sqrt{2}$ zajišťuje, že délka vektoru je $1$.

Poznámka k pořadí qubitů

Qiskit používá řazení little endian. To znamená, že nejpravější qubit je považován za první (nebo nejméně významný) qubit a nejlevější qubit je nejvýznamnější. Když tedy zapišeme stav jako $\vert01\rangle$:

• nejpravější bit odpovídá qubitu $0$ a je ve stavu $\vert1\rangle$.
• nejlevější bit odpovídá qubitu $1$ a je ve stavu $\vert0\rangle$.

Reprezentace Gate

Stejně jako lze stavy reprezentovat jako vektory, lze Gate reprezentovat jako matice. Gate působí na stav tím, že jeho vektor transformuje na nový vektor.

Každý hradlo odpovídá specifické matici, která určuje, jak bude stav transformován. Tuto transformaci provádíme tak, že matici Gate násobíme s původním vektorem stavu, přičemž matice Gate je vlevo od vektoru stavu:

$$U |\psi\rangle$$

kde $U$ představuje matici Gate a $|\psi\rangle$ představuje vektor stavu.

Podívejme se na Hadamardův Gate jako příklad. Hadamardův Gate je jednoqubitový Gate (červený rámeček označený „H" ve schématu obvodu výše), který transformuje stav $\vert0\rangle$ na $\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert0\rangle+\vert1\rangle)$ a stav $\vert1\rangle$ na $\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert0\rangle-\vert1\rangle)$. V maticové notaci vypadá Hadamardův Gate takto:

$$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} ~.$$

Otestuj si porozumění

Pomocí maticového násobení ukaž, že Hadamardova matice transformuje stavy podle očekávání. (Pokud potřebuješ, můžeš se naučit, jak provádět maticové násobení.)

Odpověď

$$H |0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ~\checkmark$$$$H |1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} ~\checkmark$$

O maticích Gate je třeba mít na paměti několik věcí:

1. Jsou vždy čtvercové matice $N \times N$, kde $N$ je také dimenze vektoru stavu, na který jsou aplikovány. Například pokud máš pouze jeden qubit, vektor stavu je dvojdimenzionální a představuje dva možné stavy 0 a 1 qubitu. V tom případě by rozměry matice Gate aplikované na tento systém byly $2\times 2$.
2. Kvantové Gate jsou reverzibilní. Jinými slovy, lze najít jinou matici, která je inverzí daného Gate, jež vrátí akci Gate zpět a transformuje qubity do jejich původního stavu.
3. Kvantové Gate také zachovávají délku vektorů, které transformují. Vektory kvantových stavů budou mít vždy délku $1$ (zaručenou normalizačními konstantami, o kterých jsme hovořili dříve). Gate je neprodlužují ani nezkracují, ale jednoduše je otáčí.

To jsou všechno vlastnosti unitárních matic. Pokud tě zajímají další matematické vlastnosti unitárních matic, můžeš si o nich přečíst více v lekci Johna Watrouse o vícečetných systémech v kurzu Základy kvantových informací.

Jak fungují měření

Když měříme kvantový stav, výsledek je vždy jeden z možných výsledků (pro jeden qubit buď 0 nebo 1). Který výsledek dostaneme, je náhodné, ale kvantový stav nám říká pravděpodobnosti každého výsledku.

Složky vektoru stavu určují tyto pravděpodobnosti. Abychom získali pravděpodobnost konkrétního výsledku, vezmeme čtverec složky odpovídající tomuto výsledku. Například pokud je qubit ve stavu:

$$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle),$$

první složka (odpovídající 0) je $1/\sqrt{2}$ a druhá složka (odpovídající 1) je také $1/\sqrt{2}$. Umocněním těchto čísel dostaneme

$$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} = 0.5,$$

což znamená, že je 50% šance naměřit 0 a 50% šance naměřit 1.

Připomeňme, že součet všech umocněných složek je vždy roven 1. To dává smysl, protože při měření je zaručeno, že dostaneme nějaký výsledek, takže pravděpodobnosti všech možných výsledků musí dávat celkem 100 %.

Po měření qubit kolabuje k pozorovanému výsledku a veškerá předchozí superpozice je ztracena. Qubit se nyní chová jako klasický bit. Měření se zásadně liší od kvantových Gate. Zatímco Gate mění kvantové stavy deterministicky a reverzibilně, měření je ze své podstaty náhodné a nevratné.

Měření v různých bázích

Ve výchozím nastavení, když měříš qubit v kvantovém Circuit, měříš stav qubitu pouze podél jedné osy. Tato osa se nazývá výpočetní báze nebo $Z$ báze, která je definována stavy $\vert 0\rangle$ a $\vert 1\rangle$. Stav $\vert 0\rangle$ si můžeš představit jako vektor ukazující přímo nahoru a stav $\vert 1\rangle$ jako vektor ukazující přímo dolů. Měření v $Z$ bázi tedy odpovídá na otázku: „Ukazuje stav qubitu nahoru nebo dolů?"

Ale to není jediný typ otázky, kterou můžeme qubitu položit. Stavový vektor qubitu neukazuje pouze nahoru nebo dolů. Superpozice $\vert 0\rangle$ a $\vert 1\rangle$ vede ke stavovému vektoru, který ukazuje libovolným směrem v trojrozměrném prostoru — přesný směr závisí na relativních amplitudách a fázích obou částí superpozice. Zatímco standardní měření v $Z$ bázi se ptá „nahoru nebo dolů?", můžeš se také ptát „vlevo nebo vpravo?" nebo „dopředu nebo dozadu?"

Tyto otázky odpovídají měření v různých bázích. Každá báze má vlastní sadu dvou bázových vektorů, které definují dva možné výsledky měření v dané bázi (jako $\vert 0\rangle$ nebo $\vert 1\rangle$ pro $Z$ bázi).

• Výsledky měření v Z bázi kolabují na $\vert 0\rangle$ nebo $\vert 1\rangle$
• Výsledky měření v X bázi kolabují na $\vert +\rangle$ nebo $\vert -\rangle$
• Výsledky měření v Y bázi kolabují na $\vert i\rangle$ nebo $\vert -i\rangle$

kde

$$\begin{aligned} \lvert +\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle + \lvert 1\rangle) \\ \lvert -\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle - \lvert 1\rangle) \\ \lvert i\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle + i\lvert 1\rangle) \\ \lvert -i\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle - i\lvert 1\rangle) \end{aligned}$$

kde $i=\sqrt{−1}$ je imaginární jednotka. Zde poprvé vidíme superpozice s fázovým rozdílem mezi oběma částmi. Fáze se obvykle zapisuje jako $e^{i\theta}$, kde $\theta$ je úhel amplitudy kvantového stavu v komplexní rovině — dvojrozměrné rovině, kde vodorovná osa představuje reálná čísla a svislá osa čísla imaginární. Intuitivně si to můžeš představit jako to, jak je jedna vlna posunutá vůči druhé: jsou jejich vrcholy zarovnané, nebo je jedna vlna posunutá tak, že její vrchol se kryje s prohlubní druhé?

Pauliho matice a pozorovatelné veličiny

Existují tři matice, tzv. Pauliho matice, které se vztahují k těmto třem různým volbám báze $X$, $Y$ a $Z$:

$$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Jak přesně se vztahují k měřicím bázím? Na první pohled vypadají jako obyčejné maticové Gate — a také jsou. Každá Pauliho matice může působit na qubit a změnit jeho stav:

• Pauli-X překlápí $|0\rangle$ a $|1\rangle$, podobně jako klasický NOT Gate.
• Pauli-Z ponechá $|0\rangle$ beze změny, ale násobí $|1\rangle$ hodnotou $-1$, čímž mění relativní fázi.
• Pauli-Y překlopí qubit a zavede fázi.

Pauliho matice mají však i druhý, stejně důležitý výklad. V kvantové mechanice se každá měřitelná veličina nazývá pozorovatelná a pozorovatelné jsou reprezentovány maticemi. Pauliho matice odpovídají měřením podél tří různých os a jejich vlastní stavy odpovídají dvěma možným výsledkům měření podél každé osy. (Pokud termín vlastní stav neznáš, nevadí — jsou to jen speciální vektory přidružené k dané matici.)

• $Z$ → měření v Z bázi ($|0\rangle$, $|1\rangle$)
• $X$ → měření v X bázi ($|+\rangle$, $|-\rangle$)
• $Y$ → měření v Y bázi ($|i\rangle$, $|-i\rangle$)

To vysvětluje, proč Pauliho matice zdánlivě plní dvojí úlohu. Jak působí na stavy (jako Gate), tak definují směry měření (jako pozorovatelné). Obě role vycházejí ze stejné základní matematiky.

Jak tedy v praxi měřit v X nebo Y bázi? Ve výchozím nastavení jsou naše kvantové počítače nastaveny pouze pro měření v Z bázi. Proto je třeba změnit bázi otočením stavového vektoru qubitu takovým způsobem, aby informace, která tě zajímá — ať už X nebo Y — nyní ukazovala ve směru Z. Poté stačí provést Z měření jako obvykle.

Například měření v X bázi lze provést aplikací Hadamardova Gate a poté měřením v Z bázi. Hadamardův Gate otočí stav tak, aby se „X informace" stala „Z informací". Poté normální měření odvede svou práci.

S Pauliho maticemi se setkáš více v příští lekci, kdy aplikujeme naše nové dovednosti v psaní kvantových obvodů na reálný problém z kvantové fyziky.

Circuit Bellova stavu

Nyní, když máme výchozí bod — víme, že stavy lze reprezentovat vektory, Gate lze reprezentovat maticemi a měření způsobuje „kolaps" stavu — pojďme projít obvodem, který vytváří a měří výše uvedený Bellův stav.

Začínáme s počátečním stavem dvou qubitů v $|00\rangle$:

$$|00\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Vytvoření superpozice

Circuit začíná aplikací Hadamardova Gate na qubit 0. Jak jsme viděli v předchozí části, Hadamardův Gate vezme qubit z definitivního stavu, buď $|0\rangle$ nebo $|1\rangle$, do kombinace obou těchto stavů. Připomeňme, že Hadamardův Gate je:

$$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

Abychom ho aplikovali na první qubit v dvouqubitovém systému, použijeme rozšířenou matici 4x4, která aplikuje $H$ na qubit 0 a nechává qubit 1 nezměněný. Představ si to jako „aplikuj $H$ na první qubit a druhého se nedotýkej":

$$H_0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$

Poté tuto matici vynásobíme s vektorem počátečního stavu:

$$H_0 |00\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |01\rangle)$$

Nyní je qubit 0 ve stavu superpozice.

Více o kvantové superpozici

Kvantová superpozice výše popsaného typu je často popisována jako qubit nacházející se v obou stavech současně. Když však tento stav superpozice změříme, výsledek je vždy $0$ nebo $1$ — samotnou superpozici nemůžeme nikdy přímo pozorovat. Formulace „qubit je v obou stavech současně" může být ve skutečnosti zavádějící. Přesnější způsob popisu je, že superpozice je matematický popis kvantového stavu, který nám umožňuje vypočítat pravděpodobnosti různých výsledků měření. Někteří lidé si myslí, že superpozice jsou fyzicky reálné, ale jedná se o filozofickou interpretaci, která nemůže být testována; kvantová mechanika pouze předpovídá pravděpodobnosti výsledků měření.

Na rozdíl od klasického rozdělení pravděpodobností kvantová superpozice také umožňuje různým složkám vzájemně interferovat, podobně jako překrývající se vlny, které se mohou vzájemně zesilovat nebo rušit. Tato interference umožňuje kvantovým algoritmům produkovat vzory výsledků měření, které by byly s klasickou náhodností nemožné.

---

Provázání qubitů

Dále je aplikován řízený NOT (CNOT) Gate (zobrazený jako modrá tečka, svislá čára a kroužek se znaménkem plus spojující oba qubity). Tento Gate provazuje oba qubity dohromady. Po tomto kroku nelze stav jednoho qubitu popsat nezávisle na druhém.

CNOT Gate překlopí qubit 1 (nazývaný cílový qubit) pouze tehdy, pokud je qubit 0 (nazývaný řídicí qubit) ve stavu $\vert 1\rangle$. Jeho matice je:

$$\text{CNOT} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Aplikujme ho na stav z kroku 1:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$$

Nyní jsou qubity provázané: měření jednoho okamžitě určuje druhý.

Více o kvantovém provázání

Provázání je, podobně jako superpozice, kvantový jev, který nemá klasickou analogii. V klasických systémech mohou být dva korelované bity vzájemně svázány svými hodnotami, ale každý bit má stále definitivní hodnotu — i když ji neznáme. Například pokud jsou dvě mince slepeny dohromady tak, aby vždy padly stejně, jedna mince ukazující hlavu ti okamžitě říká, že druhá také ukazuje hlavu. Ale před tím, než se podíváme, je každá mince již v definitivním stavu.

U provázaných qubitů je situace zásadně odlišná. Před měřením nemá ani jeden qubit sám o sobě definitivní hodnotu. Pouze dvojice má dobře definovaný stav. Měření jednoho qubitu okamžitě ovlivní pravděpodobnosti pro druhý, bez ohledu na to, jak daleko od sebe jsou. Jedná se o čistě kvantový efekt: nelze ho vysvětlit klasickou statistikou ani skrytými informacemi o jednotlivých qubitech.

Měření stavů

Nakonec jsou oba qubity změřeny. Při měření kvantový stav kolabuje do jednoho z klasicky povolených stavů:

• 00 s pravděpodobností $|1/\sqrt{2}|^2 = 0.5$.
• 11 s pravděpodobností $|1/\sqrt{2}|^2 = 0.5$.

Tím se reprodukují korelované výsledky měření, které jsme pozorovali v obvodu v lekci 1.

Závěr

V této lekci jsme podnikli rychlou exkurzi kvantovými mechanickými koncepty a matematickými nástroji potřebnými k sebevědomému a samostatnému spouštění kvantových obvodů na kvantovém počítači. Představili jsme, jak jsou reprezentovány kvantové stavy, jak Gate transformují tyto stavy, jak funguje měření a jak přirozeně vznikají superpozice a provázání z jednoduchých obvodů.

V lekci 3 uvedeme tyto myšlenky do praxe tím, že projdeme kompletním pracovním postupem řešení hračkového problému na kvantovém počítači a interpretací výsledků.

Vzdělávací cíl

Vzpomeň si na vzdělávací cíl z lekce 1, kde jsme tě vyzvali, abys změnil(a) Circuit tak, aby vytvořil $\Psi^-$ Bellův stav. Nyní s tímto obvodem projdi maticovou algebrou a potvrď, že tvůj Circuit produkuje požadovaný stav. (Nápověda: budeš muset zjistit maticovou formu Gate NOT nebo X.)