Kvantová informace

Nyní jsme připraveni přejít ke kvantové informaci, kde volíme jiný typ vektoru pro reprezentaci stavu — v tomto případě kvantového stavu — zkoumaného systému. Podobně jako v předchozí diskusi o klasické informaci se budeme zabývat systémy s konečnými a neprázdnými množinami klasických stavů a budeme využívat velkou část stejné notace.

Vektory kvantových stavů

Kvantový stav systému je reprezentován sloupcovým vektorem, podobně jako pravděpodobnostní stav. Stejně jako dříve indexy vektoru označují klasické stavy systému. Vektory reprezentující kvantové stavy se vyznačují těmito dvěma vlastnostmi:

1. Složky vektoru kvantového stavu jsou komplexní čísla.
2. Součet absolutních hodnot na druhou složek vektoru kvantového stavu je $1.$

Na rozdíl od pravděpodobnostních stavů tedy vektory reprezentující kvantové stavy nemusí mít nezáporné reálné složky a musí být roven $1$ součet absolutních hodnot na druhou (nikoli součet samotných složek). Jakkoli jednoduché tyto změny jsou, dávají vzniknout rozdílům mezi kvantovou a klasickou informací; jakékoli zrychlení kvantového počítače nebo zlepšení kvantového komunikačního protokolu je v konečném důsledku odvozeno z těchto jednoduchých matematických změn.

Euklidovská norma sloupcového vektoru

$$v = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix}$$

je označena a definována následovně:

$$\| v \| = \sqrt{\sum_{k=1}^n |\alpha_k|^2}.$$

Podmínka, že součet absolutních hodnot na druhou složek vektoru kvantového stavu je roven $1,$ je tedy ekvivalentní tomu, že tento vektor má euklidovskou normu rovnou $1.$ To znamená, že vektory kvantových stavů jsou jednotkové vektory vzhledem k euklidovské normě.

Příklady stavů Qubit

Termín Qubit označuje kvantový systém, jehož množina klasických stavů je $\{0,1\}.$ Qubit je tedy vlastně jen bit — ale použitím tohoto názvu výslovně uznáváme, že tento bit může být v kvantovém stavu.

Toto jsou příklady kvantových stavů Qubit:

$$\begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle \quad\text{and}\quad \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1\rangle,$$ $$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 1\rangle, \tag{1}$$

a

$$\begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{1+2i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle.$$

První dva příklady, $\vert 0\rangle$ a $\vert 1\rangle,$ ukazují, že standardní bázové vektory jsou platnými vektory kvantového stavu: jejich složky jsou komplexní čísla, kde imaginární část těchto čísel je náhodou $0,$ a výpočet součtu absolutních hodnot na druhou složek dává

$$\vert 1\vert^2 + \vert 0\vert^2 = 1 \quad\text{and}\quad \vert 0\vert^2 + \vert 1\vert^2 = 1,$$

jak je požadováno. Podobně jako v klasickém případě přiřazujeme vektory kvantových stavů $\vert 0\rangle$ a $\vert 1\rangle$ Qubit nacházejícímu se v klasickém stavu $0,$ respektive $1.$

Pro další dva příklady máme opět složky, které jsou komplexními čísly, a výpočet součtu absolutních hodnot na druhou složek dává

$$\biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 + \biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

a

$$\biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 + \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} = 1.$$

Jedná se tedy o platné vektory kvantových stavů. Všimni si, že jsou lineárními kombinacemi standardních bázových stavů $\vert 0 \rangle$ a $\vert 1 \rangle,$ a z tohoto důvodu často říkáme, že jsou superpozicemi stavů $0$ a $1.$ V kontextu kvantových stavů jsou superpozice a lineární kombinace v podstatě synonyma.

Příklad $(1)$ vektoru stavu Qubit výše se vyskytuje velmi často — nazývá se stav plus a značí se takto:

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

Používáme také notaci

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle$$

pro příbuzný vektor kvantového stavu, kde je druhá složka záporná místo kladné, a tento stav nazýváme stav minus.

Tento druh notace, kde se uvnitř ketu objevuje jiný symbol než ten odkazující na klasický stav, je běžný — uvnitř ketu můžeš použít jakýkoli název pro pojmenování vektoru. Je velmi časté používat notaci $\vert\psi\rangle,$ nebo jiné jméno místo $\psi,$ pro odkazování na libovolný vektor, který nemusí být nutně standardním bázovým vektorem.

Všimni si, že pokud máš vektor $\vert \psi \rangle,$ jehož indexy odpovídají nějaké množině klasických stavů $\Sigma,$ a pokud $a\in\Sigma$ je prvkem této množiny klasických stavů, pak maticový součin $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ je roven složce vektoru $\vert \psi \rangle,$ jejíž index odpovídá $a.$ Stejně jako jsme to dělali, když $\vert \psi \rangle$ byl standardní bázový vektor, píšeme $\langle a \vert \psi \rangle$ místo $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ kvůli čitelnosti.

Například pokud $\Sigma = \{0,1\}$ a

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix}, \tag{2}$$

pak

$$\langle 0 \vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \quad\text{and}\quad \langle 1 \vert \psi \rangle = -\frac{2}{3}.$$

Obecně, když používáme Diracovu notaci pro libovolné vektory, zápis $\langle \psi \vert$ označuje řádkový vektor získaný komplexně sdruženou transpozicí sloupcového vektoru $\vert\psi\rangle,$ kde se vektor transponuje ze sloupcového na řádkový a každá složka se nahradí svým komplexně sdruženým číslem. Například pokud $\vert\psi\rangle$ je vektor definovaný v $(2),$ pak

$$\langle\psi\vert = \frac{1-2i}{3} \langle 0\vert - \frac{2}{3} \langle 1\vert = \begin{pmatrix} \frac{1-2i}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}.$$

Důvod, proč bereme komplexně sdružené číslo navíc k transpozici, bude jasnější později, až budeme probírat skalární součiny.

Kvantové stavy jiných systémů

Můžeme uvažovat kvantové stavy systémů s libovolnými množinami klasických stavů. Například zde je kvantový stavový vektor pro přepínač elektrického ventilátoru:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[1mm] 0 \\[1mm] -\frac{i}{2}\\[1mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \vert\mathrm{high}\rangle - \frac{i}{2} \vert\mathrm{low}\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert\mathrm{off}\rangle.$$

Předpokládáme přitom, že klasické stavy jsou seřazeny jako high, medium, low, off. Nemusí existovat žádný konkrétní důvod, proč bychom chtěli uvažovat kvantový stav přepínače ventilátoru, ale v principu je to možné.

Zde je další příklad, tentokrát kvantová desetinná číslice, jejíž klasické stavy jsou $0, 1, \ldots, 9:$

$$\frac{1}{\sqrt{385}} \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 5\\ 6\\ 7\\ 8\\ 9\\ 10 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{385}}\sum_{k = 0}^9 (k+1) \vert k \rangle.$$

Tento příklad ilustruje pohodlnost zápisu stavových vektorů pomocí Diracovy notace. V tomto konkrétním případě je sloupcová reprezentace pouze nepraktická — ale pokud by klasických stavů bylo výrazně více, stala by se nepoužitelnou. Diracova notace naproti tomu umožňuje přesné popisy velkých a komplikovaných vektorů v kompaktní formě.

Diracova notace také umožňuje vyjádření vektorů, kde různé aspekty vektorů jsou neurčité, tedy neznámé nebo dosud nestanovené. Například pro libovolnou množinu klasických stavů $\Sigma,$ můžeme uvažovat kvantový stavový vektor

$$\frac{1}{\sqrt{|\Sigma|}} \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle,$$

kde zápis $\sqrt{|\Sigma|}$ označuje euklidovskou normu $\Sigma,$ a $\vert\Sigma\vert$ je v tomto případě jednoduše počet prvků v $\Sigma.$ Jinými slovy, jedná se o uniformní superpozici přes klasické stavy v $\Sigma.$

S mnohem složitějšími výrazy kvantových stavových vektorů se setkáme v pozdějších lekcích, kde by použití sloupcových vektorů bylo nepraktické nebo nemožné. Ve skutečnosti sloupcovou reprezentaci stavových vektorů většinou opustíme, s výjimkou vektorů s malým počtem složek (často v kontextu příkladů), kde může být užitečné zobrazit a prozkoumat jednotlivé složky explicitně.

Zde je ještě jeden důvod, proč je vyjadřování stavových vektorů pomocí Diracovy notace pohodlné: odpadá nutnost explicitně specifikovat uspořádání klasických stavů (nebo ekvivalentně korespondenci mezi klasickými stavy a indexy vektoru).

Například kvantový stavový vektor pro systém s množinou klasických stavů $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\},$ jako je

$$\frac{1}{2} \vert\clubsuit\rangle + \frac{i}{2} \vert\diamondsuit\rangle - \frac{1}{2} \vert\heartsuit\rangle - \frac{i}{2} \vert\spadesuit\rangle,$$

je tímto výrazem jednoznačně popsán a skutečně není potřeba volit ani specifikovat uspořádání této množiny klasických stavů, aby výraz dával smysl. V tomto případě není těžké specifikovat uspořádání standardních karetních barev — například bychom je mohli seřadit takto: $\clubsuit,$ $\diamondsuit,$ $\heartsuit,$ $\spadesuit.$ Pokud zvolíme toto konkrétní uspořádání, výše uvedený kvantový stavový vektor by byl reprezentován sloupcovým vektorem

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} \end{pmatrix}.$$

Obecně je však pohodlné moci otázku uspořádání množin klasických stavů jednoduše ignorovat.

Měření kvantových stavů

Dále se podíváme na to, co se stane, když je kvantový stav změřen, přičemž se zaměříme na jednoduchý typ měření známý jako měření ve standardní bázi. (Obecnější pojmy měření probereme později.)

Podobně jako v probabilistickém nastavení, když je systém v kvantovém stavu změřen, hypotetický pozorovatel provádějící měření neuvidí kvantový stavový vektor, ale místo toho uvidí nějaký klasický stav. V tomto smyslu měření fungují jako rozhraní mezi kvantovou a klasickou informací, skrze které je z kvantových stavů extrahována klasická informace.

Pravidlo je jednoduché: pokud je kvantový stav změřen, každý klasický stav systému se objeví s pravděpodobností rovnou druhé mocnině absolutní hodnoty příslušné složky kvantového stavového vektoru odpovídající danému klasickému stavu. Toto je v kvantové mechanice známo jako Bornovo pravidlo. Všimni si, že toto pravidlo je konzistentní s požadavkem, aby druhé mocniny absolutních hodnot složek kvantového stavového vektoru dávaly v součtu $1,$ protože to znamená, že pravděpodobnosti různých výsledků měření klasických stavů dávají v součtu $1.$

Například měření stavu plus

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

vede ke dvěma možným výsledkům, $0$ a $1,$ s následujícími pravděpodobnostmi.

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

Zajímavé je, že měření stavu minus

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

vede k přesně stejným pravděpodobnostem pro oba výsledky.

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

To naznačuje, že pokud jde o měření ve standardní bázi, stavy plus a minus se neliší. Proč by nás tedy mělo zajímat rozlišovat mezi nimi? Odpověď je, že tyto dva stavy se chovají odlišně, když se na nich provádějí operace, jak probereme v následující podsekci níže.

Samozřejmě, měření kvantového stavu $\vert 0\rangle$ vede s jistotou ke klasickému stavu $0$ a stejně tak měření kvantového stavu $\vert 1\rangle$ vede s jistotou ke klasickému stavu $1.$ To je v souladu se ztotožněním těchto kvantových stavů se systémem, který je v odpovídajícím klasickém stavu, jak bylo naznačeno dříve.

Jako poslední příklad: měření stavu

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle$$

způsobí, že dva možné výsledky se objeví s pravděpodobnostmi následovně:

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9},$$

a

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{4}{9}.$$

Unitární operace

Dosud nemuselo být zřejmé, proč je kvantová informace zásadně odlišná od klasické informace. To znamená, že když se kvantový stav měří, pravděpodobnost získání každého klasického stavu je dána absolutní hodnotou na druhou odpovídající složky vektoru — proč tedy jednoduše nezaznamenat tyto pravděpodobnosti do pravděpodobnostního vektoru?

Odpověď, alespoň částečně, spočívá v tom, že množina přípustných operací, které lze provádět na kvantovém stavu, je odlišná od té pro klasickou informaci. Podobně jako v pravděpodobnostním případě jsou operace na kvantových stavech lineární zobrazení — ale namísto toho, aby byly reprezentovány stochastickými maticemi, jako v klasickém případě, jsou operace na vektorech kvantových stavů reprezentovány unitárními maticemi.

Čtvercová matice $U$ s komplexními složkami je unitární, pokud splňuje rovnice

$$\begin{aligned} U U^{\dagger} &= \mathbb{I} \\ U^{\dagger} U &= \mathbb{I}. \end{aligned} \tag{3}$$

Zde $\mathbb{I}$ je jednotková matice a $U^{\dagger}$ je konjugovaná transpozice matice $U,$ což znamená matice získaná transponováním $U$ a vzatím komplexního konjugátu každé složky.

$$U^{\dagger} = \overline{U^T}$$

Pokud je kterákoli ze dvou rovností označených $(3)$ výše pravdivá, pak musí být pravdivá i ta druhá. Obě rovnosti jsou ekvivalentní tomu, že $U^{\dagger}$ je inverzní maticí k $U:$

$$U^{-1} = U^{\dagger}.$$

(Upozornění: pokud $M$ není čtvercová matice, pak může nastat, že $M^{\dagger} M = \mathbb{I}$ a $M M^{\dagger} \neq \mathbb{I},$ například. Ekvivalence dvou rovností v první rovnici výše platí pouze pro čtvercové matice.)

Podmínka, že $U$ je unitární, je ekvivalentní podmínce, že násobení maticí $U$ nemění euklidovskou normu žádného vektoru. To znamená, že matice $U$ rozměru $n\times n$ je unitární právě tehdy, když $\| U \vert \psi \rangle \| = \|\vert \psi \rangle \|$ pro každý $n$-rozměrný sloupcový vektor $\vert \psi \rangle$ s komplexními složkami. Protože množina všech vektorů kvantových stavů je totožná s množinou vektorů s euklidovskou normou rovnou $1,$ násobení unitární maticí převede vektor kvantového stavu na jiný vektor kvantového stavu.

Unitární matice jsou skutečně přesně tou množinou lineárních zobrazení, která vždy transformují vektory kvantových stavů na jiné vektory kvantových stavů. Všimni si zde podobnosti s klasickým pravděpodobnostním případem, kde jsou operace spojeny se stochastickými maticemi, což jsou právě ty, které vždy transformují pravděpodobnostní vektory na pravděpodobnostní vektory.

Příklady unitárních operací na Qubitech

Následující seznam popisuje některé běžně se vyskytující unitární operace na Qubitech.

1. Pauliho operace. Čtyři Pauliho matice jsou následující:

   $$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

   Běžná alternativní notace je $X = \sigma_x,$ $Y = \sigma_y,$ a $Z = \sigma_z$ (ale buď si vědom toho, že písmena $X,$ $Y,$ a $Z$ se běžně používají i pro jiné účely). Operace $X$ se také nazývá bit flip nebo operace NOT, protože vyvolává tento účinek na bitech:

   $$X \vert 0\rangle = \vert 1\rangle \quad \text{and} \quad X \vert 1\rangle = \vert 0\rangle.$$

   Operace $Z$ se také nazývá fázový flip a má tento účinek:

   $$Z \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad \text{and} \quad Z \vert 1\rangle = - \vert 1\rangle.$$

2. Hadamardova operace. Hadamardova operace je popsána touto maticí:

   $$H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

3. Fázové operace. Fázová operace je popsána maticí

   $$P_{\theta} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & e^{i\theta} \end{pmatrix}$$

   pro libovolnou volbu reálného čísla $\theta.$ The operations Operace

   $$S = P_{\pi/2} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \quad \text{and} \quad T = P_{\pi/4} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

   jsou obzvláště důležité příklady. Další příklady zahrnují $\mathbb{I} = P_0$ a $Z = P_{\pi}.$

Všechny právě definované matice jsou unitární, a proto představují kvantové operace na jednom Qubit. Například zde je výpočet, který ověřuje, že $H$ je unitární:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}^{\dagger} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

A zde je působení Hadamardovy operace na několik běžně se vyskytujících stavových vektorů Qubit.

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert + \rangle\\[6mm] H \vert 1 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert - \rangle\\[6mm] H \vert + \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0 \rangle\\[6mm] H \vert - \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

Stručněji řečeno, dostaneme tyto čtyři rovnice.

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle = \vert {+} \rangle & \qquad H \vert {+} \rangle = \vert 0 \rangle \\[1mm] H \vert 1 \rangle = \vert {-} \rangle & \qquad H \vert {-} \rangle = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

Stojí za to se zastavit a zamyslet se nad faktem, že $H\vert {+} \rangle = \vert 0\rangle$ a $H\vert {-} \rangle = \vert 1\rangle,$ ve světle otázky naznačené v předchozí sekci ohledně rozlišení mezi stavy $\vert {+} \rangle$ a $\vert {-} \rangle.$

Představ si situaci, kdy je Qubit připraven v jednom ze dvou kvantových stavů $\vert {+} \rangle$ a $\vert {-} \rangle,$ ale my nevíme, ve kterém z nich. Měření kteréhokoli z těchto stavů produkuje stejné výstupní rozdělení jako druhý, jak jsme již pozorovali: $0$ a $1$ se oba objeví se stejnou pravděpodobností $1/2,$ což neposkytuje vůbec žádnou informaci o tom, který z těchto dvou stavů byl připraven.

Pokud však nejprve aplikujeme Hadamardovu operaci a poté měříme, získáme výsledek $0$ s jistotou, pokud původní stav byl $\vert {+} \rangle,$ a získáme výsledek $1,$ opět s jistotou, pokud původní stav byl $\vert {-} \rangle.$ Kvantové stavy $\vert {+} \rangle$ a $\vert {-} \rangle$ lze tedy rozlišit dokonale. To odhaluje, že změny znaménka, nebo obecněji změny fází (které se také tradičně nazývají argumenty) komplexních číselných složek kvantového stavového vektoru, mohou tento stav výrazně změnit.

Zde je další příklad ukazující, jak Hadamardova operace působí na stavový vektor, který byl zmíněn dříve.

$$H \biggl(\frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle\biggr) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}} | 0 \rangle + \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} | 1 \rangle$$

Dále se podívejme na působení operace $T$ na stav plus.

$$T \vert {+} \rangle = T \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) = \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle$$

Všimni si, že jsme se zde neobtěžovali převádět na ekvivalentní maticové/vektorové tvary a místo toho jsme využili linearitu maticového násobení spolu se vztahy

$$T \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad\text{and}\quad T \vert 1\rangle = \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

Podobným způsobem můžeme vypočítat výsledek aplikace Hadamardovy operace na právě získaný vektor kvantového stavu:

$$\begin{aligned} H\, \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle\biggr) & = \frac{1}{\sqrt{2}} H \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} H \vert 1\rangle\\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert +\rangle + \frac{1+i}{2} \vert -\rangle \\ & = \biggl(\frac{1}{2} \vert 0\rangle + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\biggr) + \biggl(\frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr)\\ & = \biggl(\frac{1}{2} + \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 0\rangle + \biggl(\frac{1}{2} - \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 1\rangle. \end{aligned}$$

Oba přístupy — jeden, kde explicitně převádíme na maticové reprezentace, a druhý, kde využíváme linearitu a dosazujeme působení operace na stavy standardní báze — jsou ekvivalentní. Můžeš použít ten, který je v daném případě pohodlnější.

Skládání unitárních operací na Qubitech

Skládání unitárních operací je reprezentováno násobením matic, stejně jako tomu bylo v pravděpodobnostním případě.

Například předpokládejme, že nejprve aplikujeme Hadamardovu operaci, poté operaci $S$ a poté další Hadamardovu operaci. Výsledná operace, kterou pro účely tohoto příkladu nazveme $R$, je následující:

$$R = H S H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}.$$

Tato unitární operace $R$ je zajímavý příklad. Aplikací této operace dvakrát, což je ekvivalentní umocnění její maticové reprezentace na druhou, získáme operaci NOT:

$$R^2 = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[2mm] 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

To znamená, že $R$ je operace odmocnina z NOT. Takové chování, kdy se stejná operace aplikuje dvakrát a výsledkem je operace NOT, není možné pro klasickou operaci na jednom bitu.

Unitární operace na větších systémech

V následujících lekcích uvidíme mnoho příkladů unitárních operací na systémech s více než dvěma klasickými stavy. Příkladem unitární operace na systému se třemi klasickými stavy je následující matice.

$$A = \begin{pmatrix} {0} & {0} & {1} \\ {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \end{pmatrix}$$

Za předpokladu, že klasické stavy systému jsou $0,$ $1,$ a $2,$ můžeme tuto operaci popsat jako sčítání modulo $3.$

$$A \vert 0\rangle = \vert 1\rangle, \quad A \vert 1\rangle = \vert 2\rangle, \quad\text{and}\quad A \vert 2\rangle = \vert 0\rangle$$

Matice $A$ je příkladem permutační matice, což je matice, ve které každý řádek a sloupec obsahuje přesně jednu $1.$ Takové matice pouze přeuspořádávají, neboli permutují, složky vektorů, na které působí. Jednotková matice je asi nejjednodušším příkladem permutační matice a dalším příkladem je operace NOT na bitu nebo Qubit. Každá permutační matice v jakékoli kladné celočíselné dimenzi je unitární. Toto jsou jediné příklady matic, které reprezentují jak klasické, tak kvantové operace: matice je zároveň stochastická i unitární právě tehdy, když je to permutační matice.

Další příklad unitární matice, tentokrát matice $4\times 4$, je následující:

$$U = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\[1mm] 1 & i & -1 & -i \\[1mm] 1 & -1 & 1 & -1 \\[1mm] 1 & -i & -1 & i \end{pmatrix}.$$

Tato matice popisuje operaci známou jako kvantová Fourierova transformace, konkrétně v případě $4\times 4.$ Kvantová Fourierova transformace může být definována obecněji pro libovolnou kladnou celočíselnou dimenzi $n$ a hraje klíčovou roli v kvantových algoritmech.