Zadání pozorovatelných veličin v Pauliho bázi

Verze balíčků

Kód na této stránce byl vyvinut s použitím následujících požadavků. Doporučujeme použít tyto verze nebo novější.

qiskit[all]~=2.3.0

V kvantové mechanice odpovídají pozorovatelné veličiny fyzikálním vlastnostem, které lze měřit. Při uvažování systému spinů tě může zajímat například měření energie systému nebo získání informací o uspořádání spinů, jako je magnetizace nebo korelace mezi spiny.

Chceš-li změřit $n$-qubitovou pozorovatelnou veličinu $O$ na kvantovém počítači, musíš ji vyjádřit jako součet tenzorových součinů Pauliho operátorů, tedy

$$O = \sum_{k=1}^K \alpha_k P_k,~~ P_k \in \{I, X, Y, Z\}^{\otimes n},~~ \alpha_k \in \mathbb{R},$$

kde

$$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ~~ X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} ~~ Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} ~~ Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

a přitom využíváš skutečnosti, že pozorovatelná veličina je hermitovská, tedy $O^\dagger = O$. Pokud $O$ není hermitovská, lze ji stále rozložit jako součet Pauliho operátorů, ale koeficient $\alpha_k$ se stane komplexním číslem.

V mnoha případech je pozorovatelná veličina přirozeně zadána v tomto vyjádření po zobrazení zkoumaného systému na qubity. Například systém se spinem 1/2 lze zobrazit na Isingův hamiltonián

$$H = \sum_{\langle i, j\rangle} Z_i Z_j - \sum_{i=1}^n X_i,$$

kde indexy $\langle i, j\rangle$ procházejí přes interagující spiny a spiny jsou vystaveny transverzálnímu poli v $X$. Dolní index označuje, na který Qubit Pauliho operátor působí, tj. $X_i$ aplikuje operátor $X$ na Qubit $i$ a ostatní ponechá nezměněné.

V Qiskit SDK lze tento hamiltonián sestavit následujícím kódem.

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q numpy qiskit

from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp

# define the number of qubits
n = 12

# define the single Pauli terms as ("Paulis", [indices], coefficient)
interactions = [
    ("ZZ", [i, i + 1], 1) for i in range(n - 1)
]  # we assume spins on a 1D line
field = [("X", [i], -1) for i in range(n)]

# build the operator
hamiltonian = SparsePauliOp.from_sparse_list(
    interactions + field, num_qubits=n
)
print(hamiltonian)

SparsePauliOp(['IIIIIIIIIIZZ', 'IIIIIIIIIZZI', 'IIIIIIIIZZII', 'IIIIIIIZZIII', 'IIIIIIZZIIII', 'IIIIIZZIIIII', 'IIIIZZIIIIII', 'IIIZZIIIIIII', 'IIZZIIIIIIII', 'IZZIIIIIIIII', 'ZZIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIX', 'IIIIIIIIIIXI', 'IIIIIIIIIXII', 'IIIIIIIIXIII', 'IIIIIIIXIIII', 'IIIIIIXIIIII', 'IIIIIXIIIIII', 'IIIIXIIIIIII', 'IIIXIIIIIIII', 'IIXIIIIIIIII', 'IXIIIIIIIIII', 'XIIIIIIIIIII'],
              coeffs=[ 1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,
  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j,
 -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j])

Pokud chceme měřit energii, pozorovatelnou veličinou je samotný hamiltonián. Alternativně nás může zajímat měření vlastností systému, jako je průměrná magnetizace, kdy počítáme počet spinů zarovnaných ve směru $Z$ pomocí pozorovatelné veličiny

$$O = \frac{1}{n} \sum_{i=1} Z_i$$

Pro pozorovatelné veličiny, které nejsou zadány pomocí Pauliho operátorů, ale v maticové formě, je třeba je nejprve přeformulovat do Pauliho báze, abychom je mohli vyhodnotit na kvantovém počítači. Takové vyjádření vždy existuje, protože Pauliho matice tvoří bázi hermitovských matic $2^n \times 2^n$. Pozorovatelnou veličinu $O$ rozvineme jako

$$O = \sum_{P \in \{I, X, Y, Z\}^{\otimes n}} \mathrm{Tr}(O P) P,$$

kde součet probíhá přes všechny možné $n$-qubitové Pauliho členy a $\mathrm{Tr}(\cdot)$ je stopa matice, která slouží jako skalární součin. Tento rozklad z matice na Pauliho členy lze implementovat pomocí metody SparsePauliOp.from_operator, například takto:

import numpy as np
from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp

matrix = np.array(
    [[-1, 0, 0.5, -1], [0, 1, 1, 0.5], [0.5, 1, -1, 0], [-1, 0.5, 0, 1]]
)

observable = SparsePauliOp.from_operator(matrix)
print(observable)

SparsePauliOp(['IZ', 'XI', 'YY'],
              coeffs=[-1. +0.j,  0.5+0.j,  1. -0.j])

To znamená, že matici lze zapsat pomocí Pauliho členů jako $O = -Z_1 + 0.5 X_2 + Y_2 Y_1$.

poznámka

Pamatuj, že pořadí tenzorového součinu se zobrazuje na qubity jako $q_n \otimes q_{n-1} \otimes \cdots \otimes q_1$.

poznámka

Pokud je pozorovatelná veličina hermitovská (tedy $O^\dagger = O$), jsou Pauliho koeficienty reálná čísla. Libovolnou komplexní matici však lze rozložit na Pauliho operátory i tehdy, pokud připustíme komplexní koeficienty.

Měření v Pauliho bázích

Měření promítne stav Qubitu do počítací báze $\{|0\rangle, |1\rangle\}$. To znamená, že lze měřit pouze pozorovatelné veličiny, které jsou v této bázi diagonální, jako jsou Pauliho operátory složené pouze z členů $I$ a $Z$. Měření libovolných Pauliho členů proto vyžaduje změnu báze za účelem jejich diagonalizace. K tomu proveď následující transformace:

$$\begin{aligned} X &\rightarrow Z = H X H \\ Y &\rightarrow Z = H S^\dagger Y S H, \end{aligned}$$

kde $H$ je Hadamardův Gate a $S = \sqrt{Z}$ se někdy označuje jako fázový Gate. Pokud používáš Estimator pro výpočet střední hodnoty, jsou transformace báze prováděny automaticky.

Níže je příklad, který ukazuje, jak připravit kvantový Circuit a ručně změřit Qubit 0 v bázi X, Qubit 1 v bázi Y a Qubit 2 v bázi Z. Aplikujeme transformace uvedené v předchozí rovnici a získáme následující Circuit:

from qiskit.circuit import QuantumCircuit

# create a circuit, where we would like to measure
# q0 in the X basis, q1 in the Y basis and q2 in the Z basis
circuit = QuantumCircuit(3)
circuit.ry(0.8, 0)
circuit.cx(0, 1)
circuit.cx(1, 2)
circuit.barrier()

# diagonalize X with the Hadamard gate
circuit.h(0)

# diagonalize Y with Hadamard as S^\dagger
circuit.sdg(1)
circuit.h(1)

# the Z basis is the default, no action required here

# measure all qubits
circuit.measure_all()
circuit.draw("mpl")

Další kroky

Doporučení

• Přečti si referenci SparsePauliOp API.