Omezení kvantové informace

Přestože kvantová a klasická informace sdílejí společnou matematickou strukturu, mají klíčové rozdíly. Výsledkem je mnoho příkladů úloh, které kvantová informace umožňuje, ale klasická nikoli.

Než se ale podíváme na některé z těchto příkladů, všimneme si několika důležitých omezení kvantové informace. Pochopení toho, co kvantová informace neumí, nám pomůže identifikovat to, co umí.

Irelevance globálních fází

První omezení, které si probereme — což je ve skutečnosti spíše drobná degenerace ve způsobu, jakým jsou kvantové stavy reprezentovány kvantovými stavovými vektory, než skutečné omezení — se týká pojmu globální fáze.

Globální fází myslíme toto. Nechť $\vert \psi \rangle$ a $\vert \phi \rangle$ jsou jednotkové vektory reprezentující kvantové stavy nějakého systému a předpokládejme, že existuje komplexní číslo $\alpha$ na jednotkové kružnici, což znamená, že $\vert \alpha \vert = 1$, nebo alternativně $\alpha = e^{i\theta}$ pro nějaké reálné číslo $\theta$, takové, že

$$\vert \phi \rangle = \alpha \vert \psi \rangle.$$

O vektorech $\vert \psi \rangle$ a $\vert \phi \rangle$ pak říkáme, že se liší o globální fázi. Někdy také označujeme $\alpha$ jako globální fázi, i když to závisí na kontextu; jakékoli číslo na jednotkové kružnici lze považovat za globální fázi, když je vynásobíme s jednotkovým vektorem.

Uvaž, co se stane, když je systém v jednom ze dvou kvantových stavů $\vert\psi\rangle$ a $\vert\phi\rangle$ a systém podstoupí měření ve standardní bázi. V prvním případě, kdy je systém ve stavu $\vert\psi\rangle$, je pravděpodobnost naměření jakéhokoli daného klasického stavu $a$

$$\bigl\vert \langle a \vert \psi \rangle \bigr\vert^2.$$

Ve druhém případě, kdy je systém ve stavu $\vert\phi\rangle$, je pravděpodobnost naměření jakéhokoli klasického stavu $a$

$$\bigl\vert \langle a \vert \phi \rangle \bigr\vert^2 = \bigl\vert \alpha \langle a \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \vert \alpha \vert^2 \bigl\vert \langle a \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \bigl\vert \langle a \vert \psi \rangle \bigr\vert^2,$$

protože $\vert\alpha\vert = 1$. To znamená, že pravděpodobnost výskytu výsledku je pro oba stavy stejná.

Nyní uvaž, co se stane, když na oba stavy aplikujeme libovolnou unitární operaci $U$. V prvním případě, kdy je počáteční stav $\vert \psi \rangle$, se stav změní na

$$U \vert \psi \rangle,$$

a ve druhém případě, kdy je počáteční stav $\vert \phi\rangle$, se změní na

$$U \vert \phi \rangle = \alpha U \vert \psi \rangle.$$

To znamená, že oba výsledné stavy se stále liší o stejnou globální fázi $\alpha$.

V důsledku toho jsou dva kvantové stavy $\vert\psi\rangle$ a $\vert\phi\rangle$, které se liší o globální fázi, zcela nerozlišitelné; bez ohledu na to, jakou operaci nebo posloupnost operací na oba stavy aplikujeme, budou se vždy lišit o globální fázi a provedení měření ve standardní bázi bude produkovat výsledky s přesně stejnými pravděpodobnostmi jako ten druhý. Z tohoto důvodu se dva kvantové stavové vektory, které se liší o globální fázi, považují za ekvivalentní a ve skutečnosti se na ně pohlíží jako na tentýž stav.

Například kvantové stavy

$$\vert - \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle \quad\text{and}\quad -\vert - \rangle = -\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

se liší o globální fázi (což je v tomto příkladu $-1$), a proto se považují za tentýž stav.

Na druhou stranu kvantové stavy

$$\vert + \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle \quad\text{and}\quad \vert - \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

se o globální fázi neliší. Ačkoli jediný rozdíl mezi oběma stavy je, že se znaménko plus změní na mínus, nejedná se o rozdíl globální fáze, ale o rozdíl relativní fáze, protože neovlivňuje všechny složky vektoru, ale pouze vlastní podmnožinu složek. To je v souladu s tím, co jsme již dříve pozorovali, totiž že stavy $\vert{+} \rangle$ a $\vert{-}\rangle$ lze dokonale rozlišit. Konkrétně provedení Hadamardovy operace a následné měření dává pravděpodobnosti výsledků takto:

$$\begin{aligned} \bigl\vert \langle 0 \vert H \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = 1 & \hspace{1cm} \bigl\vert \langle 0 \vert H \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = 0 \\[1mm] \bigl\vert \langle 1 \vert H \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = 0 & \hspace{1cm} \bigl\vert \langle 1 \vert H \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = 1. \end{aligned}$$

Teorém o nemožnosti klonování

Teorém o nemožnosti klonování ukazuje, že je nemožné vytvořit dokonalou kopii neznámého kvantového stavu.

Theorem

Teorém o nemožnosti klonování: Nechť $\Sigma$ je množina klasických stavů mající alespoň dva prvky a nechť $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y}$ jsou systémy sdílející stejnou množinu klasických stavů $\Sigma$. Neexistuje kvantový stav $\vert \phi\rangle$ systému $\mathsf{Y}$ a unitární operace $U$ na páru $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ takové, že

$$U \bigl( \vert \psi \rangle \otimes \vert\phi\rangle\bigr) = \vert \psi \rangle \otimes \vert\psi\rangle$$

pro každý stav $\vert \psi \rangle$ systému $\mathsf{X}$.

To znamená, že neexistuje způsob, jak inicializovat systém $\mathsf{Y}$ (do jakéhokoli stavu $\vert\phi\rangle$) a provést unitární operaci $U$ na společném systému $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ tak, aby efektem bylo naklonování stavu $\vert\psi\rangle$ systému $\mathsf{X}$ — s výsledkem, že $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ bude ve stavu $\vert \psi \rangle \otimes \vert\psi\rangle$.

Důkaz tohoto teorému je ve skutečnosti poměrně jednoduchý: spočívá v pozorování, že zobrazení

$$\vert\psi\rangle \otimes \vert \phi\rangle\mapsto\vert\psi\rangle \otimes \vert \psi\rangle$$

není lineární v $\vert\psi\rangle$.

Konkrétně, protože $\Sigma$ má alespoň dva prvky, můžeme zvolit $a,b\in\Sigma$ s $a\neq b$. Pokud by existoval kvantový stav $\vert \phi\rangle$ systému $\mathsf{Y}$ a unitární operace $U$ na páru $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$, pro které by $U \bigl( \vert \psi \rangle \otimes \vert\phi\rangle\bigr) = \vert \psi \rangle \otimes \vert\psi\rangle$ pro každý kvantový stav $\vert\psi\rangle$ systému $\mathsf{X}$, pak by platilo

$$U \bigl( \vert a \rangle \otimes \vert\phi\rangle\bigr) = \vert a \rangle \otimes \vert a\rangle \quad\text{and}\quad U \bigl( \vert b \rangle \otimes \vert\phi\rangle\bigr) = \vert b \rangle \otimes \vert b\rangle.$$

Z linearity, konkrétně z linearity tenzorového součinu v prvním argumentu a linearity násobení matice vektorem ve druhém (vektorovém) argumentu, musí tedy platit

$$U \biggl(\biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert a \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert b\rangle \biggr) \otimes \vert\phi\rangle\biggr) = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert a \rangle \otimes \vert a\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert b \rangle \otimes \vert b\rangle.$$

Avšak požadavek, že $U \bigl( \vert \psi \rangle \otimes \vert\phi\rangle\bigr) = \vert \psi \rangle \otimes \vert\psi\rangle$ pro každý kvantový stav $\vert\psi\rangle$ vyžaduje, aby

$$\begin{aligned} & U \biggl(\biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert a \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert b\rangle \biggr) \otimes \vert\phi\rangle\biggr)\\ & \qquad = \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert a \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert b \rangle\biggr) \otimes \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert a \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert b \rangle\biggr)\\ & \qquad = \frac{1}{2} \vert a \rangle \otimes \vert a\rangle + \frac{1}{2} \vert a \rangle \otimes \vert b\rangle + \frac{1}{2} \vert b \rangle \otimes \vert a\rangle + \frac{1}{2} \vert b \rangle \otimes \vert b\rangle\\ & \qquad \neq \frac{1}{\sqrt{2}} \vert a \rangle \otimes \vert a\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert b \rangle \otimes \vert b\rangle \end{aligned}$$

Proto nemůže existovat stav $\vert \phi\rangle$ a unitární operace $U$, pro které by $U \bigl( \vert \psi \rangle \otimes \vert\phi\rangle\bigr) = \vert \psi \rangle \otimes \vert\psi\rangle$ pro každý kvantový stavový vektor $\vert \psi\rangle$.

K teorému o nemožnosti klonování je na místě několik poznámek. První je, že výše uvedená formulace teorému o nemožnosti klonování je absolutní v tom smyslu, že tvrdí, že dokonalé klonování je nemožné — ale neříká nic o možnosti klonování s omezenou přesností, kde bychom mohli uspět ve vytvoření přibližného klonu (s ohledem na nějaký způsob měření, jak si dva různé kvantové stavy mohou být podobné). Ve skutečnosti existují formulace teorému o nemožnosti klonování, které kladou omezení na přibližné klonování, stejně jako metody k dosažení přibližného klonování s omezenou přesností.

Druhá poznámka je, že teorém o nemožnosti klonování je tvrzení o nemožnosti klonování libovolného stavu $\vert\psi\rangle$. Naproti tomu můžeme snadno vytvořit klon jakéhokoli stavu standardní báze. Například můžeme naklonovat qubit ve stavu standardní báze pomocí řízené operace NOT:

Zde $|a\rangle$ je $|0\rangle$ nebo $|1\rangle$, což jsou stavy, které lze realizovat klasicky. I když není problém vytvořit klon stavu standardní báze, neodporuje to teorému o nemožnosti klonování. Tento přístup s použitím řízené Gate NOT by neuspěl při vytváření klonu stavu $\vert + \rangle$, například.

Poslední poznámka k teorému o nemožnosti klonování je, že ve skutečnosti není unikátní pro kvantovou informaci — je také nemožné naklonovat libovolný pravděpodobnostní stav pomocí klasického (deterministického nebo pravděpodobnostního) procesu. Představ si, že ti někdo předá systém v nějakém pravděpodobnostním stavu, ale ty si nejsi jistý, jaký ten pravděpodobnostní stav je. Například možná náhodně vygenerovali číslo mezi $1$ a $10$, ale neřekli ti, jak to číslo vygenerovali. Rozhodně neexistuje žádný fyzikální proces, jehož prostřednictvím můžeš získat dvě nezávislé kopie téhož pravděpodobnostního stavu: vše, co máš v ruce, je číslo mezi $1$ a $10$, a prostě v tom není dostatek informací, abys mohl nějak zrekonstruovat pravděpodobnosti pro všechny ostatní výsledky.

Matematicky řečeno, verze teorému o nemožnosti klonování pro pravděpodobnostní stavy se dá dokázat přesně stejným způsobem jako běžný teorém o nemožnosti klonování (pro kvantové stavy). To znamená, že klonování libovolného pravděpodobnostního stavu je nelineární proces, takže nemůže být reprezentován stochastickou maticí.

Neortogonální stavy nelze dokonale rozlišit

Jako poslední omezeni, kterému se v této lekci budeme věnovat, ukážeme, že pokud máme dva kvantové stavy $\vert\psi\rangle$ a $\vert\phi\rangle$, které nejsou ortogonální, což znamená, že $\langle \phi\vert\psi\rangle \neq 0$, pak je nemožné je rozlišit (jinými slovy poznat, který je který) dokonale. Ve skutečnosti ukážeme něco logicky ekvivalentního: pokud máme způsob, jak dva stavy rozlišit dokonale, bez jakékoli chyby, pak musí být ortogonální.

Omezíme se na kvantové Circuit, které se skládají z libovolného počtu unitárních Gate, za nimiž následuje jedno měření v standardní bázi na horním qubit. Od kvantového Circuit požadujeme, aby dokonale rozlišoval stavy $\vert\psi\rangle$ a $\vert\phi\rangle$, což znamená, že měření vždy dá hodnotu $0$ pro jeden z těchto dvou stavů a vždy dá $1$ pro druhý stav. Přesněji řečeno, předpokládejme, že máme kvantový Circuit, který funguje tak, jak naznačují následující diagramy:

Rámeček označený $U$ představuje unitární operaci reprezentující kombinovaný efekt všech unitárních Gate v našem Circuit, ale nezahrnuje závěrečné měření. Bez újmy na obecnosti předpokládáme, že měření dává výstup $0$ pro $\vert\psi\rangle$ a $1$ pro $\vert\phi\rangle$; analýza by se zásadně nelišila, kdyby tyto výstupní hodnoty byly prohozené.

Všimni si, že kromě qubit, které na začátku uchovávají buď $\vert\psi\rangle$, nebo $\vert\phi\rangle$, může Circuit volně využívat libovolný počet dalších pracovních qubit. Tyto qubit jsou na začátku všechny nastaveny do stavu $\vert 0\rangle$ -- takže jejich kombinovaný stav je na obrázcích označen $\vert 0\cdots 0\rangle$ -- a Circuit je může využít jakýmkoli způsobem, který by mohl být prospěšný. Použití pracovních qubit v kvantových Circuit tohoto typu je velmi běžné.

Nyní se podívejme, co se stane, když spustíme náš obvod na stavu $\vert\psi\rangle$ (společně s inicializovanými pracovními qubit). Výsledný stav, bezprostředně před provedením měření, lze zapsat jako

$$U \bigl( \vert 0\cdots 0 \rangle \vert \psi \rangle\bigr) = \vert \gamma_0\rangle\vert 0 \rangle + \vert \gamma_1 \rangle\vert 1 \rangle$$

pro dva vektory $\vert \gamma_0\rangle$ a $\vert \gamma_1\rangle$, které odpovídají všem qubit kromě horního. Obecně platí, že pro takový stav jsou pravděpodobnosti, že měření horního qubit dá výsledek $0$ a $1$, následující:

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is $0$}) = \bigl\| \vert\gamma_0\rangle \bigr\|^2 \qquad\text{and}\qquad \operatorname{Pr}(\text{outcome is $1$}) = \bigl\| \vert\gamma_1\rangle \bigr\|^2.$$

Protože náš obvod vždy dává výstup $0$ pro stav $\vert\psi\rangle$, musí platit $\vert\gamma_1\rangle = 0$, a tedy

$$U \bigl( \vert 0\cdots 0\rangle\vert \psi \rangle \bigr) = \vert\gamma_0\rangle\vert 0 \rangle.$$

Vynásobením obou stran této rovnice $U^{\dagger}$ dostaneme:

$$\vert 0\cdots 0\rangle\vert \psi \rangle = U^{\dagger} \bigl( \vert \gamma_0\rangle\vert 0 \rangle \bigr). \tag{1}$$

Analogickým postupem pro $\vert\phi\rangle$ místo $\vert\psi\rangle$ dojdeme k závěru, že

$$U \bigl( \vert 0\cdots 0\rangle\vert \phi \rangle \bigr) = \vert \delta_1\rangle\vert 1 \rangle$$

pro nějaký vektor $\vert\delta_1\rangle$, a proto

$$\vert 0\cdots 0\rangle\vert \phi \rangle = U^{\dagger} \bigl( \vert \delta_1\rangle\vert 1 \rangle\bigr). \tag{2}$$

Nyní spočítejme skalární součin vektorů reprezentovaných rovnicemi $(1)$ a $(2)$, přičemž začneme s reprezentacemi na pravých stranách obou rovnic. Máme

$$\bigl(U^{\dagger} \bigl( \vert \gamma_0\rangle\vert 0 \rangle \bigr)\bigr)^{\dagger} = \bigl( \langle\gamma_0\vert\langle 0\vert \bigr)U,$$

takže skalární součin vektoru $(1)$ s vektorem $(2)$ je

$$\bigl( \langle\gamma_0\vert\langle 0\vert \bigr)U U^{\dagger} \bigl( \vert \delta_1\rangle\vert 1 \rangle\bigr) = \bigl( \langle\gamma_0\vert\langle 0\vert \bigr) \bigl( \vert \delta_1\rangle\vert 1 \rangle\bigr) = \langle \gamma_0 \vert \delta_1\rangle \langle 0 \vert 1 \rangle = 0.$$

Zde jsme využili fakt, že $U U^{\dagger} = \mathbb{I}$, a také to, že skalární součin tenzorových součinů je součin skalárních součinů:

$$\langle u \otimes v \vert w \otimes x\rangle = \langle u \vert w\rangle \langle v \vert x\rangle$$

pro libovolnou volbu těchto vektorů (za předpokladu, že $\vert u\rangle$ a $\vert w\rangle$ mají stejný počet složek a $\vert v\rangle$ a $\vert x\rangle$ mají stejný počet složek, aby skalární součiny $\langle u\vert w\rangle$ a $\langle v\vert x \rangle$ měly smysl). Všimni si, že hodnota skalárního součinu $\langle \gamma_0 \vert \delta_1\rangle$ je irelevantní, protože je násobena $\langle 0 \vert 1 \rangle = 0$.

Nakonec skalární součin vektorů na levých stranách rovnic $(1)$ a $(2)$ musí být roven stejné nulové hodnotě, kterou jsme již spočítali, takže

$$0 = \bigl( \vert 0\cdots 0\rangle \vert \psi\rangle\bigr)^{\dagger} \bigl(\vert 0\cdots 0\rangle\vert \phi\rangle\bigr) = \langle 0\cdots 0 \vert 0\cdots 0 \rangle \langle \psi \vert \phi \rangle = \langle \psi \vert \phi \rangle.$$

Tím jsme dospěli k závěru, který jsme chtěli, a to že $\vert \psi\rangle$ a $\vert\phi\rangle$ jsou ortogonální: $\langle \psi \vert \phi \rangle = 0.$

Mimochodem, je možné dokonale rozlišit libovolné dva stavy, které jsou ortogonální, což je obrácené tvrzení k tomu, co jsme právě dokázali. Předpokládejme, že dva stavy, které chceme rozlišit, jsou $\vert \phi\rangle$ a $\vert \psi\rangle$, kde $\langle \phi\vert\psi\rangle = 0$. Tyto stavy pak můžeme dokonale rozlišit provedením projektivního měření popsaného například těmito maticemi:

$$\bigl\{ \vert\phi\rangle\langle\phi\vert,\,\mathbb{I} - \vert\phi\rangle\langle\phi\vert \bigr\}.$$

Pro stav $\vert\phi\rangle$ je vždy získán první výsledek:

$$\begin{aligned} & \bigl\| \vert\phi\rangle\langle\phi\vert \vert\phi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| \vert\phi\rangle\langle\phi\vert\phi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| \vert\phi\rangle \bigr\|^2 = 1,\\[1mm] & \bigl\| (\mathbb{I} - \vert\phi\rangle\langle\phi\vert) \vert\phi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| \vert\phi\rangle - \vert\phi\rangle\langle\phi\vert\phi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| \vert\phi\rangle - \vert\phi\rangle \bigr\|^2 = 0. \end{aligned}$$

A pro stav $\vert\psi\rangle$ je vždy získán druhý výsledek:

$$\begin{aligned} & \bigl\| \vert\phi\rangle\langle\phi\vert \vert\psi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| \vert\phi\rangle\langle\phi\vert\psi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| 0 \bigr\|^2 = 0,\\[1mm] & \bigl\| (\mathbb{I} - \vert\phi\rangle\langle\phi\vert) \vert\psi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| \vert\psi\rangle - \vert\phi\rangle\langle\phi\vert\psi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| \vert\psi\rangle \bigr\|^2 = 1. \end{aligned}$$