Další rodiny kódů

Od objevu torického kódu uplynulo více než 25 let a od té doby proběhl obrovský výzkum v oblasti kvantových korekčních kódů, včetně objevu dalších topologických kvantových kódů inspirovaných torickým kódem, stejně jako kódů založených na zcela odlišných myšlenkách. Vyčerpávající seznam známých konstrukcí kvantových korekčních kódů by zde nebylo možné uvést — ale alespoň trochu nahlédneme pod povrch a stručně prozkoumáme několik významných příkladů.

Povrchové kódy

Jak se ukazuje, ve skutečnosti není nutné, aby torický kód měl periodické hranice. Jinými slovy, je možné vyříznout jen část torického kódu a položit ji naplocho na dvourozměrný povrch místo na torus, čímž získáme kvantový korekční kód — za předpokladu, že stabilizátorové generátory na hranách jsou správně definovány. To, co získáme, se nazývá povrchový kód.

Například zde je diagram povrchového kódu, kde je mřížka řezána s takzvanými hrubými hranami nahoře a dole a hladkými hranami po stranách. Hraniční případy pro stabilizátorové generátory jsou definovány přirozeným způsobem — Pauliho operace na „chybějících" qubitech se jednoduše vynechají.

Povrchové kódy tohoto tvaru kódují jeden qubit, na rozdíl od dvou u torického kódu. Stabilizátorové generátory v tomto případě tvoří minimální generující množinu, bez potřeby odebírat jeden od každého typu jako u torického kódu. Ale navzdory těmto rozdílům jsou důležité vlastnosti torického kódu zachovány. Konkrétně netriviální nedetekované chyby pro tento kód odpovídají řetězcům chyb, které se táhnou buď od levé hrany k pravé hraně (pro řetězce $X$ chyb), nebo shora dolů (pro řetězce $Z$ chyb).

Je také možné řezat hrany povrchového kódu diagonálně a získat tak to, čemu se někdy říká rotované povrchové kódy, které se tak nejmenují proto, že by kódy byly smysluplně otočené, ale protože diagramy jsou otočené (o 45 stupňů). Například zde je diagram rotovaného povrchového kódu se vzdáleností 5.

U tohoto typu diagramu černé dlaždice (včetně zaoblených na hranách) označují $X$ stabilizátorové generátory, kde se operace $X$ aplikují na (dva nebo čtyři) vrcholy každé dlaždice, zatímco bílé dlaždice představují $Z$ stabilizátorové generátory. Rotované povrchové kódy mají podobné vlastnosti jako (nerotované) povrchové kódy, ale jsou úspornější z hlediska počtu použitých qubitů.

Barevné kódy

Barevné kódy jsou další zajímavou třídou kódů, která rovněž spadá do obecné kategorie topologických kvantových kódů. Zde je popíšeme pouze stručně.

Jedním ze způsobů, jak o barevných kódech přemýšlet, je vnímat je jako geometrické zobecnění 7qubitového Steanova kódu. S tímto na paměti se znovu podívejme na 7qubitový Steanův kód a předpokládejme, že sedm qubitů je pojmenováno a uspořádáno podle číslování Qiskitu jako $(\mathsf{Q}_6,\mathsf{Q}_5,\mathsf{Q}_4,\mathsf{Q}_3,\mathsf{Q}_2,\mathsf{Q}_1,\mathsf{Q}_0).$ Připomeňme, že stabilizátorové generátory pro tento kód jsou následující.

$$\begin{array}{ccccccc} Z & Z & Z & Z & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} \\[1mm] Z & Z & \mathbb{I} & \mathbb{I} & Z & Z & \mathbb{I} \\[1mm] Z & \mathbb{I} & Z & \mathbb{I} & Z & \mathbb{I} & Z \\[1mm] X & X & X & X & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} \\[1mm] X & X & \mathbb{I} & \mathbb{I} & X & X & \mathbb{I} \\[1mm] X & \mathbb{I} & X & \mathbb{I} & X & \mathbb{I} & X \end{array}$$

Pokud přiřadíme těchto sedm qubitů vrcholům následujícího grafu, zjistíme, že stabilizátorové generátory přesně odpovídají stěnám tvořeným hranami grafu.

To znamená, že pro každou stěnu existuje jak $Z$ stabilizátorový generátor, tak $X$ stabilizátorový generátor, které netriviálně působí na ty qubity, jež se nacházejí na vrcholech dané stěny. 7qubitový Steanův kód tedy vykazuje geometrickou lokalitu, takže v principu není nutné přesouvat qubity na velké vzdálenosti, aby bylo možné měřit stabilizátorové generátory. Skutečnost, že $Z$ a $X$ stabilizátorové generátory vždy netriviálně působí na přesně stejné množiny qubitů, je také příznivá z důvodů souvisejících s fault-tolerantním kvantovým výpočtem, což je téma příští lekce.

Barevné kódy jsou kvantové korekční kódy (přesněji řečeno CSS kódy), které zobecňují tento základní vzor, přičemž podkladové grafy mohou být různé. Například zde je graf s 19 vrcholy, který funguje. Definuje kód, který kóduje jeden qubit do 19 qubitů a má vzdálenost 5 (tedy jde o $[[19,1,5]]$ stabilizátorový kód).

Totéž lze provést s mnoha dalšími grafy, včetně rodin grafů, které rostou a mají zajímavé struktury.

Barevné kódy se tak jmenují proto, že jednou z požadovaných podmínek na grafy, které je definují, je, aby stěny bylo možné tříbarevně obarvit — to znamená, že každé stěně lze přiřadit jednu ze tří barev tak, aby žádné dvě stěny téže barvy nesdílely hranu (jako v předchozím diagramu). Barvy ve skutečnosti nejsou důležité pro definici samotného kódu — pro každou stěnu vždy existují $Z$ a $X$ stabilizátorové generátory bez ohledu na její barvu — ale barvy jsou důležité pro analýzu toho, jak kódy fungují.

Další kódy

Kvantová korekce chyb je aktivní a rychle se rozvíjející oblast výzkumu. Ti, kteří se chtějí ponořit hlouběji, mohou nahlédnout do Error Correction Zoo, která uvádí četné příklady a kategorizace kvantových korekčních kódů.

Příklad: Gross kód

Gross kód je nedávno objevený $[[144,12,12]]$ stabilizátorový kód. Je podobný torickému kódu, s tím rozdílem, že každý stabilizátorový generátor netriviálně působí na dva další qubity, které jsou o něco dále od dlaždice nebo vrcholu daného generátoru (takže každý stabilizátorový generátor má váhu 6). Výhodou tohoto kódu je, že dokáže kódovat 12 qubitů, ve srovnání s pouhými dvěma u torického kódu.