Superdense kódování

Superdense kódování je protokol, který v jistém smyslu dosahuje opačného cíle než teleportace. Místo toho, aby umožňoval přenos jednoho Qubit pomocí dvou klasických bitů komunikace (za cenu jednoho e-bitu provázanosti), umožňuje přenos dvou klasických bitů pomocí jednoho Qubit kvantové komunikace (opět za cenu jednoho e-bitu provázanosti).

Podrobněji: máme odesílatele (Alice) a příjemce (Bob), kteří sdílejí jeden e-bit provázanosti. Podle konvencí zavedených v této lekci to znamená, že Alice drží Qubit $\mathsf{A},$ Bob drží Qubit $\mathsf{B},$ a společně je pár $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ ve stavu $\vert\phi^+\rangle.$ Alice chce Bobovi přenést dva klasické bity, které budeme označovat $c$ a $d,$ a dosáhne toho tak, že mu pošle jeden Qubit.

Je rozumné považovat tento výkon za méně zajímavý než to, čeho dosahuje teleportace. Posílání Qubit bude v dohledné budoucnosti pravděpodobně mnohem obtížnější než posílání klasických bitů, takže výměna jednoho Qubit kvantové komunikace za dva bity klasické komunikace, navíc za cenu e-bitu, se sotva zdá být výhodná. To ale neznamená, že superdense kódování není zajímavé, protože to rozhodně je.

V duchu tématu lekce je jedním z důvodů, proč je superdense kódování zajímavé, to, že ukazuje konkrétní a (v kontextu teorie informace) poměrně překvapivé využití provázanosti. Slavná věta v kvantové teorii informace, známá jako Holevova věta, implikuje, že bez použití sdíleného provázaného stavu je nemožné komunikovat více než jeden bit klasické informace posláním jednoho Qubit. (Holevova věta je obecnější. Její přesná formulace je technická a vyžaduje vysvětlení, ale toto je jeden z jejích důsledků.) Prostřednictvím superdense kódování tedy sdílená provázanost efektivně umožňuje zdvojení kapacity klasické informace přenášené pomocí Qubit.

Protokol

Následující diagram kvantového Circuit popisuje protokol superdense kódování:

Slovně, toto je to, co dělá Alice:

1. Pokud $d=1,$ Alice provede $Z$ Gate na svém Qubit $\mathsf{A}$ (a pokud $d=0,$ neprovede).

2. Pokud $c=1,$ Alice provede $X$ Gate na svém Qubit $\mathsf{A}$ (a pokud $c=0,$ neprovede).

Alice poté pošle svůj Qubit $\mathsf{A}$ Bobovi.

Když Bob obdrží Qubit $\mathsf{A},$ nejprve provede controlled-NOT Gate, kde $\mathsf{A}$ je řídicí a $\mathsf{B}$ je cílový, a poté aplikuje Hadamardovu Gate na $\mathsf{A}.$ Následně změří $\mathsf{B}$ a získá $c$ a $\mathsf{A}$ a získá $d,$ v obou případech měřením ve standardní bázi.

Analýza

Myšlenka za tímto protokolem je poměrně jednoduchá: Alice si efektivně vybere, který Bellův stav chce s Bobem sdílet, pošle Bobovi svůj Qubit a Bob měřením zjistí, který Bellův stav Alice zvolila.

To znamená, že zpočátku sdílejí $\vert\phi^+\rangle,$ a v závislosti na bitech $c$ a $d$ Alice buď tento stav ponechá beze změny, nebo ho posune do jednoho z ostatních Bellových stavů aplikací $\mathbb{I},$ $X,$ $Z,$ nebo $XZ$ na svůj Qubit $\mathsf{A}.$

$$\begin{aligned} (\mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes Z) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^-\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes X) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes XZ) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^-\rangle \end{aligned}$$

Bobovy akce mají následující účinky na čtyři Bellovy stavy:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+\rangle & \mapsto \vert 00\rangle\\ \vert \phi^-\rangle & \mapsto \vert 01\rangle\\ \vert \psi^+\rangle & \mapsto \vert 10\rangle\\ \vert \psi^-\rangle & \mapsto -\vert 11\rangle\\ \end{aligned}$$

To lze ověřit přímo výpočtem výsledků Bobových operací na těchto stavech jeden po druhém.

Když tedy Bob provede svá měření, je schopen určit, který Bellův stav Alice zvolila. Ověření, že protokol funguje správně, je otázkou kontroly každého případu:

• Pokud $cd = 00,$ pak stav $(\mathsf{B},\mathsf{A}),$ když Bob obdrží $\mathsf{A},$ je $\vert \phi^+\rangle.$ Tento stav transformuje na $\vert 00\rangle$ a získá $cd = 00.$

• Pokud $cd = 01,$ pak stav $(\mathsf{B},\mathsf{A}),$ když Bob obdrží $\mathsf{A},$ je $\vert \phi^-\rangle.$ Tento stav transformuje na $\vert 01\rangle$ a získá $cd = 01.$

• Pokud $cd = 10,$ pak stav $(\mathsf{B},\mathsf{A}),$ když Bob obdrží $\mathsf{A},$ je $\vert \psi^+\rangle.$ Tento stav transformuje na $\vert 10\rangle$ a získá $cd = 10.$

• Pokud $cd = 11,$ pak stav $(\mathsf{B},\mathsf{A}),$ když Bob obdrží $\mathsf{A},$ je $\vert \psi^-\rangle.$ Tento stav transformuje na $-\vert 11\rangle$ a získá $cd = 11.$ (Záporný fázový faktor zde nemá žádný vliv.)