Klasická informace

Stejně jako v předchozí lekci začneme i tuto lekci diskuzí o klasické informaci. Probabilistický a kvantový popis jsou opět matematicky podobné a pochopení toho, jak matematika funguje ve známém prostředí klasické informace, ti pomůže pochopit, proč je kvantová informace popisována právě tak, jak je.

Klasické stavy pomocí kartézského součinu

Začneme na velmi základní úrovni, klasickými stavy více systémů. Pro jednoduchost začneme diskuzí pouze o dvou systémech a poté zobecníme na více než dva systémy.

Přesněji řečeno, nechť $\mathsf{X}$ je systém, jehož množina klasických stavů je $\Sigma,$ a nechť $\mathsf{Y}$ je druhý systém, jehož množina klasických stavů je $\Gamma.$ Všimni si, že protože jsme tyto množiny označili jako množiny klasických stavů, předpokládáme, že $\Sigma$ i $\Gamma$ jsou konečné a neprázdné. Může platit $\Sigma = \Gamma,$ ale nemusí — a v každém případě bude pro přehlednost užitečné používat pro tyto množiny různá jména.

Nyní si představ, že dva systémy, $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y},$ jsou umístěny vedle sebe, s $\mathsf{X}$ vlevo a $\mathsf{Y}$ vpravo. Pokud chceme, můžeme tyto dva systémy chápat, jako by tvořily jediný systém, který můžeme označit $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ nebo $\mathsf{XY}$ podle naší preference. Přirozená otázka ohledně tohoto složeného systému $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ zní: „Jaké jsou jeho klasické stavy?"

Odpověď je, že množina klasických stavů $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ je kartézský součin $\Sigma$ a $\Gamma,$ což je množina definovaná jako

$$\Sigma\times\Gamma = \bigl\{(a,b)\,:\,a\in\Sigma\;\text{and}\;b\in\Gamma\bigr\}.$$

Jednoduše řečeno, kartézský součin je přesně ten matematický pojem, který zachycuje myšlenku nahlížení na prvek jedné množiny a prvek druhé množiny dohromady, jako by tvořily jediný prvek jediné množiny. V daném případě říci, že $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ je v klasickém stavu $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma,$ znamená, že $\mathsf{X}$ je v klasickém stavu $a\in\Sigma$ a $\mathsf{Y}$ je v klasickém stavu $b\in\Gamma;$ a pokud je klasický stav $\mathsf{X}$ roven $a\in\Sigma$ a klasický stav $\mathsf{Y}$ roven $b\in\Gamma,$ pak klasický stav společného systému $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ je $(a,b).$

Pro více než dva systémy se situace přirozeně zobecňuje. Předpokládejme, že $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_n$ jsou systémy s množinami klasických stavů $\Sigma_1,\ldots,\Sigma_n,$ pro libovolné kladné celé číslo $n.$ Množina klasických stavů $n$-tice $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_n),$ chápané jako jediný společný systém, je kartézský součin

$$\Sigma_1\times\cdots\times\Sigma_n = \bigl\{(a_1,\ldots,a_n)\,:\, a_1\in\Sigma_1,\:\ldots,\:a_n\in\Sigma_n\bigr\}.$$

Samozřejmě můžeme systémy pojmenovat, jak chceme, a uspořádat je, jak se nám zlíbí. Zejména pokud máme $n$ systémů jako výše, mohli bychom je místo toho pojmenovat $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ a uspořádat je zprava doleva, takže společný systém se stane $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$ Při dodržení stejného vzoru pro pojmenování příslušných klasických stavů a množin klasických stavů bychom pak mohli odkazovat na klasický stav

$$(a_{n-1},\ldots,a_0) \in \Sigma_{n-1}\times \cdots \times \Sigma_0$$

tohoto složeného systému. Právě tuto konvenci uspořádání používá Qiskit při pojmenovávání více Qubitů. K této konvenci a jejímu spojení s kvantovými Circuit se vrátíme v další lekci, ale začneme ji používat už teď, aby sis na ni zvykl.

Je často výhodné zapisovat klasický stav tvaru $(a_{n-1},\ldots,a_0)$ jako řetězec $a_{n-1}\cdots a_0$ pro stručnost, zejména ve velmi typické situaci, kdy jsou množiny klasických stavů $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1}$ spojeny s množinami symbolů nebo znaků. V tomto kontextu se termín abeceda běžně používá pro množiny symbolů, ze kterých se tvoří řetězce, ale matematická definice abecedy je přesně stejná jako definice množiny klasických stavů: je to konečná a neprázdná množina.

Předpokládejme například, že $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_9$ jsou bity, takže množiny klasických stavů těchto systémů jsou všechny stejné.

$$\Sigma_0 = \Sigma_1 = \cdots = \Sigma_9 = \{0,1\}$$

Pak existuje $2^{10} = 1024$ klasických stavů společného systému $(\mathsf{X}_9,\ldots,\mathsf{X}_0),$ což jsou prvky množiny

$$\Sigma_9\times\Sigma_8\times\cdots\times\Sigma_0 = \{0,1\}^{10}.$$

Zapsány jako řetězce vypadají tyto klasické stavy takto:

$$\begin{array}{c} 0000000000\\ 0000000001\\ 0000000010\\ 0000000011\\ 0000000100\\ \vdots\\[1mm] 1111111111 \end{array}$$

Pro klasický stav $0000000110$ například vidíme, že $\mathsf{X}_1$ a $\mathsf{X}_2$ jsou ve stavu $1,$ zatímco všechny ostatní systémy jsou ve stavu $0.$

Probabilistické stavy

Připomeň si z předchozí lekce, že probabilistický stav přiřazuje pravděpodobnost každému klasickému stavu systému. Probabilistický stav více systémů — chápaných souhrnně jako jediný systém — tedy přiřazuje pravděpodobnost každému prvku kartézského součinu množin klasických stavů jednotlivých systémů.

Předpokládejme například, že $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y}$ jsou oba bity, takže jejich odpovídající množiny klasických stavů jsou $\Sigma = \{0,1\}$ a $\Gamma = \{0,1\}.$ Zde je probabilistický stav páru $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$\begin{aligned} \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (0,0)\bigr) & = 1/2 \\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (0,1)\bigr) & = 0\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (1,0)\bigr) & = 0\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (1,1)\bigr) & = 1/2 \end{aligned}$$

Tento probabilistický stav je takový, v němž $\mathsf{X}$ i $\mathsf{Y}$ jsou náhodné bity — každý je $0$ s pravděpodobností $1/2$ a $1$ s pravděpodobností $1/2$ — ale klasické stavy obou bitů se vždy shodují. Toto je příklad korelace mezi těmito systémy.

Uspořádání množin stavů kartézského součinu

Probabilistické stavy systémů mohou být reprezentovány vektory pravděpodobností, jak bylo diskutováno v předchozí lekci. Konkrétně složky vektoru představují pravděpodobnosti, že systém bude v možných klasických stavech daného systému, a rozumí se, že byla zvolena korespondence mezi složkami a množinou klasických stavů.

Zvolení takové korespondence efektivně znamená rozhodnutí o uspořádání klasických stavů, které je často přirozené nebo určené standardní konvencí. Například binární abeceda $\{0,1\}$ je přirozeně uspořádána s $0$ na prvním místě a $1$ na druhém, takže první složka vektoru pravděpodobností reprezentujícího probabilistický stav bitu je pravděpodobnost, že je ve stavu $0,$ a druhá složka je pravděpodobnost, že je ve stavu $1.$

V kontextu více systémů se na tom nic nemění, ale je třeba se rozhodnout. Množina klasických stavů více systémů dohromady, chápaných souhrnně jako jediný systém, je kartézský součin množin klasických stavů jednotlivých systémů — takže musíme rozhodnout, jak budou prvky kartézských součinů množin klasických stavů uspořádány.

Existuje jednoduchá konvence, kterou pro to dodržujeme, a tou je začít s jakýmkoli uspořádáním, které je už zavedeno pro jednotlivé množiny klasických stavů, a pak uspořádat prvky kartézského součinu abecedně. Jinak řečeno, složky v každé $n$-tici (nebo ekvivalentně symboly v každém řetězci) se chovají, jako by měly význam, který klesá zleva doprava. Například podle této konvence je kartézský součin $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$ uspořádán takto:

$$(1,0),\; (1,1),\; (2,0),\; (2,1),\; (3,0),\; (3,1).$$

Když jsou $n$-tice zapsány jako řetězce a uspořádány tímto způsobem, pozorujeme známé vzory, jako je $\{0,1\}\times\{0,1\}$ uspořádané jako $00, 01, 10, 11,$ a množina $\{0,1\}^{10}$ uspořádaná tak, jak byla zapsána dříve v této lekci. Jako další příklad, chápeme-li množinu $\{0, 1, \dots, 9\} \times \{0, 1, \dots, 9\}$ jako množinu řetězců, získáme dvojciferná čísla $00$ až $99,$ uspořádaná numericky. To samozřejmě není náhoda; náš desítkový číselný systém používá přesně tento druh abecedního uspořádání, kde slovo abecední je třeba chápat v širokém smyslu, který zahrnuje kromě písmen i číslice.

Vrátíme-li se k výše uvedenému příkladu dvou bitů, dříve popsaný probabilistický stav je tedy reprezentován následujícím vektorem pravděpodobností, kde jsou složky pro přehlednost explicitně označeny.

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[1mm] 0\\[1mm] 0\\[1mm] \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{array}{l} \leftarrow \text{probability of being in the state 00}\\[1mm] \leftarrow \text{probability of being in the state 01}\\[1mm] \leftarrow \text{probability of being in the state 10}\\[1mm] \leftarrow \text{probability of being in the state 11} \end{array} \tag{1}$$

Nezávislost dvou systémů

Speciálním typem probabilistického stavu dvou systémů je stav, v němž jsou systémy nezávislé. Intuitivně řečeno, dva systémy jsou nezávislé, pokud zjištění klasického stavu jednoho systému nemá žádný vliv na pravděpodobnosti spojené s druhým systémem. To znamená, že zjištění, v jakém klasickém stavu se jeden ze systémů nachází, neposkytuje vůbec žádnou informaci o klasickém stavu druhého systému.

Pro přesnou definici tohoto pojmu předpokládejme opět, že $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y}$ jsou systémy s množinami klasických stavů $\Sigma$ a $\Gamma.$ Vzhledem k danému probabilistickému stavu těchto systémů se říká, že jsou nezávislé, pokud platí

$$\operatorname{Pr}((\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (a,b)) = \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) \operatorname{Pr}(\mathsf{Y} = b) \tag{2}$$

pro každou volbu $a\in\Sigma$ a $b\in\Gamma.$

Pro vyjádření této podmínky pomocí vektorů pravděpodobností předpokládejme, že daný probabilistický stav $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ je popsán vektorem pravděpodobností, zapsaným v Diracově notaci jako

$$\sum_{(a,b) \in \Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a b\rangle.$$

Podmínka $(2)$ pro nezávislost je pak ekvivalentní existenci dvou vektorů pravděpodobností

$$\vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} q_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \psi \rangle = \sum_{b\in\Gamma} r_b \vert b \rangle,$$

reprezentující pravděpodobnosti přiřazené klasickým stavům $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y},$ takové, že

$$p_{ab} = q_a r_b \tag{4}$$

pro všechna $a\in\Sigma$ a $b\in\Gamma.$

Například pravděpodobnostní stav dvojice bitů $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ reprezentovaný vektorem

$$\frac{1}{6} \vert 00 \rangle + \frac{1}{12} \vert 01 \rangle + \frac{1}{2} \vert 10 \rangle + \frac{1}{4} \vert 11 \rangle$$

je takový, ve kterém jsou $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y}$ nezávislé. Konkrétně je podmínka požadovaná pro nezávislost splněna pro pravděpodobnostní vektory

$$\vert \phi \rangle = \frac{1}{4} \vert 0 \rangle + \frac{3}{4} \vert 1 \rangle \quad\text{and}\quad \vert \psi \rangle = \frac{2}{3} \vert 0 \rangle + \frac{1}{3} \vert 1 \rangle.$$

Například abychom ověřili shodu pravděpodobností pro stav $00,$ potřebujeme $\frac{1}{6} = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3},$ a to skutečně platí. Ostatní položky lze ověřit obdobným způsobem.

Na druhou stranu pravděpodobnostní stav $(1),$ který můžeme zapsat jako

$$\frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2} \vert 11 \rangle, \tag{5}$$

nepředstavuje nezávislost mezi systémy $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y}.$ Jednoduchý způsob, jak to zdůvodnit, je následující.

Předpokládejme, že by existovaly pravděpodobnostní vektory $\vert \phi\rangle$ a $\vert \psi \rangle,$ jako v rovnici $(3)$ výše, pro které je podmínka $(4)$ splněna pro každou volbu $a$ a $b.$ Pak by nutně muselo platit

$$q_0 r_1 = \operatorname{Pr}\bigl((\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (0,1)\bigr) = 0.$$

To znamená, že buď $q_0 = 0,$ nebo $r_1 = 0,$ protože kdyby obojí bylo nenulové, součin $q_0 r_1$ by také byl nenulový. To vede k závěru, že buď $q_0 r_0 = 0$ (v případě $q_0 = 0$), nebo $q_1 r_1 = 0$ (v případě $r_1 = 0$). Vidíme však, že ani jedna z těchto rovností nemůže platit, protože musí být $q_0 r_0 = 1/2$ a $q_1 r_1 = 1/2.$ Neexistují tedy vektory $\vert\phi\rangle$ a $\vert\psi\rangle$ splňující vlastnost požadovanou pro nezávislost.

Po definování nezávislosti dvou systémů nyní můžeme definovat, co se rozumí korelací: je to nedostatek nezávislosti. Například proto, že dva bity v pravděpodobnostním stavu reprezentovaném vektorem $(5)$ nejsou nezávislé, jsou podle definice korelované.

Tenzorové součiny vektorů

Podmínku nezávislosti, kterou jsme právě popsali, lze stručně vyjádřit pomocí pojmu tenzorový součin. Přestože tenzorové součiny jsou velmi obecný pojem a lze je definovat poměrně abstraktně a aplikovat na různé matematické struktury, v daném případě můžeme přijmout jednoduchou a konkrétní definici.

Jsou-li dány dva vektory

$$\vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \psi \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \beta_b \vert b \rangle,$$

tenzorový součin $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ je vektor definovaný jako

$$\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_a \beta_b \vert ab\rangle.$$

Složky tohoto nového vektoru odpovídají prvkům kartézského součinu $\Sigma\times\Gamma,$ které jsou v předchozí rovnici zapsány jako řetězce. Ekvivalentně je vektor $\vert \pi \rangle = \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ definován rovnicí

$$\langle ab \vert \pi \rangle = \langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle$$

platící pro každé $a\in\Sigma$ a $b\in\Gamma.$

Nyní můžeme přeformulovat podmínku nezávislosti: pro společný systém $(\mathsf{X}, \mathsf{Y})$ v pravděpodobnostním stavu reprezentovaném pravděpodobnostním vektorem $\vert \pi \rangle$ jsou systémy $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y}$ nezávislé, pokud $\vert\pi\rangle$ vznikne tenzorovým součinem

$$\vert \pi \rangle = \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$$

pravděpodobnostních vektorů $\vert \phi \rangle$ a $\vert \psi \rangle$ na každém z podsystémů $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y}.$ V této situaci se o $\vert \pi \rangle$ říká, že je to produktový stav nebo produktový vektor.

Často vynecháváme symbol $\otimes$ při tvoření tenzorového součinu ketů, takže píšeme $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ místo $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle.$ Tato konvence vyjadřuje myšlenku, že tenzorový součin je v tomto kontextu nejpřirozenějším či výchozím způsobem, jak násobit dva vektory. I když je to méně obvyklé, někdy se také používá zápis $\vert \phi\otimes\psi\rangle$.

Když použijeme abecední konvenci pro uspořádání prvků kartézských součinů, získáme následující specifikaci tenzorového součinu dvou sloupcových vektorů.

$$\begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_m \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \beta_1\\ \vdots\\ \beta_k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1 \beta_1\\ \vdots\\ \alpha_1 \beta_k\\ \alpha_2 \beta_1\\ \vdots\\ \alpha_2 \beta_k\\ \vdots\\ \alpha_m \beta_1\\ \vdots\\ \alpha_m \beta_k \end{pmatrix}$$

Jako důležitou poznámku si všimni následujícího výrazu pro tenzorové součiny vektorů standardní báze:

$$\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle = \vert ab \rangle.$$

Alternativně bychom mohli zapsat $(a,b)$ jako uspořádanou dvojici místo řetězce, čímž bychom dostali $\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle = \vert (a,b) \rangle.$ Je však běžnější v této situaci závorky vynechat a psát místo toho $\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle = \vert a,b \rangle.$ To je v matematice obecně typické; závorky, které nepřidávají srozumitelnost ani neodstraňují nejednoznačnost, se často jednoduše vynechávají.

Tenzorový součin dvou vektorů má důležitou vlastnost, že je bilineární, což znamená, že je lineární v každém ze dvou argumentů zvlášť za předpokladu, že druhý argument je pevný. Tuto vlastnost lze vyjádřit těmito rovnicemi:

1. Linearita v prvním argumentu:

$$\begin{aligned} \bigl(\vert\phi_1\rangle + \vert\phi_2\rangle\bigr)\otimes \vert\psi\rangle & = \vert\phi_1\rangle \otimes \vert\psi\rangle + \vert\phi_2\rangle \otimes \vert\psi\rangle \\[1mm] \bigl(\alpha \vert \phi \rangle\bigr) \otimes \vert \psi \rangle & = \alpha \bigl(\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr) \end{aligned}$$

2. Linearita v druhém argumentu:

$$\begin{aligned} \vert \phi \rangle \otimes \bigl(\vert \psi_1 \rangle + \vert \psi_2 \rangle \bigr) & = \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi_1 \rangle + \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi_2 \rangle\\[1mm] \vert \phi \rangle \otimes \bigl(\alpha \vert \psi \rangle \bigr) & = \alpha \bigl(\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle\bigr) \end{aligned}$$

Podíváme-li se na druhou rovnici v každém z těchto párů rovnic, vidíme, že skaláry se v tenzorových součinech „pohybují volně":

$$\bigl(\alpha \vert \phi \rangle\bigr) \otimes \vert \psi \rangle = \vert \phi \rangle \otimes \bigl(\alpha \vert \psi \rangle \bigr) = \alpha \bigl(\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr).$$

Proto neexistuje žádná nejednoznačnost v prostém zápisu $\alpha\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle,$ případně $\alpha\vert\phi\rangle\vert\psi \rangle$ nebo $\alpha\vert\phi\otimes\psi\rangle,$ pro odkaz na tento vektor.

Nezávislost a tenzorové součiny pro tři a více systémů

Pojmy nezávislosti a tenzorových součinů se přímočaře zobecňují na tři a více systémů. Pokud $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ jsou systémy s množinami klasických stavů $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1},$ pak pravděpodobnostní stav složeného systému $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ je produktový stav, pokud přiřazený pravděpodobnostní vektor má tvar

$$\vert \psi \rangle = \vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle$$

pro pravděpodobnostní vektory $\vert \phi_0 \rangle,\ldots,\vert \phi_{n-1}\rangle$ popisující pravděpodobnostní stavy $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}.$ Definice tenzorového součinu se zde přirozeně zobecňuje: vektor

$$\vert \psi \rangle = \vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle$$

je definován rovnicí

$$\langle a_{n-1} \cdots a_0 \vert \psi \rangle = \langle a_{n-1} \vert \phi_{n-1} \rangle \cdots \langle a_0 \vert \phi_0 \rangle$$

platící pro každé $a_0\in\Sigma_0, \ldots a_{n-1}\in\Sigma_{n-1}.$

Jiný, ale ekvivalentní způsob, jak definovat tenzorový součin tří nebo více vektorů, je rekurzivně pomocí tenzorových součinů dvou vektorů:

$$\vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle = \vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \bigl( \vert \phi_{n-2} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle \bigr).$$

Podobně jako u tenzorového součinu pouze dvou vektorů je tenzorový součin tří nebo více vektorů lineární v každém z argumentů jednotlivě, za předpokladu, že všechny ostatní argumenty jsou fixovány. V tomto případě se říká, že tenzorový součin tří nebo více vektorů je multilineární.

Stejně jako v případě dvou systémů bychom mohli říci, že systémy $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ jsou nezávislé, když jsou v produktovém stavu, ale přesnější je termín vzájemně nezávislé. Existují i jiné pojmy nezávislosti pro tři nebo více systémů, jako je párová nezávislost, které jsou zajímavé i důležité — ale ne v kontextu tohoto kurzu.

Zobecněním dřívějšího pozorování o tenzorových součinech standardních bázových vektorů platí, že pro libovolné kladné celé číslo $n$ a libovolné klasické stavy $a_0,\ldots,a_{n-1}$ máme

$$\vert a_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert a_0 \rangle = \vert a_{n-1} \cdots a_0 \rangle.$$

Měření probabilistických stavů

Nyní přejděme k měřením probabilistických stavů více systémů. Tím, že jsme se rozhodli nahlížet na více systémů společně jako na jediné systémy, okamžitě získáváme specifikaci toho, jak musí měření pro více systémů fungovat — za předpokladu, že se měří všechny systémy.

Například pokud je probabilistický stav dvou bitů $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ popsán vektorem pravděpodobnosti

$$\frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2} \vert 11 \rangle,$$

pak výsledek $00$ — tedy $0$ pro měření $\mathsf{X}$ a $0$ pro měření $\mathsf{Y}$ — nastane s pravděpodobností $1/2$ a výsledek $11$ rovněž nastane s pravděpodobností $1/2.$ V každém případě příslušně aktualizujeme popis vektoru pravděpodobnosti naší znalosti, takže probabilistický stav se stane $|00\rangle$ nebo $|11\rangle.$

Mohli bychom se ale rozhodnout měřit ne každý systém, ale pouze některé ze systémů. To povede k výsledku měření pro každý systém, který je měřen, a také (obecně) ovlivní naši znalost zbývajících systémů, které jsme neměřili.

Pro vysvětlení, jak to funguje, se zaměříme na případ dvou systémů, z nichž jeden je měřen. Obecnější situace — kdy se měří nějaká vlastní podmnožina tří nebo více systémů — se efektivně redukuje na případ dvou systémů, když nahlížíme na měřené systémy souhrnně, jako by tvořily jeden systém, a na neměřené systémy, jako by tvořily druhý systém.

Přesněji řečeno, předpokládejme, že $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y}$ jsou systémy, jejichž množiny klasických stavů jsou $\Sigma$ a $\Gamma,$ a že oba systémy dohromady jsou v nějakém probabilistickém stavu. Budeme uvažovat, co se stane, když měříme pouze $\mathsf{X}$ a s $\mathsf{Y}$ neděláme nic. Situace, kdy je měřeno pouze $\mathsf{Y}$ a s $\mathsf{X}$ se nic neděje, se řeší symetricky.

Zaprvé víme, že pravděpodobnost pozorování konkrétního klasického stavu $a\in\Sigma$ při měření pouze $\mathsf{X}$ musí být konzistentní s pravděpodobnostmi, které bychom získali za předpokladu, že by bylo měřeno i $\mathsf{Y}.$ To znamená, že musí platit

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) = \sum_{b\in\Gamma} \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (a,b) \bigr).$$

Toto je vzorec pro takzvaný redukovaný (neboli marginální) probabilistický stav samotného $\mathsf{X}.$

Tento vzorec dává na intuitivní úrovni dokonalý smysl v tom smyslu, že by se muselo stát něco velmi podivného, aby byl nesprávný. Kdyby byl nesprávný, znamenalo by to, že měření $\mathsf{Y}$ by mohlo nějak ovlivnit pravděpodobnosti spojené s různými výsledky měření $\mathsf{X},$ bez ohledu na skutečný výsledek měření $\mathsf{Y}.$ Kdyby se $\mathsf{Y}$ nacházel ve vzdáleném místě, třeba někde v jiné galaxii, umožňovalo by to signalizaci rychlejší než světlo — což odmítáme na základě našeho chápání fyziky. Další způsob, jak tomu porozumět, vychází z interpretace pravděpodobnosti jako odrazu míry přesvědčení. Samotný fakt, že by se někdo jiný mohl rozhodnout podívat na $\mathsf{Y},$ nemůže změnit klasický stav $\mathsf{X},$ takže bez jakékoliv informace o tom, co viděli nebo neviděli, by se naše přesvědčení o stavu $\mathsf{X}$ nemělo v důsledku toho měnit.

Nyní, za předpokladu, že je měřeno pouze $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y}$ nikoliv, může stále existovat nejistota ohledně klasického stavu $\mathsf{Y}.$ Z tohoto důvodu, místo aktualizace našeho popisu probabilistického stavu $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ na $\vert ab\rangle$ pro nějakou volbu $a\in\Sigma$ a $b\in\Gamma,$ musíme aktualizovat náš popis tak, aby tato nejistota ohledně $\mathsf{Y}$ byla správně zachycena.

Následující vzorec podmíněné pravděpodobnosti tuto nejistotu zachycuje.

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{Y} = b \,\vert\, \mathsf{X} = a) = \frac{ \operatorname{Pr}\bigl((\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (a,b)\bigr) }{ \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) }$$

Zde výraz $\operatorname{Pr}(\mathsf{Y} = b \,\vert\, \mathsf{X} = a)$ označuje pravděpodobnost, že $\mathsf{Y} = b$ podmíněnou (neboli za předpokladu, že) $\mathsf{X} = a.$ Technicky vzato má tento výraz smysl pouze pokud je $\operatorname{Pr}(\mathsf{X}=a)$ nenulová, protože pokud $\operatorname{Pr}(\mathsf{X}=a) = 0,$ pak dělíme nulou a dostaneme neurčitý výraz $\frac{0}{0}.$ To ale není problém, protože pokud je pravděpodobnost spojená s $a$ nulová, pak $a$ nikdy nezískáme jako výsledek měření $\mathsf{X},$ a nemusíme se touto možností znepokojovat.

Pro vyjádření těchto vzorců pomocí vektorů pravděpodobnosti uvažujme vektor pravděpodobnosti $\vert \pi \rangle$ popisující společný probabilistický stav $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

$$\vert\pi\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle$$

Měřením samotného $\mathsf{X}$ získáme každý možný výsledek $a\in\Sigma$ s pravděpodobností

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) = \sum_{c\in\Gamma} p_{ac}.$$

Vektor reprezentující probabilistický stav samotného $\mathsf{X}$ je tedy dán

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl(\sum_{c\in\Gamma} p_{ac}\biggr) \vert a\rangle.$$

Po získání konkrétního výsledku $a\in\Sigma$ z měření $\mathsf{X}$ se probabilistický stav $\mathsf{Y}$ aktualizuje podle vzorce pro podmíněné pravděpodobnosti, takže je reprezentován tímto vektorem pravděpodobnosti:

$$\vert \psi_a \rangle = \frac{\sum_{b\in\Gamma}p_{ab}\vert b\rangle}{\sum_{c\in\Gamma} p_{ac}}.$$

V případě, že měření $\mathsf{X}$ vedlo ke klasickému stavu $a,$ aktualizujeme tedy náš popis probabilistického stavu společného systému $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ na $\vert a\rangle \otimes \vert\psi_a\rangle.$

Jeden způsob, jak přemýšlet o této definici $\vert\psi_a\rangle,$ je vidět ji jako normalizaci vektoru $\sum_{b\in\Gamma} p_{ab} \vert b\rangle,$ kde dělíme součtem složek tohoto vektoru, abychom získali vektor pravděpodobnosti. Tato normalizace efektivně zohledňuje podmínění na událost, že měření $\mathsf{X}$ vedlo k výsledku $a.$

Pro konkrétní příklad předpokládejme, že množina klasických stavů $\mathsf{X}$ je $\Sigma = \{0,1\},$ množina klasických stavů $\mathsf{Y}$ je $\Gamma = \{1,2,3\},$ a probabilistický stav $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ je

$$\vert \pi \rangle = \frac{1}{2} \vert 0,1 \rangle + \frac{1}{12} \vert 0,3 \rangle + \frac{1}{12} \vert 1,1 \rangle + \frac{1}{6} \vert 1,2 \rangle + \frac{1}{6} \vert 1,3 \rangle.$$

Naším cílem bude určit pravděpodobnosti dvou možných výsledků ($0$ a $1$) a vypočítat, jaký bude výsledný probabilistický stav $\mathsf{Y}$ pro oba výsledky, za předpokladu, že je měřen systém $\mathsf{X}.$

Pomocí bilinearity tenzorového součinu, a konkrétně skutečnosti, že je lineární v druhém argumentu, můžeme přepsat vektor $\vert \pi \rangle$ následovně:

$$\vert \pi \rangle = \vert 0\rangle \otimes \biggl( \frac{1}{2} \vert 1 \rangle + \frac{1}{12} \vert 3 \rangle\biggr) + \vert 1\rangle \otimes \biggl( \frac{1}{12} \vert 1 \rangle + \frac{1}{6} \vert 2\rangle + \frac{1}{6} \vert 3 \rangle\biggr).$$

Slovy řečeno, to co jsme udělali, je izolování jednotlivých standardních bázových vektorů pro první systém (tedy ten, který se měří), přičemž každý je tensorizován s lineární kombinací standardních bázových vektorů druhého systému, kterou získáme výběrem těch složek původního vektoru, které odpovídají příslušnému klasickému stavu prvního systému. Krátké zamyšlení odhalí, že to je vždy možné, bez ohledu na to, s jakým vektorem jsme začali.

Když jsme takto vyjádřili náš vektor pravděpodobnosti, efekty měření prvního systému se snadno analyzují. Pravděpodobnosti obou výsledků lze získat sečtením pravděpodobností v závorkách.

$$\begin{aligned} \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = 0) & = \frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{7}{12}\\[3mm] \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = 1) & = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12} \end{aligned}$$

Tyto pravděpodobnosti dávají v součtu jedničku, jak se očekává — ale to je užitečná kontrola našich výpočtů.

A nyní lze probabilistický stav $\mathsf{Y}$ podmíněný každým možným výsledkem odvodit normalizací vektorů v závorkách. To znamená, že tyto vektory vydělíme příslušnými pravděpodobnostmi, které jsme právě vypočítali, aby se staly vektory pravděpodobnosti.

Tedy, podmíněno tím, že $\mathsf{X}$ je $0,$ probabilistický stav $\mathsf{Y}$ se stane

$$\frac{\frac{1}{2} \vert 1 \rangle + \frac{1}{12} \vert 3 \rangle}{\frac{7}{12}} = \frac{6}{7} \vert 1 \rangle + \frac{1}{7} \vert 3 \rangle,$$

a podmíněno tím, že měření $\mathsf{X}$ je $1,$ probabilistický stav $\mathsf{Y}$ se stane

$$\frac{\frac{1}{12} \vert 1 \rangle + \frac{1}{6} \vert 2\rangle + \frac{1}{6} \vert 3 \rangle}{\frac{5}{12}} = \frac{1}{5} \vert 1 \rangle + \frac{2}{5} \vert 2 \rangle + \frac{2}{5} \vert 3 \rangle.$$

Operace na probabilistických stavech

Na závěr této diskuze o klasické informaci pro více systémů budeme uvažovat operace na více systémech v probabilistických stavech. Stejnou myšlenkou jako předtím můžeme na více systémů nahlížet kolektivně jako na jednotlivé složené systémy a pak se podívat do předchozí lekce, jak to funguje.

Vraťme se k typickému nastavení, kde máme dva systémy $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y},$ a uvažujme klasické operace na složeném systému $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Na základě předchozí lekce a výše uvedené diskuse docházíme k závěru, že jakákoliv taková operace je reprezentována stochastickou maticí, jejíž řádky a sloupce jsou indexovány kartézským součinem $\Sigma\times\Gamma.$

Předpokládejme například, že $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y}$ jsou bity, a uvažujme operaci s následujícím popisem.

Operace

Pokud $\mathsf{X} = 1,$ proveď operaci NOT na $\mathsf{Y}.$
Jinak nedělej nic.

Toto je deterministická operace známá jako řízená operace NOT (controlled-NOT), kde $\mathsf{X}$ je řídicí bit, který určuje, zda se má na cílový bit $\mathsf{Y}$ aplikovat operace NOT, nebo ne. Zde je maticová reprezentace této operace:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Její působení na standardní bázové stavy je následující.

$$\begin{aligned} \vert 00 \rangle & \mapsto \vert 00 \rangle\\ \vert 01 \rangle & \mapsto \vert 01 \rangle\\ \vert 10 \rangle & \mapsto \vert 11 \rangle\\ \vert 11 \rangle & \mapsto \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Pokud bychom vyměnili role $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y}$ tak, že $\mathsf{Y}$ by byl řídicí bit a $\mathsf{X}$ cílový bit, pak by maticová reprezentace operace vypadala takto

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

a její působení na standardní bázové stavy by bylo následující:

$$\begin{aligned} \vert 00 \rangle & \mapsto \vert 00 \rangle\\ \vert 01 \rangle & \mapsto \vert 11 \rangle\\ \vert 10 \rangle & \mapsto \vert 10 \rangle\\ \vert 11 \rangle & \mapsto \vert 01 \rangle \end{aligned}$$

Dalším příkladem je operace s tímto popisem:

Operace

Proveď jednu z následujících dvou operací, každou s pravděpodobností $1/2:$

1. Nastav $\mathsf{Y}$ na hodnotu rovnou $\mathsf{X}.$
2. Nastav $\mathsf{X}$ na hodnotu rovnou $\mathsf{Y}.$

Maticová reprezentace této operace je následující:

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Působení této operace na standardní bázové vektory je následující:

$$\begin{aligned} \vert 00 \rangle & \mapsto \vert 00 \rangle\\[1mm] \vert 01 \rangle & \mapsto \frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2}\vert 11\rangle\\[3mm] \vert 10 \rangle & \mapsto \frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2}\vert 11\rangle\\[2mm] \vert 11 \rangle & \mapsto \vert 11 \rangle \end{aligned}$$

V těchto příkladech se jednoduše díváme na dva systémy dohromady jako na jeden systém a postupujeme stejně jako v předchozí lekci.

Totéž lze provést pro libovolný počet systémů. Představ si například, že máme tři bity a inkrementujeme je modulo $8$ — což znamená, že na tři bity nahlížíme jako na zakódování čísla mezi $0$ a $7$ v binárním zápisu, přičteme $1$ a pak vezmeme zbytek po dělení $8.$ Jeden způsob, jak tuto operaci vyjádřit, je takto:

$$\begin{aligned} & \vert 001 \rangle \langle 000 \vert + \vert 010 \rangle \langle 001 \vert + \vert 011 \rangle \langle 010 \vert + \vert 100 \rangle \langle 011 \vert\\[1mm] & \quad + \vert 101 \rangle \langle 100 \vert + \vert 110 \rangle \langle 101 \vert + \vert 111 \rangle \langle 110 \vert + \vert 000 \rangle \langle 111 \vert. \end{aligned}$$

Další způsob, jak ji vyjádřit, je

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

za předpokladu, že jsme se dohodli, že čísla od $0$ do $7$ uvnitř ketů odkazují na tříbitové binární kódování těchto čísel. Třetí možností je vyjádřit tuto operaci jako matici.

$$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Nezávislé operace

Nyní předpokládejme, že máme více systémů a nezávisle provádíme různé operace na jednotlivých systémech zvlášť.

Vezměme si například naše obvyklé nastavení dvou systémů $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y}$ s množinami klasických stavů $\Sigma$ a $\Gamma$ a předpokládejme, že provedeme jednu operaci na $\mathsf{X}$ a zcela nezávisle jinou operaci na $\mathsf{Y}.$ Jak víme z předchozí lekce, tyto operace jsou reprezentovány stochastickými maticemi — a abychom byli přesní, řekněme, že operace na $\mathsf{X}$ je reprezentována maticí $M$ a operace na $\mathsf{Y}$ je reprezentována maticí $N.$ Řádky a sloupce matice $M$ tedy mají indexy, které odpovídají prvkům $\Sigma,$ a obdobně řádky a sloupce matice $N$ odpovídají prvkům $\Gamma.$

Přirozená otázka zní: pokud se na $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y}$ díváme společně jako na jeden složený systém $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ jaká matice reprezentuje kombinované působení obou operací na tento složený systém? K zodpovězení této otázky musíme nejprve zavést tenzorové součiny matic, které jsou podobné tenzorovým součinům vektorů a jsou definovány analogicky.

Tenzorové součiny matic

Tenzorový součin $M\otimes N$ matic

$$M = \sum_{a,b\in\Sigma} \alpha_{ab} \vert a\rangle \langle b\vert$$

a

$$N = \sum_{c,d\in\Gamma} \beta_{cd} \vert c\rangle \langle d\vert$$

je matice

$$M \otimes N = \sum_{a,b\in\Sigma} \sum_{c,d\in\Gamma} \alpha_{ab} \beta_{cd} \vert ac \rangle \langle bd \vert$$

Ekvivalentně je tenzorový součin $M$ a $N$ definován rovnicí

$$\langle ac \vert M \otimes N \vert bd\rangle = \langle a \vert M \vert b\rangle \langle c \vert N \vert d\rangle$$

která platí pro každou volbu $a,b\in\Sigma$ a $c,d\in\Gamma.$

Alternativní, ale ekvivalentní způsob popisu $M\otimes N$ je, že jde o jedinou matici splňující rovnici

$$(M \otimes N) \bigl( \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr) = \bigl(M \vert\phi\rangle\bigr) \otimes \bigl(N \vert\psi\rangle\bigr)$$

pro každou možnou volbu vektorů $\vert\phi\rangle$ a $\vert\psi\rangle,$ za předpokladu, že indexy $\vert\phi\rangle$ odpovídají prvkům $\Sigma$ a indexy $\vert\psi\rangle$ odpovídají $\Gamma.$

Podle dříve popsané konvence pro řazení prvků kartézských součinů můžeme tenzorový součin dvou matic zapsat explicitně takto:

$$\begin{gathered} \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \cdots & \alpha_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{m1} & \cdots & \alpha_{mm} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \beta_{11} & \cdots & \beta_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \beta_{k1} & \cdots & \beta_{kk} \end{pmatrix} \hspace{6cm}\\[8mm] \hspace{1cm} = \begin{pmatrix} \alpha_{11}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{11}\beta_{1k} & & \alpha_{1m}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{1m}\beta_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \hspace{2mm}\cdots\hspace{2mm} & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{11}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{11}\beta_{kk} & & \alpha_{1m}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{1m}\beta_{kk} \\[2mm] & \vdots & & \ddots & & \vdots & \\[2mm] \alpha_{m1}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{m1}\beta_{1k} & & \alpha_{mm}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{mm}\beta_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \hspace{2mm}\cdots\hspace{2mm} & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{m1}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{m1}\beta_{kk} & & \alpha_{mm}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{mm}\beta_{kk} \end{pmatrix} \end{gathered}$$

Tenzorové součiny tří a více matic se definují analogickým způsobem. Pokud $M_0, \ldots, M_{n-1}$ jsou matice, jejichž indexy odpovídají množinám klasických stavů $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1},$ pak je tenzorový součin $M_{n-1}\otimes\cdots\otimes M_0$ definován podmínkou

$$\langle a_{n-1}\cdots a_0 \vert M_{n-1}\otimes\cdots\otimes M_0 \vert b_{n-1}\cdots b_0\rangle = \langle a_{n-1} \vert M_{n-1} \vert b_{n-1} \rangle \cdots\langle a_0 \vert M_0 \vert b_0 \rangle$$

pro každou volbu klasických stavů $a_0,b_0\in\Sigma_0,\ldots,a_{n-1},b_{n-1}\in\Sigma_{n-1}.$ Alternativně lze tenzorové součiny tří a více matic definovat rekurzivně pomocí tenzorových součinů dvou matic, podobně jako jsme to viděli u vektorů.

O tenzorovém součinu matic se někdy říká, že je multiplikativní, protože rovnice

$$(M_{n-1}\otimes\cdots\otimes M_0)(N_{n-1}\otimes\cdots\otimes N_0) = (M_{n-1} N_{n-1})\otimes\cdots\otimes (M_0 N_0)$$

platí vždy, pro jakoukoli volbu matic $M_0,\ldots,M_{n-1}$ a $N_0\ldots,N_{n-1},$ za předpokladu, že součiny $M_0 N_0, \ldots, M_{n-1} N_{n-1}$ dávají smysl.

Nezávislé operace (pokračování)

Nyní můžeme odpovědět na dříve položenou otázku: pokud $M$ je pravděpodobnostní operace na $\mathsf{X},$ $N$ je pravděpodobnostní operace na $\mathsf{Y}$ a obě operace se provádějí nezávisle, pak výsledná operace na složeném systému $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ je tenzorový součin $M\otimes N.$

Takže jak pro pravděpodobnostní stavy, tak pro pravděpodobnostní operace platí, že tenzorové součiny reprezentují nezávislost. Pokud máme dva systémy $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y},$ které jsou nezávislé v pravděpodobnostních stavech $\vert\phi\rangle$ a $\vert\psi\rangle,$ pak složený systém $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ je v pravděpodobnostním stavu $\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle;$ a pokud na oba systémy nezávisle aplikujeme pravděpodobnostní operace $M$ a $N,$ pak výsledná akce na složeném systému $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ je popsána operací $M\otimes N.$

Podívejme se na příklad, který připomíná pravděpodobnostní operaci na jednom bitu z předchozí lekce: pokud je klasický stav bitu $0,$ nechá se beze změny; a pokud je klasický stav bitu $1,$ převrátí se na 0 s pravděpodobností $1/2.$ Zjistili jsme, že tato operace je reprezentována maticí

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Pokud se tato operace provede na bitu $\mathsf{X}$ a (nezávisle) se provede operace NOT na druhém bitu $\mathsf{Y},$ pak společná operace na složeném systému $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ má maticovou reprezentaci

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}.$$

Při bližší kontrole vidíme, že jde o stochastickou matici. To bude platit vždy: tenzorový součin dvou nebo více stochastických matic je vždy stochastický.

Častá situace, se kterou se setkáváme, je taková, že se provede jedna operace na jednom systému a s druhým se nedělá nic. V takovém případě se postupuje úplně stejně, přičemž je třeba mít na paměti, že nedělání ničeho je reprezentováno jednotkovou maticí. Například resetování bitu $\mathsf{X}$ do stavu $0$ a nedělání ničeho s $\mathsf{Y}$ dává pravděpodobnostní (a vlastně deterministickou) operaci na $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ reprezentovanou maticí

$$\begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\[1mm] 0 & 1 & 0 & 1 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$