QUICK-PDE: Qiskit Function od ColibriTD

poznámka

Qiskit Functions jsou experimentální funkce dostupné uživatelům IBM Quantum® Premium Plan, Flex Plan a On-Prem (prostřednictvím IBM Quantum Platform API) Plan. Jsou ve stavu náhledového vydání a mohou se změnit.

Přehled

Řešič parciálních diferenciálních rovnic (PDE) představený zde je součástí naší platformy Quantum Innovative Computing Kit (QUICK) (QUICK-PDE) a je zabalen jako Qiskit Function. S funkcí QUICK-PDE můžeš řešit doménově specifické parciální diferenciální rovnice na QPU IBM Quantum. Tato funkce je založena na algoritmu popsaném v dokumentu H-DES od ColibriTD. Tento algoritmus dokáže řešit složité multifyzikální problémy, počínaje výpočetní dynamikou tekutin (CFD) a deformací materiálů (MD), přičemž další případy použití přibývají.

Při řešení diferenciálních rovnic jsou zkušební řešení zakódována jako lineární kombinace ortogonálních funkcí (typicky Čebyševovy polynomy, konkrétně $2^n$ z nich, kde $n$ je počet qubitů kódujících tvou funkci), parametrizované úhly Variable Quantum Circuit (VQC). Ansatz generuje stav kódující funkci, který je vyhodnocován pozorovatelnými, jejichž kombinace umožňují vyhodnotit funkci ve všech bodech. Poté můžeš vyhodnotit ztrátovou funkci, do které jsou zakódovány diferenciální rovnice, a doladit úhly v hybridní smyčce, jak je znázorněno níže. Zkušební řešení se postupně přibližují skutečným řešením, dokud nedosáhneš uspokojivého výsledku.

Kromě této hybridní smyčky můžeš také řetězit různé optimalizátory dohromady. To je užitečné, když chceš, aby globální optimalizátor nalezl dobrou sadu úhlů, a poté jemnější optimalizátor sledoval gradient k nejlepší sadě sousedních úhlů. V případě výpočetní dynamiky tekutin (CFD) výchozí optimalizační sekvence přináší nejlepší výsledky – v případě deformace materiálů (MD) sice výchozí nastavení poskytuje dobré výsledky, ale můžeš ho dále konfigurovat pro výhody specifické pro daný problém.

Poznámka: pro každou proměnnou funkce specifikujeme počet qubitů (se kterým si můžeš hrát). Naskládáním 10 identických Circuit a vyhodnocením 10 identických pozorovatelných na různých qubitech v rámci jednoho velkého Circuit můžeš provádět potlačení šumu v rámci procesu optimalizace CMA, spoléhajíce na metodu noise learner, a výrazně snížit počet potřebných měření.

Vstup/výstup

Výpočetní dynamika tekutin

Neviskózní Burgersova rovnice modeluje proudění neviskózních tekutin takto:

$\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} = 0,$

$u$ představuje pole rychlosti tekutiny. Tento případ použití má časovou okrajovou podmínku: můžeš vybrat počáteční podmínku a pak nechat systém relaxovat. V současnosti jsou přijímány pouze lineární funkce jako počáteční podmínky: $ax + b$.

Argumenty diferenciálních rovnic pro CFD jsou na pevné mřížce, jak následuje:

• $t$ je v rozsahu 0 až 0,95 s 30 vzorkovacími body. $x$ je v rozsahu 0 až 0,95 s krokem 0,2375.

Deformace materiálů

Tento případ použití se zaměřuje na hypoelastickou deformaci s jednorozměrným zkouškou tahem, při níž je tyč pevně uchycena v prostoru a táhnuta na druhém konci. Popis problému je následující:

$u' - \frac{\sigma}{3K} - \frac{2}{\sqrt{3}}\epsilon_0\left(\frac{\sigma'}{\sigma_0\sqrt{3}}\right)^n = 0$

$\sigma' - b = 0,$

$K$ představuje objemový modul pružnosti roztahovaného materiálu, $n$ exponent mocninného zákona, $b$ sílu na jednotku hmotnosti, $\epsilon_0$ proporcionální mez napětí, $\sigma_0$ proporcionální mez přetvoření, $u$ funkci napětí a $\sigma$ funkci přetvoření.

Uvažovaná tyč má jednotkovou délku. Tento případ použití má okrajovou podmínku pro povrchové napětí $t$, tedy množství práce potřebné k natažení tyče.

Argumenty diferenciálních rovnic pro MD jsou na pevné mřížce, jak následuje:

• $x$ je v rozsahu 0 až 1 s krokem 0,04.

Vstup

Pro spuštění Qiskit Function QUICK-PDE můžeš upravit následující parametry:

Název	Typ	Popis	Specifické pro případ použití	Příklad
use_case	Literal["MD", "CFD"]	Přepínač pro výběr soustavy diferenciálních rovnic k řešení	Ne	"CFD"
parameters	dict[str, Any]	Parametry diferenciální rovnice (viz následující tabulka pro více podrobností)	Ne	{"a": 1.0, "b": 1.0}
nb_qubits	Optional[dict[str, dict[str, int]]]	Počet qubitů na funkci a proměnnou. Funkce volí optimalizované hodnoty, ale pokud chceš zkusit najít lepší kombinaci, můžeš přepsat výchozí hodnoty	Ne	{"u": {"x": 1, "t":3}}
depth	Optional[dict[str, int]]	Hloubka ansatzu na funkci. Funkce volí optimalizované hodnoty, ale pokud chceš zkusit najít lepší kombinaci, můžeš přepsat výchozí hodnoty	Ne	{"u": 4}
optimizer	Optional[list[str]]	Optimalizátory, které se mají použít: buď "CMAES" z cma python knihovny nebo jeden z optimalizátorů scipy	MD	"SLSQP"
shots	Optional[list[int]]	Počet měření použitých ke spuštění každého Circuit. Protože je potřeba několik kroků optimalizace, délka seznamu musí být rovna počtu použitých optimalizátorů (4 v případě CFD). Výchozí hodnota je [50_000] * nb_optimizers pro MD a [5_00, 2_000, 5_000, 10_000] pro CFD	Ne	[15_000, 30_000]
optimizer_options	Optional[dict[str, Any]]	Možnosti předávané optimalizátoru. Podrobnosti tohoto vstupu závisí na použitém optimalizátoru; pro konkrétní informace viz dokumentaci příslušného optimalizátoru	MD	{"maxiter": 50 }
initialization	Optional[Literal["RANDOM", "PHYSICALLY_INFORMED"]]	Zda začít s náhodnými úhly nebo chytře zvolenými úhly. Upozornění: chytře zvolené úhly nemusí fungovat ve 100 % případů. Výchozí hodnota je "PHYSICALLY_INFORMED".	Ne	"RANDOM"
backend_name	Optional[str]	Název Backend, který se má použít.	Ne	"ibm_torino"
mode	Optional[Literal["job", "session", "batch"]]	Režim provádění, který se má použít. Výchozí hodnota je "job".	Ne	"job"

Parametry diferenciální rovnice (fyzikální parametry a okrajová podmínka) by měly mít následující formát:

Případ použití	Klíč	Typ hodnoty	Popis	Příklad
CFD	a	float	Koeficient počátečních hodnot $u$	1.0
CFD	b	float	Offset počátečních hodnot $u$	1.0
MD	t	float	povrchové napětí	12.0
MD	K	float	objemový modul pružnosti	100.0
MD	n	int	mocninný zákon	4.0
MD	b	float	síla na jednotku hmotnosti	10.0
MD	epsilon_0	float	proporcionální mez napětí	0.1
MD	sigma_0	float	proporcionální mez přetvoření	5.0

Výstup

Výstupem je slovník se seznamem vzorkovacích bodů a hodnotami funkcí v každém z těchto bodů:

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q matplotlib numpy qiskit-ibm-catalog

from numpy import array

solution = {
    "functions": {
        "u": array(
            [
                [0.01, 0.1, 1],
                [0.02, 0.2, 2],
                [0.03, 0.3, 3],
                [0.04, 0.4, 4],
            ]
        ),
    },
    "samples": {
        "t": array([0.1, 0.2, 0.3, 0.4]),
        "x": array([0.5, 0.6, 0.7]),
    },
}

Tvar pole řešení závisí na vzorcích proměnných:

assert len(solution["functions"]["u"].shape) == len(solution["samples"])
for col_size, samples in zip(
    solution["functions"]["u"].shape, solution["samples"].values()
):
    assert col_size == len(samples)

Mapování mezi vzorkovacími body proměnných funkce a dimenzí pole řešení se provádí v alfanumerickém pořadí názvů proměnných. Například pokud jsou proměnné "t" a "x", řádek solution["functions"]["u"] představuje hodnoty řešení pro pevné "t" a sloupec solution["functions"]["u"] představuje hodnoty řešení pro pevné "x".

Následuje příklad, jak získat hodnotu funkce pro konkrétní sadu souřadnic:

# u(t=0.2, x=0.7) == 2
assert solution["samples"]["t"][1] == 0.2
assert solution["samples"]["x"][2] == 0.7
assert solution["functions"]["u"][1, 2] == 2

Benchmarky

Následující tabulka uvádí statistiky různých spuštění naší funkce.

Příklad	Počet qubitů	Inicializace	Chyba	Celkový čas (min)	Využití runtime (min)
Neviskózní Burgersova rovnice	50	PHYSICALLY_INFORMED	$10^{-2}$	66	25
Hypoelastická 1D zkouška tahem	18	RANDOM	$10^{-2}$	123	100

Začínáme

Vyplň formulář pro vyžádání přístupu k funkci QUICK-PDE. Poté, za předpokladu, že sis již uložil svůj účet do lokálního prostředí, vyber funkci takto:

from qiskit_ibm_catalog import QiskitFunctionsCatalog

catalog = QiskitFunctionsCatalog(channel="ibm_quantum_platform")

quick = catalog.load("colibritd/quick-pde")

Příklady

Pro začátek vyzkoušej jeden z následujících příkladů:

Výpočetní dynamika tekutin (CFD)

Když jsou počáteční podmínky nastaveny na $u(0,x) = x$, výsledky jsou následující:

# launch the simulation with initial conditions u(0,x) = a*x + b
job = quick.run(use_case="cfd", physical_parameters={"a": 1.0, "b": 0.0})

Zkontroluj stav úlohy své Qiskit Function nebo získej výsledky takto:

print(job.status())
solution = job.result()

'QUEUED'

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

_ = plt.figure()
ax = plt.axes(projection="3d")

# plot the solution using the 3d plotting capabilities of pyplot
t, x = np.meshgrid(solution["samples"]["t"], solution["samples"]["x"])
ax.plot_surface(
    t,
    x,
    solution["functions"]["u"],
    edgecolor="royalblue",
    lw=0.25,
    rstride=26,
    cstride=26,
    alpha=0.3,
)
ax.scatter(t, x, solution["functions"]["u"], marker=".")
ax.set(xlabel="t", ylabel="x", zlabel="u(t,x)")

plt.show()

Deformace materiálů

Případ použití deformace materiálů vyžaduje fyzikální parametry tvého materiálu a přiloženou sílu, jak následuje:

import matplotlib.pyplot as plt

# select the properties of your material
job = quick.run(
    use_case="md",
    physical_parameters={
        "t": 12.0,
        "K": 100.0,
        "n": 4.0,
        "b": 10.0,
        "epsilon_0": 0.1,
        "sigma_0": 5.0,
    },
)

# plot the result
solution = job.result()

_ = plt.figure()
stress_plot = plt.subplot(211)
plt.plot(solution["samples"]["x"], solution["functions"]["u"])
strain_plot = plt.subplot(212)
plt.plot(solution["samples"]["x"], solution["functions"]["sigma"])

plt.show()

Načítání chybových zpráv

Pokud je stav tvé úlohy ERROR, použij job.error_message() k načtení chybové zprávy pro pomoc při ladění, jak následuje:

job = quick.run(use_case="mdf", physical_params={})

print(job.error_message())

# or write a wrapper around it for a more human readable version
def pprint_error(job):
    print("".join(eval(job.error_message())["error"]))

print("___")
pprint_error(job)

{"error": ["qiskit.exceptions.QiskitError: 'Unknown argument \"physical_params\", did you make a typo? -- https://docs.quantum.ibm.com/errors#1804'\n"]}
___
qiskit.exceptions.QiskitError: 'Unknown argument "physical_params", did you make a typo? -- https://docs.quantum.ibm.com/errors#1804'

Získat podporu

Pro podporu kontaktuj qiskit-function-support@colibritd.com.

Další kroky

Doporučení

• Vyplň formulář pro vyžádání přístupu k funkci QUICK-PDE.
• Vyzkoušej modelování proudění neviskózní tekutiny pomocí QUICK-PDE v tutoriálu.
• Prostuduj Jaffali, H., et al. (2025). H-DES: a Quantum-Classical Hybrid Differential Equation Solver. arXiv preprint arXiv:2410.01130.