Implementace v Qiskitu

V předchozí lekci jsme se poprvé podívali na třídy Statevector a Operator v Qiskitu a použili jsme je k simulaci operací a měření na jednotlivých qubitech. V této sekci tyto třídy využijeme k prozkoumání chování více qubitů.

# Added by doQumentation — installs the packages this notebook needs if they are missing
import importlib.util

_needed = {"numpy": "numpy", "qiskit": "qiskit"}
_missing = [pip for module, pip in _needed.items()
            if importlib.util.find_spec(module) is None]
# One at a time, so a package that fails to install does not block the others
for _pip in _missing:
    %pip install -q {_pip}
if not _missing:
    print("\u2713 All required packages are installed")

from qiskit import __version__

print(__version__)

2.1.1

Začneme importem tříd Statevector a Operator a také funkce odmocniny z NumPy. Dále budeme zpravidla všechny potřebné importy provádět hned na začátku každé lekce.

from qiskit.quantum_info import Statevector, Operator
from numpy import sqrt

Tenzorové součiny

Třída Statevector má metodu tensor, která vrací tenzorový součin daného Statevector s jiným, předaným jako argument. Argument je interpretován jako tenzorový faktor na pravé straně.

Například níže vytvoříme dva stavové vektory reprezentující $\vert 0\rangle$ a $\vert 1\rangle,$ a pomocí metody tensor vytvoříme nový vektor, $\vert \psi\rangle = \vert 0\rangle \otimes \vert 1\rangle.$ Všimni si, že zde používáme metodu from_label k definování stavů $\vert 0\rangle$ a $\vert 1\rangle,$ místo abychom je definovali sami.

zero = Statevector.from_label("0")
one = Statevector.from_label("1")
psi = zero.tensor(one)
display(psi.draw("latex"))

$|01\rangle$

Mezi další povolené štítky patří "+" a "-" pro stavy plus a minus a také "r" a "l" (zkratky slov "right" a "left") pro stavy

$$\vert {+i} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle \qquad\text{and}\qquad \vert {-i} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle.$$

Zde "+", "-" nebo "right" a "left" pocházejí z kontextu kvantově mechanického spinu, ve kterém může složka spinu v experimentu ukazovat doleva nebo doprava; neodkazuje se tím na qubit nejvíce vpravo nebo nejvíce vlevo v systémech více qubitů. Zde je příklad tenzorového součinu $\vert {+} \rangle$ a $\vert {-i} \rangle$.

plus = Statevector.from_label("+")
minus_i = Statevector.from_label("l")
phi = plus.tensor(minus_i)
display(phi.draw("latex"))

$\frac{1}{2} |00\rangle- \frac{i}{2} |01\rangle+\frac{1}{2} |10\rangle- \frac{i}{2} |11\rangle$

Alternativou je použití operátoru ^ pro tenzorové součiny, který přirozeně dává stejné výsledky.

display((plus ^ minus_i).draw("latex"))

$\frac{1}{2} |00\rangle- \frac{i}{2} |01\rangle+\frac{1}{2} |10\rangle- \frac{i}{2} |11\rangle$

Třída Operator má rovněž metodu tensor (stejně jako metodu from_label), jak vidíme v následujících příkladech.

H = Operator.from_label("H")
Id = Operator.from_label("I")
X = Operator.from_label("X")
display(H.tensor(Id).draw("latex"))
display(H.tensor(Id).tensor(X).draw("latex"))

$$\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ \end{bmatrix}$$

Opět, stejně jako u vektorů, operátor ^ je ekvivalentní.

display((H ^ Id ^ X).draw("latex"))

$$\begin{bmatrix} 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ \end{bmatrix}$$

Složené stavy můžeme podle očekávání nechat vyvíjet pomocí složených operací — stejně jako jsme to viděli pro jednotlivé systémy v předchozí lekci. Například následující kód vypočítá stav $(H\otimes I)\vert\phi\rangle$ pro $\vert\phi\rangle = \vert + \rangle \otimes \vert {-i}\rangle$ (který byl již definován výše).

display(phi.evolve(H ^ Id).draw("latex"))

$\frac{\sqrt{2}}{2} |00\rangle- \frac{\sqrt{2} i}{2} |01\rangle$

Zde je kód, který definuje operaci $CX$ a vypočítá $CX \vert\psi\rangle$ pro $\vert\psi\rangle = \vert + \rangle \otimes \vert 0 \rangle$. Pro upřesnění, jedná se o operaci $CX$, ve které je qubit na levé straně řídicí a qubit na pravé straně je cílový. Výsledkem je Bellův stav $\vert\phi^{+}\rangle$.

CX = Operator([[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 1], [0, 0, 1, 0]])
psi = plus.tensor(zero)
display(psi.evolve(CX).draw("latex"))

$\frac{\sqrt{2}}{2} |00\rangle+\frac{\sqrt{2}}{2} |11\rangle$

Částečná měření

V předchozí lekci jsme použili metodu measure k simulaci měření kvantového stavového vektoru. Tato metoda vrací dvě položky: simulovaný výsledek měření a nový Statevector odpovídající tomuto měření.

Ve výchozím nastavení measure měří všechny qubity ve stavovém vektoru. Alternativně můžeme jako argument poskytnout seznam celých čísel, což způsobí, že budou měřeny pouze qubity s danými indexy. Pro demonstraci kód níže vytvoří stav

$$\vert w\rangle = \frac{\vert 001\rangle + \vert 010\rangle + \vert 100\rangle}{\sqrt{3}}$$

a změří qubit číslo 0, což je qubit nejvíce vpravo. (Qiskit čísluje qubity od 0, zprava doleva. K této konvenci číslování se vrátíme v příští lekci.)

w = Statevector([0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0] / sqrt(3))
display(w.draw("latex"))

result, state = w.measure([0])
print(f"Measured: {result}\nState after measurement:")
display(state.draw("latex"))

result, state = w.measure([0, 1])
print(f"Measured: {result}\nState after measurement:")
display(state.draw("latex"))

$\frac{\sqrt{3}}{3} |001\rangle+\frac{\sqrt{3}}{3} |010\rangle+\frac{\sqrt{3}}{3} |100\rangle$

Measured: 0
State after measurement:

$\frac{\sqrt{2}}{2} |010\rangle+\frac{\sqrt{2}}{2} |100\rangle$

Measured: 00
State after measurement:

$|100\rangle$