Klasická informace

Abychom mohli popsat kvantovou informaci a jak funguje, začneme přehledem klasické informace. Je přirozené se ptát, proč se v kurzu o kvantové informaci věnuje tolik pozornosti klasické informaci, ale existují pro to dobré důvody.

Zaprvé, ačkoli se kvantová a klasická informace v některých ohledech dramaticky liší, jejich matematické popisy jsou ve skutečnosti poměrně podobné. Klasická informace také slouží jako známý referenční bod při studiu kvantové informace a jako zdroj analogií, které fungují překvapivě daleko. Často se stává, že lidé kladou otázky o kvantové informaci, které mají přirozené klasické analogie, a tyto otázky mají často jednoduché odpovědi, jež mohou poskytnout jasnost i vhled do původních otázek o kvantové informaci. Není vůbec nerozumné tvrdit, že bez porozumění klasické informaci nelze skutečně pochopit kvantovou informaci.

Někteří čtenáři už mohou být s materiálem probíraným v této sekci obeznámeni, jiní ne — ale tato diskuse je určena oběma skupinám. Kromě zdůraznění aspektů klasické informace, které jsou nejrelevantnější pro úvod do kvantové informace, tato sekce představuje Diracovu notaci, která se často používá k popisu vektorů a matic v kvantové informaci a výpočtech. Jak se ukáže, Diracova notace není specifická pro kvantovou informaci; stejně dobře ji lze použít v kontextu klasické informace i v mnoha dalších situacích, kde se vektory a matice vyskytují.

Klasické stavy a vektory pravděpodobnosti

Předpokládejme, že máme systém, který uchovává informaci. Přesněji řečeno, budeme předpokládat, že tento systém se může v každém okamžiku nacházet v jednom z konečného počtu klasických stavů. Pojem klasický stav by měl být chápán intuitivně, jako konfigurace, kterou lze jednoznačně rozpoznat a popsat.

Typickým příkladem, ke kterému se budeme opakovaně vracet, je bit, což je systém, jehož klasické stavy jsou $0$ a $1.$ Dalšími příklady jsou standardní šestistěnná kostka, jejíž klasické stavy jsou $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ a $6$ (reprezentované odpovídajícím počtem teček na horní stěně); nukleobáze v řetězci DNA, jejíž klasické stavy jsou A, C, G a T; a přepínač na elektrickém ventilátoru, jehož klasické stavy jsou (obvykle) vysoký, střední, nízký a vypnuto. V matematických termínech je specifikace klasických stavů systému vlastně výchozím bodem: bit definujeme jako systém, který má klasické stavy $0$ a $1,$ a analogicky pro systémy s jinými množinami klasických stavů.

Pro účely této diskuse pojmenujme zkoumaný systém $\mathsf{X}$ a symbolem $\Sigma$ označme množinu klasických stavů systému $\mathsf{X}.$ Kromě předpokladu, že $\Sigma$ je konečná, což jsme již zmínili, přirozeně předpokládáme, že $\Sigma$ je neprázdná — protože nemá smysl, aby fyzikální systém neměl žádné stavy. A i když dává smysl uvažovat o fyzikálních systémech s nekonečně mnoha klasickými stavy, tuto možnost pomineme, protože ačkoli je jistě zajímavá, pro tento kurz není relevantní. Z těchto důvodů a pro stručnost budeme dále používat termín množina klasických stavů pro libovolnou konečnou a neprázdnou množinu.

Zde je několik příkladů:

1. Pokud je $\mathsf{X}$ bit, pak $\Sigma = \{0,1\}.$ Slovně tuto množinu označujeme jako binární abeceda.
2. Pokud je $\mathsf{X}$ šestistěnná kostka, pak $\Sigma = \{1,2,3,4,5,6\}.$
3. Pokud je $\mathsf{X}$ přepínač elektrického ventilátoru, pak $\Sigma = \{\mathrm{high}, \mathrm{medium}, \mathrm{low}, \mathrm{off}\}.$

Když uvažujeme o $\mathsf{X}$ jako o nositeli informace, různým klasickým stavům $\mathsf{X}$ mohou být přiřazeny určité významy, vedoucí k různým výsledkům nebo důsledkům. V takových případech může stačit popsat $\mathsf{X}$ jednoduše tak, že se nachází v jednom ze svých možných klasických stavů. Například pokud je $\mathsf{X}$ přepínač ventilátoru, můžeme s jistotou vědět, že je nastaven na vysoký, což nás pak může vést k přepnutí na střední.

Často je však při zpracování informací naše znalost nejistá. Jedním ze způsobů, jak reprezentovat naši znalost o klasickém stavu systému $\mathsf{X}$, je přiřadit pravděpodobnosti jeho různým možným klasickým stavům, čímž získáme to, co budeme nazývat pravděpodobnostní stav.

Předpokládejme například, že $\mathsf{X}$ je bit. Na základě toho, co víme nebo očekáváme o tom, co se s $\mathsf{X}$ v minulosti stalo, bychom mohli věřit, že $\mathsf{X}$ je v klasickém stavu $0$ s pravděpodobností $3/4$ a ve stavu $1$ s pravděpodobností $1/4.$ Tyto předpoklady můžeme zapsat takto:

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{X}=0) = \frac{3}{4} \quad\text{and}\quad \operatorname{Pr}(\mathsf{X}=1) = \frac{1}{4}.$$

Stručnější způsob, jak tento pravděpodobnostní stav reprezentovat, je sloupcový vektor.

$$\begin{pmatrix} \frac{3}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} \end{pmatrix}$$

Pravděpodobnost, že bit je $0$, je umístěna nahoře ve vektoru a pravděpodobnost, že bit je $1$, je umístěna dole, protože to je konvenční způsob řazení množiny $\{0,1\}.$

Obecně můžeme pravděpodobnostní stav systému s libovolnou množinou klasických stavů reprezentovat stejným způsobem, jako vektor pravděpodobností. Pravděpodobnosti mohou být seřazeny libovolně, ale obvykle existuje přirozený nebo výchozí způsob, jak to udělat. Přesněji řečeno, libovolný pravděpodobnostní stav můžeme reprezentovat sloupcovým vektorem splňujícím dvě vlastnosti:

1. Všechny složky vektoru jsou nezáporná reálná čísla.
2. Součet složek je roven $1.$

Naopak, libovolný sloupcový vektor, který splňuje tyto dvě vlastnosti, může být chápán jako reprezentace pravděpodobnostního stavu. Dále budeme vektory tohoto tvaru nazývat vektory pravděpodobnosti.

Kromě stručnosti tohoto zápisu má identifikace pravděpodobnostních stavů jako sloupcových vektorů tu výhodu, že operace na pravděpodobnostních stavech jsou reprezentovány násobením matice a vektoru, jak bude probráno za chvíli.

Měření pravděpodobnostních stavů

Dále se podívejme na to, co se stane, když změříme systém, který je v pravděpodobnostním stavu. V tomto kontextu měřením systému jednoduše myslíme, že se na systém podíváme a jednoznačně rozpoznáme, v jakém klasickém stavu se nachází. Intuitivně řečeno, pravděpodobnostní stav systému „nevidíme"; když se na něj podíváme, vidíme prostě jeden z možných klasických stavů.

Měřením systému můžeme také změnit naši znalost o něm, a proto se může změnit i pravděpodobnostní stav, který s ním spojujeme. To znamená, že pokud rozpoznáme, že $\mathsf{X}$ je v klasickém stavu $a\in\Sigma,$ pak nový vektor pravděpodobnosti reprezentující naši znalost o stavu $\mathsf{X}$ se stane vektorem, který má $1$ na pozici odpovídající $a$ a $0$ na všech ostatních pozicích. Tento vektor označuje, že $\mathsf{X}$ je v klasickém stavu $a$ s jistotou — což víme, protože jsme ho právě rozpoznali — a tento vektor označujeme $\vert a\rangle,$ což se čte jako „ket $a$" z důvodu, který bude vysvětlen za chvíli. Vektory tohoto druhu se také nazývají vektory standardní báze.

Například za předpokladu, že systém, který máme na mysli, je bit, jsou vektory standardní báze dány vztahem

$$\vert 0\rangle = \begin{pmatrix}1\\[1mm] 0\end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \vert 1\rangle = \begin{pmatrix}0\\[1mm] 1\end{pmatrix}.$$

Všimni si, že libovolný dvourozměrný sloupcový vektor lze vyjádřit jako lineární kombinaci těchto dvou vektorů. Například,

$$\begin{pmatrix} \frac{3}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \frac{3}{4}\,\vert 0\rangle + \frac{1}{4}\,\vert 1\rangle.$$

Tento fakt se přirozeně zobecňuje na libovolnou množinu klasických stavů: libovolný sloupcový vektor lze zapsat jako lineární kombinaci standardních bázových stavů. Velmi často vyjadřujeme vektory právě tímto způsobem.

Vraťme se ke změně pravděpodobnostního stavu při měření a všimněme si následující souvislosti s našimi každodenními zkušenostmi. Předpokládejme, že hodíme férovou mincí, ale minci přikryjeme dříve, než se na ni podíváme. Pak bychom řekli, že její pravděpodobnostní stav je

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\,\vert\text{heads}\rangle + \frac{1}{2}\,\vert\text{tails}\rangle.$$

Zde je množina klasických stavů naší mince $\{\text{heads},\text{tails}\}.$ Zvolíme si řazení těchto stavů jako hlava první, orel druhý.

$$\vert\text{heads}\rangle = \begin{pmatrix}1\\[1mm] 0\end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \vert\text{tails}\rangle = \begin{pmatrix}0\\[1mm] 1\end{pmatrix}$$

Kdybychom minci odkryli a podívali se na ni, viděli bychom jeden ze dvou klasických stavů: hlavu nebo orel. Předpokládejme, že výsledkem byl orel, pak bychom přirozeně aktualizovali náš popis pravděpodobnostního stavu mince tak, aby se stal $|\text{tails}\rangle.$ Samozřejmě, kdybychom pak minci znovu přikryli a pak ji odkryli a podívali se na ni znovu, klasický stav by stále byl orel, což je v souladu s tím, že pravděpodobnostní stav je popsán vektorem $|\text{tails}\rangle.$

To se může zdát triviální, a v jistém smyslu to tak je. Kvantové systémy se však chovají zcela analogicky, přesto jsou jejich měřicí vlastnosti často považovány za podivné nebo neobvyklé. Stanovením analogických vlastností klasických systémů se způsob, jakým kvantová informace funguje, může zdát méně neobvyklý.

Jedna závěrečná poznámka k měření pravděpodobnostních stavů: pravděpodobnostní stavy popisují znalost nebo přesvědčení, ne nutně něco skutečného, a měření pouze mění naši znalost, nikoli samotný systém. Například stav mince poté, co ji hodíme, ale předtím, než se podíváme, je buď hlava, nebo orel — jen nevíme který, dokud se nepodíváme. Když uvidíme, že klasický stav je řekněme orel, přirozeně bychom aktualizovali vektor popisující naši znalost na $|\text{tails}\rangle,$ ale pro někoho jiného, kdo minci neviděl, by pravděpodobnostní stav zůstal nezměněn. To není důvod k znepokojení; různí jedinci mohou mít různé znalosti nebo přesvědčení o konkrétním systému, a proto popisují tento systém různými vektory pravděpodobnosti.

Klasické operace

V poslední části tohoto stručného shrnutí klasické informace se budeme zabývat druhy operací, které lze provádět na klasickém systému.

Deterministické operace

Nejprve existují deterministické operace, kde je každý klasický stav $a\in\Sigma$ transformován na $f(a)$ pro nějakou funkci $f$ ve tvaru $f:\Sigma\rightarrow\Sigma.$

Například pokud $\Sigma = \{0,1\},$ existují čtyři funkce tohoto tvaru, $f_1,$ $f_2,$ $f_3,$ a $f_4,$ které mohou být reprezentovány tabulkami hodnot takto:

$$\begin{array}{c|c} a & f_1(a)\\ \hline 0 & 0\\ 1 & 0 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} a & f_2(a)\\ \hline 0 & 0\\ 1 & 1 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} a & f_3(a)\\ \hline 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} a & f_4(a)\\ \hline 0 & 1\\ 1 & 1 \end{array}$$

Prvni a posledni z techto funkci jsou konstantni: $f_1(a) = 0$ a $f_4(a) = 1$ pro kazde $a\in\Sigma.$ Prostredni dve konstantni nejsou, jsou balancovane: kazda ze dvou vystupnich hodnot se vyskytuje stejny pocet krat (v tomto pripade jednou), kdyz projdeme vsechny mozne vstupy. Funkce $f_2$ je funkce identity: $f_2(a) = a$ pro kazde $a\in\Sigma.$ A $f_3$ je funkce $f_3(0) = 1$ a $f_3(1) = 0,$ ktera je lepe znama jako funkce NOT.

Pusobeni deterministickych operaci na pravdepodobnostni stavy lze reprezentovat nasobenim matice vektorem. Konkretne, matice $M$, ktera reprezentuje danou funkci $f:\Sigma\rightarrow\Sigma$, je ta, ktera splnuje

$$M \vert a \rangle = \vert f(a)\rangle$$

pro kazde $a\in\Sigma.$ Takova matice vzdy existuje a je timto pozadavkem jednoznacne urcena. Matice reprezentujici deterministicke operace maji vzdy presne jednu $1$ v kazdem sloupci a $0$ ve vsech ostatnich polozkach.

Napr. matice $M_1,\ldots,M_4$ odpovidajici vyse uvedenym funkcim $f_1,\ldots,f_4$ jsou nasledujici:

$$M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \hspace{4mm} M_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \hspace{4mm} M_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \hspace{4mm} M_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

Tady je rychle overeni, ze prvni matice je spravna. Zbyle tri lze overit obdobne.

$$\begin{aligned} M_1 \vert 0\rangle & = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle = \vert f_1(0)\rangle \\[4mm] M_1 \vert 1\rangle & = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle = \vert f_1(1)\rangle \end{aligned}$$

Pohodlny zpusob reprezentace matic techto a jinych tvaru vyuziva analogickou notaci pro radkove vektory k te pro sloupcove vektory, o ktere jsme hovorili drive: symbolem $\langle a \vert$ oznacujeme radkovy vektor, ktery ma $1$ v polozce odpovidajici $a$ a nulu ve vsech ostatnich polozkach, pro kazde $a\in\Sigma.$ Tento vektor se cte jako "bra $a.$"

Napr. pokud $\Sigma = \{0,1\},$ pak

$$\langle 0 \vert = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Pro libovolnou mnozinu klasickych stavu $\Sigma$ muzeme radkove vektory a sloupcove vektory povazovat za matice a provest maticove nasobeni $\vert b\rangle \langle a\vert.$ Ziskame ctvercovou matici, ktera ma $1$ v polozce odpovidajici dvojici $(b,a),$ coz znamena, ze radek polozky odpovida klasickemu stavu $b$ a sloupec odpovida klasickemu stavu $a,$ s $0$ ve vsech ostatnich polozkach. Napriklad

$$\vert 0 \rangle \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Pomoci teto notace muzeme matici $M$, ktera odpovida libovolne dane funkci $f:\Sigma\rightarrow\Sigma$, vyjadrit jako

$$M = \sum_{a\in\Sigma} \vert f(a) \rangle \langle a \vert.$$

Uvazuj napr. vyse uvedenou funkci $f_4$, pro kterou $\Sigma = \{0,1\}.$ Ziskame matici

$$M_4 = \vert f_4(0) \rangle \langle 0 \vert + \vert f_4(1) \rangle \langle 1 \vert = \vert 1\rangle \langle 0\vert + \vert 1\rangle \langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

Duvod, proc to funguje, je nasledujici. Pokud znovu uvazujeme vektory jako matice a tentokrat se podivame na soucin $\langle a \vert \vert b \rangle,$ ziskame matici $1\times 1$, kterou muzeme povazovat za skalar (tedy cislo). Kvuli prehlednosti zapisujeme tento soucin jako $\langle a \vert b\rangle$ misto $\langle a \vert \vert b \rangle.$ Tento soucin splnuje nasledujici jednoduchy vzorec:

$$\langle a \vert b \rangle = \begin{cases} 1 & a = b\\[1mm] 0 & a \neq b. \end{cases}$$

Pomoci tohoto pozorovani, spolu s faktem, ze nasobeni matic je asociativni a linearni, ziskame

$$M \vert b \rangle = \Biggl( \sum_{a\in\Sigma} \vert f(a) \rangle \langle a \vert \Biggr) \vert b\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert f(a) \rangle \langle a \vert b \rangle = \vert f(b)\rangle,$$

pro kazde $b\in\Sigma,$ coz je presne to, co od matice $M$ pozadujeme.

Jak budeme podrobneji rozebrat v pozdejsi lekci, $\langle a \vert b \rangle$ lze take chapat jako vnitrni soucin mezi vektory $\vert a\rangle$ a $\vert b\rangle.$ Vnitrni souciny jsou v kvantove informatice kriticky dulezite, ale jejich diskuzi odlozime, dokud je nebudeme potrebovat.

V tuto chvili mohou byt nazvy "bra" a "ket" zrejme: spojenim "bra" $\langle a\vert$ s "ket" $\vert b\rangle$ vznikne "bracket" (zavorka) $\langle a \vert b\rangle.$ Tato notace a terminologie pochazi od Paula Diraca, a proto je znama jako Diracova notace.

Pravdepodobnostni operace a stochasticke matice

Krome deterministickych operaci existuji pravdepodobnostni operace.

Uvazuj napr. nasledujici operaci na bitu. Pokud je klasicky stav bitu $0,$ zustavaji beze zmeny; a pokud je klasicky stav bitu $1,$ preklopime ho, takze se stane $0$ s pravdepodobnosti $1/2$ a $1$ s pravdepodobnosti $1/2.$ Tato operace je reprezentovana matici

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Spravnost teto matice si muzes overit vynasobenim obou standardnich bazovych vektoru touto matici.

Pro libovolnou volbu mnoziny klasickych stavu muzeme mnozinu vsech pravdepodobnostnich operaci popsat matematicky jako ty, ktere jsou reprezentovany stochastickymi maticemi, coz jsou matice splnujici tyto dve vlastnosti:

1. Vsechny polozky jsou nezaporna realna cisla.
2. Soucet polozek v kazdem sloupci je roven $1.$

Ekvivalentne, stochasticke matice jsou matice, jejichz sloupce tvori pravdepodobnostni vektory.

O pravdepodobnostnich operacich muzeme intuitivne premyslet jako o operacich, kde se behem operace nejakym zpusobem pouziva nebo zavadi nahodnost, stejne jako ve vyse uvedenem prikladu. S ohledem na popis pravdepodobnostni operace pomoci stochasticke matice lze kazdy sloupec chapat jako vektorovou reprezentaci pravdepodobnostniho stavu, ktery vznikne, kdyz klasicky vstupni stav odpovida danemu sloupci.

Stochasticke matice si muzeme take predstavit jako presne ty matice, ktere vzdy zobrazi pravdepodobnostni vektory na pravdepodobnostni vektory. To znamena, ze stochasticke matice vzdy zobrazi pravdepodobnostni vektory na pravdepodobnostni vektory, a kazda matice, ktera vzdy zobrazi pravdepodobnostni vektory na pravdepodobnostni vektory, musi byt stochasticka matice.

A konecne, jiny zpusob, jak premyslet o pravdepodobnostnich operacich, je, ze jsou to nahodne volby z deterministickych operaci. Napr. o operaci ve vyse uvedenem prikladu muzeme premyslet jako o aplikaci bud funkce identity, nebo konstantni funkce 0, kazde s pravdepodobnosti $1/2.$ To odpovida rovnici

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Takovy vyraz je vzdy mozny, pro libovolnou volbu mnoziny klasickych stavu a jakoukoli stochastickou matici s radky a sloupci oznacenymi touto mnozinou klasickych stavu.

Skladani pravdepodobnostnich operaci

Predpokladejme, ze $\mathsf{X}$ je system s mnozinou klasickych stavu $\Sigma,$ a $M_1,\ldots,M_n$ jsou stochasticke matice reprezentujici pravdepodobnostni operace na systemu $\mathsf{X}.$

Pokud prvni operaci $M_1$ aplikujeme na pravdepodobnostni stav reprezentovany pravdepodobnostnim vektorem $u,$ vysledny pravdepodobnostni stav je reprezentovan vektorem $M_1 u.$ Pokud pak na tento novy pravdepodobnostni vektor aplikujeme druhou pravdepodobnostni operaci $M_2,$ ziskame pravdepodobnostni vektor

$$M_2 (M_1 u) = (M_2 M_1) u.$$

Rovnost plyne z faktu, ze nasobeni matic (vcetne nasobeni matice vektorem jako specialniho pripadu) je asociativni operace. Pravdepodobnostni operace ziskana slozenim prvni a druhe pravdepodobnostni operace, kde nejprve aplikujeme $M_1$ a pote $M_2,$ je tedy reprezentovana matici $M_2 M_1,$ ktera je nutne stochasticka.

Obecneji, slozeni pravdepodobnostnich operaci reprezentovanych maticemi $M_1,\ldots,M_n$ v tomto poradi, coz znamena, ze $M_1$ se aplikuje jako prvni, $M_2$ jako druha, a tak dale, pricemz $M_n$ se aplikuje jako posledni, je reprezentovano maticovym soucinem

$$M_n \,\cdots\, M_1.$$

Vsimnete si, ze na poradi zde zalezi: ackoliv je nasobeni matic asociativni, neni to komutativni operace. Napr. pokud

$$M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad M_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix},$$

pak

$$M_2 M_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[1mm] 1 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad M_1 M_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}.$$