Klasická informace

Abychom mohli popsat kvantovou informaci a jak funguje, začneme přehledem klasické informace. Je přirozené se ptát, proč se v kurzu o kvantové informaci věnuje tolik pozornosti klasické informaci, ale existují pro to dobré důvody.

Zaprvé, ačkoli se kvantová a klasická informace v některých ohledech dramaticky liší, jejich matematické popisy jsou ve skutečnosti poměrně podobné. Klasická informace také slouží jako známý referenční bod při studiu kvantové informace a jako zdroj analogií, které fungují překvapivě daleko. Často se stává, že lidé kladou otázky o kvantové informaci, které mají přirozené klasické analogie, a tyto otázky mají často jednoduché odpovědi, jež mohou poskytnout jasnost i vhled do původních otázek o kvantové informaci. Není vůbec nerozumné tvrdit, že bez porozumění klasické informaci nelze skutečně pochopit kvantovou informaci.

Někteří čtenáři už mohou být s materiálem probíraným v této sekci obeznámeni, jiní ne — ale tato diskuse je určena oběma skupinám. Kromě zdůraznění aspektů klasické informace, které jsou nejrelevantnější pro úvod do kvantové informace, tato sekce představuje Diracovu notaci, která se často používá k popisu vektorů a matic v kvantové informaci a výpočtech. Jak se ukáže, Diracova notace není specifická pro kvantovou informaci; stejně dobře ji lze použít v kontextu klasické informace i v mnoha dalších situacích, kde se vektory a matice vyskytují.

Klasické stavy a vektory pravděpodobnosti

Předpokládejme, že máme systém, který uchovává informaci. Přesněji řečeno, budeme předpokládat, že tento systém se může v každém okamžiku nacházet v jednom z konečného počtu klasických stavů. Pojem klasický stav by měl být chápán intuitivně, jako konfigurace, kterou lze jednoznačně rozpoznat a popsat.

Typickým příkladem, ke kterému se budeme opakovaně vracet, je bit, což je systém, jehož klasické stavy jsou $0$ a $1.$ Dalšími příklady jsou standardní šestistěnná kostka, jejíž klasické stavy jsou $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ a $6$ (reprezentované odpovídajícím počtem teček na horní stěně); nukleobáze v řetězci DNA, jejíž klasické stavy jsou A, C, G a T; a přepínač na elektrickém ventilátoru, jehož klasické stavy jsou (obvykle) vysoký, střední, nízký a vypnuto. V matematických termínech je specifikace klasických stavů systému vlastně výchozím bodem: bit definujeme jako systém, který má klasické stavy $0$ a $1,$ a analogicky pro systémy s jinými množinami klasických stavů.

Pro účely této diskuse pojmenujme zkoumaný systém $\mathsf{X}$ a symbolem $\Sigma$ označme množinu klasických stavů systému $\mathsf{X}$. Kromě předpokladu, že $\Sigma$ je konečná, což jsme již zmínili, přirozeně předpokládáme, že $\Sigma$ je neprázdná — protože nemá smysl, aby fyzikální systém neměl žádné stavy. A i když dává smysl uvažovat o fyzikálních systémech s nekonečně mnoha klasickými stavy, tuto možnost pomineme, protože ačkoli je jistě zajímavá, pro tento kurz není relevantní. Z těchto důvodů a pro stručnost budeme dále používat termín množina klasických stavů pro libovolnou konečnou a neprázdnou množinu.

Zde je několik příkladů:

1. Pokud je $\mathsf{X}$ bit, pak $\Sigma = \{0,1\}$. Slovně tuto množinu označujeme jako binární abeceda.

2. Pokud je $\mathsf{X}$ šestistěnná kostka, pak $\Sigma = \{1,2,3,4,5,6\}$.

3. Pokud je $\mathsf{X}$ přepínač elektrického ventilátoru, pak $\Sigma = \{\mathrm{high}, \mathrm{medium}, \mathrm{low}, \mathrm{off}\}$.

Když uvažujeme o $\mathsf{X}$ jako o nositeli informace, různým klasickým stavům $\mathsf{X}$ mohou být přiřazeny určité významy, vedoucí k různým výsledkům nebo důsledkům. V takových případech může stačit popsat $\mathsf{X}$ jednoduše tak, že se nachází v jednom ze svých možných klasických stavů. Například pokud je $\mathsf{X}$ přepínač ventilátoru, můžeme s jistotou vědět, že je nastaven na vysoký, což nás pak může vést k přepnutí na střední.

Často je však při zpracování informací naše znalost nejistá. Jedním ze způsobů, jak reprezentovat naši znalost o klasickém stavu systému $\mathsf{X}$, je přiřadit pravděpodobnosti jeho různým možným klasickým stavům, čímž získáme to, co budeme nazývat pravděpodobnostní stav.

Předpokládejme například, že $\mathsf{X}$ je bit. Na základě toho, co víme nebo očekáváme o tom, co se s $\mathsf{X}$ v minulosti stalo, bychom mohli věřit, že $\mathsf{X}$ je v klasickém stavu $0$ s pravděpodobností $3/4$ a ve stavu $1$ s pravděpodobností $1/4.$ Tyto předpoklady můžeme zapsat takto:

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{X}=0) = \frac{3}{4} \quad\text{and}\quad \operatorname{Pr}(\mathsf{X}=1) = \frac{1}{4}.$$

Stručnější způsob, jak tento pravděpodobnostní stav reprezentovat, je sloupcový vektor.

$$\begin{pmatrix} \frac{3}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} \end{pmatrix}$$

Pravděpodobnost, že bit je $0$, je umístěna nahoře ve vektoru a pravděpodobnost, že bit je $1$, je umístěna dole, protože to je konvenční způsob řazení množiny $\{0,1\}$.

Obecně můžeme pravděpodobnostní stav systému s libovolnou množinou klasických stavů reprezentovat stejným způsobem, jako vektor pravděpodobností. Pravděpodobnosti mohou být seřazeny libovolně, ale obvykle existuje přirozený nebo výchozí způsob, jak to udělat. Přesněji řečeno, libovolný pravděpodobnostní stav můžeme reprezentovat sloupcovým vektorem splňujícím dvě vlastnosti:

1. Všechny složky vektoru jsou nezáporná reálná čísla.

2. Součet složek je roven $1$.

Naopak, libovolný sloupcový vektor, který splňuje tyto dvě vlastnosti, může být chápán jako reprezentace pravděpodobnostního stavu. Dále budeme vektory tohoto tvaru nazývat vektory pravděpodobnosti.

Kromě stručnosti tohoto zápisu má identifikace pravděpodobnostních stavů jako sloupcových vektorů tu výhodu, že operace na pravděpodobnostních stavech jsou reprezentovány násobením matice a vektoru, jak bude probráno za chvíli.

Měření pravděpodobnostních stavů

Dále se podívejme na to, co se stane, když změříme systém, který je v pravděpodobnostním stavu. V tomto kontextu měřením systému jednoduše myslíme, že se na systém podíváme a jednoznačně rozpoznáme, v jakém klasickém stavu se nachází. Intuitivně řečeno, pravděpodobnostní stav systému „nevidíme"; když se na něj podíváme, vidíme prostě jeden z možných klasických stavů.

Měřením systému můžeme také změnit naši znalost o něm, a proto se může změnit i pravděpodobnostní stav, který s ním spojujeme. To znamená, že pokud rozpoznáme, že $\mathsf{X}$ je v klasickém stavu $a\in\Sigma$, pak nový vektor pravděpodobnosti reprezentující naši znalost o stavu $\mathsf{X}$ se stane vektorem, který má $1$ na pozici odpovídající $a$ a $0$ na všech ostatních pozicích. Tento vektor označuje, že $\mathsf{X}$ je v klasickém stavu $a$ s jistotou — což víme, protože jsme ho právě rozpoznali — a tento vektor označujeme $\vert a\rangle$, což se čte jako „ket $a$" z důvodu, který bude vysvětlen za chvíli. Vektory tohoto druhu se také nazývají vektory standardní báze.

Například za předpokladu, že systém, který máme na mysli, je bit, jsou vektory standardní báze dány vztahem

$$\vert 0\rangle = \begin{pmatrix}1\\[1mm] 0\end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \vert 1\rangle = \begin{pmatrix}0\\[1mm] 1\end{pmatrix}.$$

Všimni si, že libovolný dvourozměrný sloupcový vektor lze vyjádřit jako lineární kombinaci těchto dvou vektorů. Například,

$$\begin{pmatrix} \frac{3}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \frac{3}{4}\,\vert 0\rangle + \frac{1}{4}\,\vert 1\rangle.$$

Tento fakt se přirozeně zobecňuje na libovolnou množinu klasických stavů: libovolný sloupcový vektor lze zapsat jako lineární kombinaci standardních bázových stavů. Velmi často vyjadřujeme vektory právě tímto způsobem.

Vraťme se ke změně pravděpodobnostního stavu při měření a všimněme si následující souvislosti s našimi každodenními zkušenostmi. Předpokládejme, že hodíme férovou mincí, ale minci přikryjeme dříve, než se na ni podíváme. Pak bychom řekli, že její pravděpodobnostní stav je

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\,\vert\text{heads}\rangle + \frac{1}{2}\,\vert\text{tails}\rangle.$$

Zde je množina klasických stavů naší mince $\{\text{heads},\text{tails}\}$. Tyto stavy seřadíme tak, že panna bude první a orel druhý.

$$\vert\text{heads}\rangle = \begin{pmatrix}1\\[1mm] 0\end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \vert\text{tails}\rangle = \begin{pmatrix}0\\[1mm] 1\end{pmatrix}$$

Kdybychom minci odkryli a podívali se na ni, viděli bychom jeden ze dvou klasických stavů: pannu nebo orla. Předpokládejme, že výsledkem byl orel, pak bychom přirozeně aktualizovali náš popis pravděpodobnostního stavu mince tak, aby se stal $|\text{tails}\rangle$. Samozřejmě, kdybychom pak minci znovu přikryli a pak ji odkryli a podívali se na ni znovu, klasický stav by stále byl orel, což je v souladu s tím, že pravděpodobnostní stav je popsán vektorem $|\text{tails}\rangle$.

To se může zdát triviální, a v jistém smyslu to tak je. Kvantové systémy se však chovají zcela analogicky, přesto jsou jejich měřicí vlastnosti často považovány za podivné nebo neobvyklé. Stanovením analogických vlastností klasických systémů se způsob, jakým kvantová informace funguje, může zdát méně neobvyklý.

Jedna závěrečná poznámka k měření pravděpodobnostních stavů: pravděpodobnostní stavy popisují znalost nebo přesvědčení, ne nutně něco skutečného, a měření pouze mění naši znalost, nikoli samotný systém. Například stav mince poté, co ji hodíme, ale předtím, než se podíváme, je buď panna, nebo orel — jen nevíme který, dokud se nepodíváme. Když uvidíme, že klasický stav je řekněme orel, přirozeně bychom aktualizovali vektor popisující naši znalost na $|\text{tails}\rangle$, ale pro někoho jiného, kdo minci neviděl, by pravděpodobnostní stav zůstal nezměněn. To není důvod ke znepokojení; různí jedinci mohou mít různé znalosti nebo přesvědčení o konkrétním systému, a proto popisují tento systém různými vektory pravděpodobnosti.

Klasické operace

V poslední části tohoto stručného shrnutí klasické informace se budeme zabývat druhy operací, které lze provádět na klasickém systému.

Deterministické operace

Nejprve existují deterministické operace, kde je každý klasický stav $a\in\Sigma$ transformován na $f(a)$ pro nějakou funkci $f$ ve tvaru $f:\Sigma\rightarrow\Sigma$.

Například pokud $\Sigma = \{0,1\},$ existují čtyři funkce tohoto tvaru, $f_1,$ $f_2,$ $f_3,$ a $f_4,$ které mohou být reprezentovány tabulkami hodnot takto:

$$\begin{array}{c|c} a & f_1(a)\\ \hline 0 & 0\\ 1 & 0 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} a & f_2(a)\\ \hline 0 & 0\\ 1 & 1 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} a & f_3(a)\\ \hline 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} a & f_4(a)\\ \hline 0 & 1\\ 1 & 1 \end{array}$$

První a poslední z těchto funkcí jsou konstantní: $f_1(a) = 0$ a $f_4(a) = 1$ pro každé $a\in\Sigma.$ Prostřední dvě konstantní nejsou, jsou vyvážené: každá ze dvou výstupních hodnot se vyskytuje stejně často (v tomto případě jednou), když projdeme všechny možné vstupy. Funkce $f_2$ je identická funkce: $f_2(a) = a$ pro každé $a\in\Sigma.$ A $f_3$ je funkce $f_3(0) = 1$ a $f_3(1) = 0,$ která je lépe známá jako funkce NOT.

Působení deterministických operací na pravděpodobnostní stavy lze reprezentovat násobením matice vektorem. Konkrétně, matice $M$, která reprezentuje danou funkci $f:\Sigma\rightarrow\Sigma$, je ta, která splňuje

$$M \vert a \rangle = \vert f(a)\rangle$$

pro každé $a\in\Sigma$. Taková matice vždy existuje a je tímto požadavkem jednoznačně určena. Matice reprezentující deterministické operace mají vždy přesně jednu $1$ v každém sloupci a $0$ ve všech ostatních položkách.

Například matice $M_1,\ldots,M_4$ odpovídající výše uvedeným funkcím $f_1,\ldots,f_4$ jsou následující:

$$M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \hspace{4mm} M_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \hspace{4mm} M_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \hspace{4mm} M_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

Tady je rychlé ověření, že první matice je správná. Zbylé tři lze ověřit obdobně.

$$\begin{aligned} M_1 \vert 0\rangle & = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle = \vert f_1(0)\rangle \\[4mm] M_1 \vert 1\rangle & = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle = \vert f_1(1)\rangle \end{aligned}$$

Pohodlný způsob reprezentace matic těchto a jiných tvarů využívá analogickou notaci pro řádkové vektory k té pro sloupcové vektory, o které jsme hovořili dříve: symbolem $\langle a \vert$ označujeme řádkový vektor, který má $1$ ve složce odpovídající $a$ a nulu ve všech ostatních složkách, pro každé $a\in\Sigma$. Tento vektor se čte jako „bra $a$.“

Například pokud $\Sigma = \{0,1\}$, pak

$$\langle 0 \vert = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Pro libovolnou množinu klasických stavů $\Sigma$ můžeme řádkové vektory a sloupcové vektory považovat za matice a provést maticové násobení $\vert b\rangle \langle a\vert$. Získáme čtvercovou matici, která má na pozici odpovídající dvojici $(b,a)$ prvek $1$, což znamená, že řádek prvku odpovídá klasickému stavu $b$ a sloupec odpovídá klasickému stavu $a$, s $0$ ve všech ostatních prvcích. Například

$$\vert 0 \rangle \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Pomocí této notace můžeme matici $M$, která odpovídá libovolné dané funkci $f:\Sigma\rightarrow\Sigma$, vyjádřit jako

$$M = \sum_{a\in\Sigma} \vert f(a) \rangle \langle a \vert.$$

Uvažuj například výše uvedenou funkci $f_4$, pro kterou $\Sigma = \{0,1\}$. Získáme matici

$$M_4 = \vert f_4(0) \rangle \langle 0 \vert + \vert f_4(1) \rangle \langle 1 \vert = \vert 1\rangle \langle 0\vert + \vert 1\rangle \langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

Důvod, proč to funguje, je následující. Pokud znovu uvažujeme vektory jako matice a tentokrát se podíváme na součin $\langle a \vert \vert b \rangle$, získáme matici $1\times 1$, kterou můžeme považovat za skalár (tedy číslo). Kvůli přehlednosti zapisujeme tento součin jako $\langle a \vert b\rangle$ místo $\langle a \vert \vert b \rangle$. Tento součin splňuje následující jednoduchý vzorec:

$$\langle a \vert b \rangle = \begin{cases} 1 & a = b\\[1mm] 0 & a \neq b. \end{cases}$$

Pomocí tohoto pozorování, spolu s faktem, že násobení matic je asociativní a lineární, získáme

$$M \vert b \rangle = \Biggl( \sum_{a\in\Sigma} \vert f(a) \rangle \langle a \vert \Biggr) \vert b\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert f(a) \rangle \langle a \vert b \rangle = \vert f(b)\rangle,$$

pro každé $b\in\Sigma$, což je přesně to, co od matice $M$ požadujeme.

Jak budeme podrobněji probírat v pozdější lekci, $\langle a \vert b \rangle$ lze také chápat jako skalární součin vektorů $\vert a\rangle$ a $\vert b\rangle.$ Skalární součiny jsou v kvantové informatice kriticky důležité, ale jejich diskusi odložíme, dokud je nebudeme potřebovat.

V tuto chvíli už mohou být názvy „bra“ a „ket“ zřejmé: spojením „bra“ $\langle a\vert$ s „ket“ $\vert b\rangle$ vznikne „bracket“ (závorka) $\langle a \vert b\rangle$. Tato notace a terminologie pochází od Paula Diraca, a proto je známá jako Diracova notace.

Pravděpodobnostní operace a stochastické matice

Kromě deterministických operací existují pravděpodobnostní operace.

Uvažuj například následující operaci na bitu. Pokud je klasický stav bitu $0,$ zůstává beze změny; a pokud je klasický stav bitu $1,$ hodíme si o něj mincí, takže se stane $0$ s pravděpodobností $1/2$ a $1$ s pravděpodobností $1/2.$ Tato operace je reprezentována maticí

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Správnost této matice si můžeš ověřit vynásobením obou standardních bázových vektorů touto maticí.

Pro libovolnou volbu množiny klasických stavů můžeme množinu všech pravděpodobnostních operací popsat matematicky jako ty, které jsou reprezentovány stochastickými maticemi, což jsou matice splňující tyto dvě vlastnosti:

1. Všechny položky jsou nezáporná reálná čísla.

2. Součet položek v každém sloupci je roven $1$.

Ekvivalentně, stochastické matice jsou matice, jejichž sloupce tvoří vektory pravděpodobnosti.

O pravděpodobnostních operacích můžeme intuitivně přemýšlet jako o operacích, kde se během operace nějakým způsobem používá nebo zavádí náhodnost, stejně jako ve výše uvedeném příkladu. S ohledem na popis pravděpodobnostní operace pomocí stochastické matice lze každý sloupec chápat jako vektorovou reprezentaci pravděpodobnostního stavu, který vznikne, když klasický vstupní stav odpovídá danému sloupci.

Stochastické matice si můžeme také představit jako přesně ty matice, které vždy zobrazí vektory pravděpodobnosti na vektory pravděpodobnosti. To znamená, že stochastické matice vždy zobrazí vektory pravděpodobnosti na vektory pravděpodobnosti, a každá matice, která vždy zobrazí vektory pravděpodobnosti na vektory pravděpodobnosti, musí být stochastická matice.

A konečně, jiný způsob, jak přemýšlet o pravděpodobnostních operacích, je, že jsou to náhodné volby z deterministických operací. Například o operaci ve výše uvedeném příkladu můžeme přemýšlet jako o aplikaci buď funkce identity, nebo konstantní funkce 0, každé s pravděpodobností $1/2$. To odpovídá rovnici

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Takový výraz je vždy možný, pro libovolnou volbu množiny klasických stavů a jakoukoli stochastickou matici s řádky a sloupci označenými touto množinou klasických stavů.

Skládání pravděpodobnostních operací

Předpokládejme, že $\mathsf{X}$ je systém s množinou klasických stavů $\Sigma$, a $M_1,\ldots,M_n$ jsou stochastické matice reprezentující pravděpodobnostní operace na systému $\mathsf{X}$.

Pokud první operaci $M_1$ aplikujeme na pravděpodobnostní stav reprezentovaný vektorem pravděpodobnosti $u$, výsledný pravděpodobnostní stav je reprezentován vektorem $M_1 u$. Pokud pak na tento nový vektor pravděpodobnosti aplikujeme druhou pravděpodobnostní operaci $M_2$, získáme vektor pravděpodobnosti

$$M_2 (M_1 u) = (M_2 M_1) u.$$

Rovnost plyne z faktu, že násobení matic (včetně násobení matice vektorem jako speciálního případu) je asociativní operace. Pravděpodobnostní operace získaná složením první a druhé pravděpodobnostní operace, kde nejprve aplikujeme $M_1$ a poté $M_2$, je tedy reprezentována maticí $M_2 M_1$, která je nutně stochastická.

Obecněji, složení pravděpodobnostních operací reprezentovaných maticemi $M_1,\ldots,M_n$ v tomto pořadí, což znamená, že $M_1$ se aplikuje jako první, $M_2$ jako druhá, a tak dále, přičemž $M_n$ se aplikuje jako poslední, je reprezentováno maticovým součinem

$$M_n \,\cdots\, M_1.$$

Všimni si, že na pořadí zde záleží: ačkoliv je násobení matic asociativní, není to komutativní operace. Například pokud

$$M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad M_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix},$$

pak

$$M_2 M_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[1mm] 1 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad M_1 M_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

To znamená, že na pořadí, ve kterém jsou skládány pravděpodobnostní operace, záleží; změna pořadí, v němž operace při skládání aplikujeme, může změnit výslednou operaci.