Variační algoritmy

Než začneš, vyplň prosím tento krátký průzkum před kurzem, který je důležitý pro zlepšování našeho obsahu a uživatelského zážitku.

Note: This survey is provided by IBM Quantum and relates to the original English content. To give feedback on doQumentation's website, translations, or code execution, please open a GitHub issue.

Tento kurz se zabývá specifiky variačních algoritmů a krátkodobých hybridních kvantově-klasických algoritmů založených na variačním teorému kvantové mechaniky. Tyto algoritmy mohou využívat utility poskytované dnešními kvantovými počítači bez odolnosti vůči chybám, což z nich dělá ideální kandidáty k dosažení kvantové výhody.

V průběhu tohoto kurzu prozkoumáme:

• Každý krok v pracovním postupu návrhu variačního algoritmu
• Kompromisy spojené s každým krokem
• Jak používat primitiva Qiskit Runtime k optimalizaci pro rychlost a přesnost

Přestože je tento kurz zamýšlen jako výchozí bod pro výzkumníky a vývojáře k prozkoumání utility kvantových počítačů, klidně si prohlédni teoretické a základní znalosti o kvantovém výpočtu obecně v kurzu Základy kvantové informace a výpočtu (dostupný také jako série videí na YouTube).

Zjednodušený hybridní pracovní postup

Variační algoritmy zahrnují několik modulárních komponent, které lze kombinovat a optimalizovat na základě pokroku v oblasti algoritmů, softwaru a hardwaru. Patří sem účelová funkce popisující konkrétní problém se sadou parametrů, ansatz pro vyjádření prostoru hledání s těmito parametry a optimalizátor, který iterativně prozkoumává prostor hledání. Během každé iterace optimalizátor vyhodnocuje účelovou funkci s aktuálními parametry a volí parametry pro další iteraci, dokud nekonverguje k optimálnímu řešení. Hybridní povaha této rodiny algoritmů spočívá v tom, že účelové funkce jsou vyhodnocovány pomocí kvantových zdrojů a optimalizovány klasickými prostředky.

1. Inicializace problému: Variační algoritmy začínají inicializací kvantového počítače do výchozího stavu $|0\rangle$, poté ho transformují do požadovaného (neparametrizovaného) stavu $|\rho\rangle$, který nazýváme referenční stav.

   Tato transformace je reprezentována aplikací unitárního referenčního operátoru $U_R$ na výchozí stav, takže $U_R|0\rangle = |\rho\rangle$.

2. Příprava ansatzu: Abychom mohli zahájit iterativní optimalizaci z výchozího stavu $|0\rangle$ k cílovému stavu $|\psi(\vec\theta)\rangle$, musíme definovat variační formu $U_V(\vec\theta)$, která reprezentuje kolekci parametrizovaných stavů, jež náš variační algoritmus bude prozkoumávat.

   Jakoukoliv konkrétní kombinaci referenčního stavu a variační formy označujeme jako ansatz, takže: $U_A(\vec\theta) := U_V(\vec\theta) U_R$. Ansatze budou mít nakonec podobu parametrizovaných kvantových Circuit schopných převést výchozí stav $|0\rangle$ na cílový stav $|\psi(\vec\theta)\rangle$.

   Celkově tedy budeme mít:

   $$\begin{aligned} |0\rangle \xrightarrow{U_R} U_R|0\rangle & = |\rho\rangle \xrightarrow{U_V(\vec{\theta})} U_A(\vec{\theta})|0\rangle \\[1mm] & = U_V(\vec{\theta})U_R|0\rangle \\[1mm] & = U_V(\vec{\theta})|\rho\rangle \\[1mm] & = |\psi(\vec{\theta})\rangle \\[1mm] \end{aligned}$$

3. Vyhodnocení účelové funkce: Náš problém můžeme zakódovat do účelové funkce $C(\vec\theta)$ jako lineární kombinaci Pauliho operátorů spuštěné na kvantovém systému. I když se může jednat o informace o fyzikálním systému, jako je energie nebo spin, lze zakódovat i nefyzikální problémy. Pro řešení šumu pomocí potlačení a zmírnění chyb při vyhodnocování naší účelové funkce můžeme využít primitiva Qiskit Runtime.

4. Optimalizace parametrů: Vyhodnocení jsou předána klasickému počítači, kde je klasický optimalizátor analyzuje a zvolí další sadu hodnot variačních parametrů. Pokud máme předem existující optimální řešení, můžeme ho nastavit jako počáteční bod $\vec\theta_0$ pro zavedení naší optimalizace. Využití tohoto počátečního stavu $|\psi(\vec\theta_0)\rangle$ může pomoci optimalizátoru najít platné řešení rychleji.

5. Úprava parametrů ansatzu na základě výsledků a opakování: Celý proces se opakuje, dokud nejsou splněna kritéria dokončení klasického optimalizátoru, a je vrácena optimální sada hodnot parametrů $\vec\theta^*$. Navrhovaný stav řešení pro náš problém pak bude $|\psi(\vec\theta^*)\rangle = U_A(\vec\theta^*)|0\rangle$.

Variační teorém

Společným cílem variačních algoritmů je najít kvantový stav s nejnižší nebo nejvyšší vlastní hodnotou určité pozorovatelné veličiny. Klíčovým poznatkem, který budeme využívat, je variační teorém kvantové mechaniky. Než přejdeme k jeho úplnému znění, prozkoumáme matematickou intuici za ním.

Matematická intuice pro energii a základní stavy

V kvantové mechanice se energie vyskytuje ve formě kvantové pozorovatelné veličiny, obvykle označované jako hamiltonián, který označujeme $\hat{\mathcal{H}}$. Uvažujme jeho spektrální rozklad:

$$\hat{\mathcal{H}} = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\phi_k\rangle \langle \phi_k|$$

kde $N$ je dimenzionalita prostoru stavů, $\lambda_{k}$ je $k$-tá vlastní hodnota neboli fyzikálně $k$-tá energetická hladina, a $|\phi_k\rangle$ je odpovídající vlastní stav: $\hat{\mathcal{H}}|\phi_k\rangle = \lambda_k |\phi_k\rangle$. Očekávaná energie systému v (normalizovaném) stavu $|\psi\rangle$ bude:

$$\begin{aligned} \langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle & = \langle \psi |\bigg(\sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\phi_k\rangle \langle \phi_k|\bigg) | \psi \rangle \\[1mm] & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k \langle \psi |\phi_k\rangle \langle \phi_k| \psi \rangle \\[1mm] & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] \end{aligned}$$

Vezmeme-li v úvahu, že $\lambda_0\leq \lambda_k, \forall k$, máme:

$$\begin{aligned} \langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & \geq \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_0 |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & = \lambda_0 \sum_{k=0}^{N-1} |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & = \lambda_0 \\[1mm] \end{aligned}$$

Protože $\{|\phi_k\rangle \}_{k=0}^{N-1}$ je ortonormální báze, pravděpodobnost naměření $|\phi_{k} \rangle$ je $p_k = |\langle \psi |\phi_{k} \rangle |^2$ a součet všech pravděpodobností je takový, že $\sum_{k=0}^{N-1} |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 = \sum_{k=0}^{N-1}p_k = 1$. Stručně řečeno, očekávaná energie jakéhokoliv systému je vyšší než nejnižší energie nebo energie základního stavu:

$$\langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle \geq \lambda_0.$$

Výše uvedený argument platí pro jakýkoliv platný (normalizovaný) kvantový stav $|\psi\rangle$, takže je zcela možné uvažovat parametrizované stavy $|\psi(\vec\theta)\rangle$ závislé na vektoru parametrů $\vec\theta$. Zde přichází ke slovu část „variační". Pokud uvažujeme účelovou funkci danou vztahem $C(\vec\theta) := \langle \psi(\vec\theta)|\hat{\mathcal{H}}|\psi(\vec\theta)\rangle$ a chceme ji minimalizovat, minimum bude vždy splňovat:

$$\min_{\vec\theta} C(\vec\theta) = \min_{\vec\theta} \langle \psi(\vec\theta)|\hat{\mathcal{H}}|\psi(\vec\theta)\rangle \geq \lambda_0.$$

Minimální hodnota $C(\vec\theta)$ bude nejblíže, jak se lze dostat k $\lambda_0$ pomocí parametrizovaných stavů $|\psi(\vec\theta)\rangle$, přičemž rovnosti bude dosaženo pouze tehdy, existuje-li vektor parametrů $\vec\theta^*$ takový, že $|\psi(\vec\theta^*)\rangle = |\phi_0\rangle.$

Variační teorém kvantové mechaniky

Pokud (normalizovaný) stav $|\psi\rangle$ kvantového systému závisí na vektoru parametrů $\vec\theta$, pak optimální aproximace základního stavu (tj. vlastního stavu $|\phi_0\rangle$ s minimální vlastní hodnotou $\lambda_0$) je ten, který minimalizuje střední hodnotu hamiltoniánu $\hat{\mathcal{H}}$:

$$\langle \hat{\mathcal{H}} \rangle(\vec\theta) := \langle \psi(\vec\theta) |\hat{\mathcal{H}}| \psi(\vec\theta) \rangle \geq \lambda_0$$

Důvod, proč je variační teorém formulován v termínech minim energie, je ten, že zahrnuje řadu matematických předpokladů:

• Z fyzikálních důvodů musí existovat konečná dolní mez energie $E \geq \lambda_0 > -\infty$, a to i pro $N\rightarrow\infty$.
• Horní meze obecně neexistují.

Matematicky vzato však na hamiltoniánu $\hat{\mathcal{H}}$ není nic speciálního kromě těchto předpokladů, takže teorém lze zobecnit na jiné kvantové pozorovatelné veličiny a jejich vlastní stavy za předpokladu, že splňují stejná omezení. Také si všimni, že pokud existují konečné horní meze, stejné matematické argumenty by mohly být použity pro maximalizaci vlastních hodnot záměnou dolních mezí za horní.

Shrnutí

V této lekci sis osvojil přehled variačních algoritmů na vysoké úrovni. V následujících lekcích prozkoumáme každý krok podrobněji spolu s příslušnými kompromisy.