Kvantová informace

Teď jsme připraveni přejít ke kvantové informaci v kontextu více systémů. Podobně jako v předchozí lekci o jednotlivých systémech je matematický popis kvantové informace pro více systémů velmi podobný probabilistickému případu a využívá podobné koncepty a techniky.

Kvantové stavy

Více systémů lze nahlížet souhrnně jako jednotlivé, složené systémy. To jsme již pozorovali v probabilistickém kontextu a kvantový kontext je analogický. Kvantové stavy více systémů jsou tedy reprezentovány sloupcovými vektory s komplexními číselnými složkami a euklidovskou normou rovnou $1,$ stejně jako kvantové stavy jednotlivých systémů. V případě více systémů jsou položky těchto vektorů přiřazeny kartézskému součinu množin klasických stavů přidružených ke každému z jednotlivých systémů, protože to je množina klasických stavů složeného systému.

Například pokud $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y}$ jsou Qubit​y, pak množina klasických stavů páru Qubit​ů $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ nahlížených souhrnně jako jeden systém, je kartézský součin $\{0,1\}\times\{0,1\}.$ Tím, že páry binárních hodnot reprezentujeme jako binární řetězce délky dva, přiřadíme tento kartézský součin množině $\{00,01,10,11\}.$ Následující vektory jsou tedy všechny příklady kvantových stavových vektorů páru $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11\rangle, \quad \frac{3}{5} \vert 00\rangle - \frac{4}{5} \vert 11\rangle, \quad \text{and} \quad \vert 01 \rangle.$$

Existují různé varianty zápisu kvantových stavových vektorů více systémů a můžeš si vybrat tu, která ti vyhovuje. Zde je několik příkladů pro první kvantový stavový vektor výše.

1. Můžeme využít faktu, že $\vert ab\rangle = \vert a\rangle \vert b\rangle$ (pro jakékoli klasické stavy $a$ a $b$) a místo toho zapsat

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 1\rangle.$$

2. Můžeme se rozhodnout zapsat symbol tenzorového součinu explicitně takto:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\otimes\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\otimes\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 1\rangle.$$

3. Můžeme kety opatřit dolním indexem, abychom naznačili, jak odpovídají uvažovaným systémům, takto:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0 \rangle_{\mathsf{Y}} - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}}.$$

Samozřejmě můžeme kvantové stavové vektory zapsat i explicitně jako sloupcové vektory:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] - \frac{1}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{i}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.$$

V závislosti na kontextu, ve kterém se objevuje, může být preferována některá z těchto variant — ale všechny jsou ekvivalentní v tom smyslu, že popisují stejný vektor.

Tenzorové součiny kvantových stavových vektorů

Podobně jako u vektorů pravděpodobností jsou tenzorové součiny kvantových stavových vektorů také kvantovými stavovými vektory — a opět reprezentují nezávislost mezi systémy.

Podrobněji, a začínaje případem dvou systémů, předpokládejme, že $\vert \phi \rangle$ je kvantový stavový vektor systému $\mathsf{X}$ a $\vert \psi \rangle$ je kvantový stavový vektor systému $\mathsf{Y}.$ Tenzorový součin $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$ který lze alternativně zapsat jako $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ nebo jako $\vert \phi \otimes \psi \rangle,$ je pak kvantovým stavovým vektorem společného systému $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Stav tohoto tvaru opět nazýváme produktový stav.

Intuitivně řečeno, když je pár systémů $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ v produktovém stavu $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$ můžeme to interpretovat tak, že $\mathsf{X}$ je v kvantovém stavu $\vert \phi \rangle,$ $\mathsf{Y}$ je v kvantovém stavu $\vert \psi \rangle$ a stavy obou systémů spolu nijak nesouvisí.

Skutečnost, že tenzorový součin $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ je skutečně kvantovým stavovým vektorem, je konzistentní s tím, že euklidovská norma je multiplikativní vzhledem k tenzorovým součinům:

$$\begin{aligned} \bigl\| \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr\| & = \sqrt{ \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \bigl\vert\langle ab \vert \phi\otimes\psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert\langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \biggl(\sum_{a\in\Sigma} \bigl\vert \langle a \vert \phi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) \biggl(\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) }\\[1mm] & = \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|. \end{aligned}$$

Protože $\vert \phi \rangle$ a $\vert \psi \rangle$ jsou kvantové stavové vektory, máme $\|\vert \phi \rangle\| = 1$ a $\|\vert \psi \rangle\| = 1,$ a tedy $\|\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle\| = 1,$ takže $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ je rovněž kvantový stavový vektor.

Toto se zobecňuje na více než dva systémy. Pokud $\vert \psi_0 \rangle,\ldots,\vert \psi_{n-1} \rangle$ jsou kvantové stavové vektory systémů $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1},$ pak $\vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle$ je kvantový stavový vektor reprezentující produktový stav společného systému $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$ Opět víme, že se jedná o kvantový stavový vektor, protože

$$\bigl\| \vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle \bigr\| = \bigl\|\vert \psi_{n-1} \rangle\bigl\| \cdots \bigl\|\vert \psi_0 \rangle \bigr\| = 1^n = 1.$$

Provázané stavy

Ne všechny kvantové stavové vektory více systémů jsou produktové stavy. Například kvantový stavový vektor

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle \tag{1}$$

dvou Qubit​ů není produktový stav. Abychom to zdůvodnili, můžeme následovat přesně stejný argument, který jsme použili v předchozí sekci pro probabilistický stav. To znamená, pokud by $(1)$ byl produktový stav, existovaly by kvantové stavové vektory $\vert\phi\rangle$ a $\vert\psi\rangle$, pro které

$$\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle.$$

Ale pak by nutně platilo, že

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 01 \vert \phi\otimes\psi\rangle = 0$$

z čehož plyne, že $\langle 0 \vert \phi\rangle = 0$ nebo $\langle 1 \vert \psi\rangle = 0$ (nebo obojí). To je ve sporu s faktem, že

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 0 \vert \psi\rangle = \langle 00 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

a

$$\langle 1 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 11 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

jsou obě nenulové. Kvantový stavový vektor $(1)$ tedy představuje korelaci mezi dvěma systémy a konkrétně říkáme, že systémy jsou provázané (entangled).

Všimni si, že konkrétní hodnota $1/\sqrt{2}$ není pro tento argument důležitá — důležité je pouze to, že tato hodnota je nenulová. Takže například kvantový stav

$$\frac{3}{5} \vert 00\rangle + \frac{4}{5} \vert 11\rangle$$

rovněž není produktový stav, a to na základě stejného argumentu.

Provázanost (entanglement) je základní vlastnost kvantové informace, která bude podrobněji diskutována v pozdější lekci. Provázanost může být komplikovaná, zejména pro typy zašuměných kvantových stavů, které lze popsat maticemi hustoty (ty jsou diskutovány v kurzu Obecná formulace kvantové informace, což je třetí kurz v sérii Porozumění kvantové informaci a výpočtům). Pro kvantové stavové vektory je však provázanost ekvivalentní korelaci: jakýkoli kvantový stavový vektor, který není produktovým stavem, představuje provázaný stav.Naproti tomu kvantový stavový vektor

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle$$

je příkladem produktového stavu.

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr) \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr)$$

Tento stav tedy není entanglovaný.

Bellovy stavy

Nyní se podíváme na některé důležité příklady kvantových stavů více Qubitů, počínaje Bellovými stavy. Jedná se o následující čtyři dvou-Qubitové stavy:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[3mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Bellovy stavy jsou pojmenovány na počest Johna Bella. Všimni si, že stejný argument, který ukazuje, že $\vert\phi^+\rangle$ není produktový stav, odhaluje, že ani žádný z ostatních Bellových stavů není produktovým stavem: všechny čtyři Bellovy stavy představují entanglement mezi dvěma Qubity.

Kolekce všech čtyř Bellových stavů

$$\bigl\{\vert \phi^+ \rangle, \vert \phi^- \rangle, \vert \psi^+ \rangle, \vert \psi^- \rangle\bigr\}$$

je známá jako Bellova báze. Jak název napovídá, jedná se skutečně o bázi; jakýkoli kvantový stavový vektor dvou Qubitů, nebo vlastně jakýkoli komplexní vektor se složkami odpovídajícími čtyřem klasickým stavům dvou bitů, lze vyjádřit jako lineární kombinaci čtyř Bellových stavů. Například

$$\vert 0 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^-\rangle.$$

Stavy GHZ a W

Dále se podíváme na dva zajímavé příklady stavů tří Qubitů. Prvním příkladem je stav GHZ (pojmenovaný na počest Daniela Greenbergera, Michaela Hornea a Antona Zeilingera, kteří jako první studovali některé jeho vlastnosti):

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

Druhým příkladem je takzvaný stav W:

$$\frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle.$$

Ani jeden z těchto stavů není produktovým stavem, což znamená, že je nelze zapsat jako tenzorový součin tří Qubitových kvantových stavových vektorů. Oba tyto stavy prozkoumáme později, až budeme probírat parciální měření kvantových stavů více systémů.

Další příklady

Příklady kvantových stavů více systémů, které jsme dosud viděli, byly stavy dvou nebo tří Qubitů, ale můžeme také uvažovat kvantové stavy více systémů s různými množinami klasických stavů.

Například zde je kvantový stav tří systémů, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ a $\mathsf{Z},$ kde množina klasických stavů $\mathsf{X}$ je binární abeceda (takže $\mathsf{X}$ je Qubit) a množina klasických stavů $\mathsf{Y}$ a $\mathsf{Z}$ je $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \heartsuit \rangle + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \vert \spadesuit\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \diamondsuit \rangle.$$

A zde je příklad kvantového stavu tří systémů, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ a $\mathsf{Z},$ které všechny sdílejí stejnou množinu klasických stavů $\{0,1,2\}:$

$$\frac{ \vert 012 \rangle - \vert 021 \rangle + \vert 120 \rangle - \vert 102 \rangle + \vert 201 \rangle - \vert 210 \rangle }{\sqrt{6}}.$$

Systémy s množinou klasických stavů $\{0,1,2\}$ se často nazývají trity nebo (za předpokladu, že mohou být v kvantovém stavu) qutrity. Pojem qudit označuje systém s množinou klasických stavů $\{0,\ldots,d-1\}$ pro libovolnou volbu $d.$

Měření kvantových stavů

Měření ve standardní bázi u kvantových stavů jednotlivých systémů byla probírána v předchozí lekci: pokud je systém s množinou klasických stavů $\Sigma$ v kvantovém stavu reprezentovaném vektorem $\vert \psi \rangle,$ a tento systém je změřen (vzhledem k měření ve standardní bázi), pak se každý klasický stav $a\in\Sigma$ objeví s pravděpodobností $\vert \langle a \vert \psi \rangle\vert^2.$ To nám říká, co se stane, když máme kvantový stav více systémů a rozhodneme se měřit celý složený systém, což je ekvivalentní měření všech systémů.

Abychom to formulovali přesně, předpokládejme, že $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ jsou systémy s množinami klasických stavů $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1}.$ Můžeme pak na $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ nahlížet souhrnně jako na jediný systém, jehož množina klasických stavů je kartézský součin $\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0.$ Pokud je kvantový stav tohoto systému reprezentován kvantovým stavovým vektorem $\vert\psi\rangle,$ a všechny systémy jsou změřeny, pak se každý možný výsledek $(a_{n-1},\ldots,a_0)\in\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0$ objeví s pravděpodobností $\vert\langle a_{n-1}\cdots a_0\vert \psi\rangle\vert^2.$

Například pokud jsou systémy $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y}$ společně v kvantovém stavu

$$\frac{3}{5} \vert 0\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{4i}{5} \vert 1\rangle \vert \spadesuit \rangle,$$

pak měření obou systémů ve standardní bázi dá výsledek $(0,\heartsuit)$ s pravděpodobností $9/25$ a výsledek $(1,\spadesuit)$ s pravděpodobností $16/25.$

Parciální měření

Nyní uvažujme situaci, kdy máme více systémů v nějakém kvantovém stavu a měříme vlastní podmnožinu těchto systémů. Stejně jako dříve začneme se dvěma systémy $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y}$ s množinami klasických stavů $\Sigma$ a $\Gamma.$

Obecně má kvantový stavový vektor $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ tvar

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

kde $\{\alpha_{ab} : (a,b)\in\Sigma\times\Gamma\}$ je kolekce komplexních čísel splňujících

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \vert \alpha_{ab} \vert^2 = 1,$$

což je ekvivalentní tomu, že $\vert \psi \rangle$ je jednotkový vektor.

Už víme z výše uvedené diskuze, že pokud jsou změřeny oba systémy $\mathsf{X}$ i $\mathsf{Y},$ pak se každý možný výsledek $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$ objeví s pravděpodobností

$$\bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Pokud místo toho předpokládáme, že je změřen pouze první systém $\mathsf{X},$ pravděpodobnost, že se objeví každý výsledek $a\in\Sigma,$ musí být rovna

$$\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^{2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

To je v souladu s tím, co jsme již viděli v pravděpodobnostním kontextu, a také s naším současným chápáním fyziky: pravděpodobnost, že se při měření $\mathsf{X}$ objeví každý výsledek, nemůže záviset na tom, zda byl nebo nebyl změřen i $\mathsf{Y},$ protože to by umožňovalo komunikaci rychlejší než světlo.

Poté, co jsme získali konkrétní výsledek $a\in\Sigma$ měření ve standardní bázi systému $\mathsf{X},$ přirozeně očekáváme, že se kvantový stav $\mathsf{X}$ změní tak, aby byl roven $\vert a\rangle,$ stejně jako tomu bylo u jednotlivých systémů. Co se ale stane s kvantovým stavem $\mathsf{Y}$?

Abychom odpověděli na tuto otázku, můžeme nejprve vyjádřit vektor $\vert\psi\rangle$ jako

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle \otimes \vert \phi_a \rangle,$$

kde

$$\vert \phi_a \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \alpha_{ab} \vert b\rangle$$

pro každé $a\in\Sigma.$ Zde postupujeme stejnou metodologií jako v pravděpodobnostním případě, tedy izolujeme stavy standardní báze měřeného systému. Pravděpodobnost, že měření ve standardní bázi systému $\mathsf{X}$ dá výsledek $a,$ je následující:

$$\sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2 = \bigl\| \vert \phi_a \rangle \bigr\|^2.$$

A v důsledku toho, že měření ve standardní bázi systému $\mathsf{X}$ dá výsledek $a,$ se kvantový stav dvojice $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ dohromady změní na

$$\vert a \rangle \otimes \frac{\vert \phi_a \rangle}{\|\vert \phi_a \rangle\|}.$$

To znamená, že stav se "zkolabuje" stejně jako v případě jednoho systému, ale pouze do takové míry, aby byl stav konzistentní s tím, že měření $\mathsf{X}$ vydalo výsledek $a.$

Neformálně řečeno, $\vert a \rangle \otimes \vert \phi_a\rangle$ představuje složku $\vert \psi\rangle,$ která je konzistentní s tím, že měření $\mathsf{X}$ dalo výsledek $a.$ Tento vektor pak normalizujeme -- vydělíme ho jeho euklidovskou normou, která se rovná $\|\vert\phi_a\rangle\|$ -- abychom získali platný kvantový stavový vektor s euklidovskou normou rovnou $1.$ Tento normalizační krok je analogický tomu, co jsme dělali v pravděpodobnostním kontextu, kdy jsme dělili vektory součtem jejich složek, abychom získali pravděpodobnostní vektor.

Jako příklad uvažuj stav dvou Qubitů $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ze začátku této sekce:

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11 \rangle.$$

Abychom pochopili, co se stane, když je změřen první systém $\mathsf{X},$ začneme tím, že zapíšeme

$$\vert \psi \rangle = \vert 0 \rangle \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) + \vert 1 \rangle \otimes \biggl( \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr).$$

Nyní na základě výše uvedeného popisu vidíme, že pravděpodobnost, že měření dá výsledek $0,$ je

$$\biggl\|\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

v kterémžto případě se stav $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ změní na

$$\vert 0\rangle \otimes \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \vert 0\rangle \otimes \Biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle - \frac{1}{2} \vert 1\rangle\Biggr);$$

a pravděpodobnost, že měření dá výsledek $1,$ je

$$\biggl\|\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

v kterémžto případě se stav $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ změní na

$$\vert 1\rangle \otimes \frac{\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{1}{3}}} = \vert 1\rangle \otimes \Biggl( \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\Biggr).$$

Stejnou technikou, použitou symetrickým způsobem, popíšeme, co se stane, pokud je místo prvního systému změřen druhý systém $\mathsf{Y}.$ Tentokrát přepíšeme vektor $\vert \psi \rangle$ jako

$$\vert \psi \rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) \otimes \vert 0\rangle + \biggl( -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

Pravděpodobnost, že měření $\mathsf{Y}$ dá výsledek $0,$ je

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

v kterémžto případě se stav $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ změní na

$$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} \otimes \vert 0 \rangle = \biggl(\frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1 \rangle\biggr) \otimes\vert 0 \rangle;$$

a pravděpodobnost, že výsledek měření bude $1,$ je

$$\biggl\| -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

v kterémžto případě se stav $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ změní na

$$\frac{ -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle }{\frac{1}{\sqrt{3}}} \otimes \vert 1\rangle = \biggl(-\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

Poznámka k redukovaným kvantovým stavům

Předchozí příklad ukazuje omezení zjednodušeného popisu kvantové informace, které spočívá v tom, že nám nenabízí způsob, jak popsat redukovaný (neboli marginální) kvantový stav pouze jednoho ze dvou systémů (nebo vlastní podmnožiny libovolného počtu systémů) tak jako v pravděpodobnostním případě.

Konkrétně, pro pravděpodobnostní stav dvou systémů $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ popsaný pravděpodobnostním vektorem

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle,$$

můžeme zapsat redukovaný neboli marginální pravděpodobnostní stav samotného $\mathsf{X}$ jako

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl( \sum_{b\in\Gamma} p_{ab}\biggr) \vert a\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a\rangle.$$

U kvantových stavových vektorů neexistuje analogický způsob, jak to provést. Konkrétně, pro kvantový stavový vektor

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

vektor

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert a\rangle$$

obecně není kvantovým stavovým vektorem a správně nepředstavuje koncept redukovaného nebo marginálního stavu.

Místo toho se můžeme obrátit k pojmu matice hustoty, který je probírán v kurzu Obecná formulace kvantové informace. Matice hustoty nám poskytují smysluplný způsob, jak definovat redukované kvantové stavy analogicky s pravděpodobnostním kontextem.

Parciální měření pro tři a více systémů

Parciální měření pro tři a více systémů, kde je měřena nějaká vlastní podmnožina systémů, lze převést na případ dvou systémů rozdělením systémů do dvou skupin: těch, které jsou měřeny, a těch, které nejsou. Zde je konkrétní příklad, který ilustruje, jak to lze provést. Demonstruje zejména, jak může být indexování ketů názvy systémů, které reprezentují, užitečné -- v tomto případě proto, že nám poskytuje jednoduchý způsob, jak popsat permutace systémů.

V tomto příkladu budeme uvažovat kvantový stav 5-tice systémů $(\mathsf{X}_4,\ldots,\mathsf{X}_0),$ kde všech pět těchto systémů sdílí stejnou množinu klasických stavů $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \\ -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle. \end{gathered}$$

Budeme uvažovat situaci, kdy jsou změřeny první a třetí systém a zbývající systémy zůstanou nezměněny.

Koncepčně vzato neexistuje žádný zásadní rozdíl mezi touto situací a situací, kdy je měřen jeden ze dvou systémů. Bohužel, protože měřené systémy jsou prokládány neměřenými systémy, narážíme na překážku při zapisování výrazů potřebných k provedení těchto výpočtů.

Jeden ze způsobů, jak postupovat, jak bylo naznačeno výše, je indexovat kety tak, aby ukazovaly, na které systémy se vztahují. To nám dává možnost sledovat systémy, zatímco permutujeme pořadí ketů, což zjednodušuje matematiku.

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0. \end{gathered}$$

Nic se nezměnilo, jen každý ket má nyní dolní index označující, kterému systému odpovídá. Zde jsme použili dolní indexy $0,\ldots,4,$ ale mohli bychom použít i názvy samotných systémů (v situaci, kdy máme názvy systémů jako $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y}$ a $\mathsf{Z},$ například).

Nyní můžeme přeuspořádat kety a seskupit členy následovně:

$$\begin{aligned} & \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ & \quad + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ & \quad -\sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\[2mm] & \hspace{1.5cm} = \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\biggr). \end{aligned}$$

Tenzorové součiny jsou stále implicitní, i když se používají závorky, jako v tomto příkladu.

Aby bylo jasno ohledně permutace ketů: tenzorové součiny nejsou komutativní — pokud $\vert \phi\rangle$ a $\vert \pi \rangle$ jsou vektory, pak obecně $\vert \phi\rangle\otimes\vert \pi \rangle$ je něco jiného než $\vert \pi\rangle\otimes\vert \phi \rangle,$ a totéž platí pro tenzorové součiny tří nebo více vektorů. Například $\vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle$ je jiný vektor než $\vert\heartsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle.$ Přeuspořádání ketů, které jsme právě provedli, by nemělo být interpretováno jako naznačení opaku.

Spíše se pro účely výpočtů jednoduše rozhodujeme, že je pohodlnější seskupit systémy jako $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0)$ než jako $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0).$ Dolní indexy na ketech slouží k tomu, aby se v tom dalo vyznat, a kdykoli se můžeme vrátit k původnímu pořadí, pokud to budeme chtít.

Nyní vidíme, že pokud se měří systémy $\mathsf{X}_4$ a $\mathsf{X}_2,$ (nenulové) pravděpodobnosti různých výsledků jsou následující:

• Výsledek měření $(\heartsuit,\diamondsuit)$ nastane s pravděpodobností

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$$

• Výsledek měření $(\diamondsuit,\diamondsuit)$ nastane s pravděpodobností

$$\biggl\| \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{2}{7}$$

• Výsledek měření $(\spadesuit,\clubsuit)$ nastane s pravděpodobností

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}.$$

Pokud je výsledek měření například $(\heartsuit,\diamondsuit),$ výsledný stav našich pěti systémů se změní na

$$\begin{aligned} & \vert \heartsuit\rangle_4 \vert \diamondsuit \rangle_2 \otimes \frac{ \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 - i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0} {\sqrt{\frac{3}{7}}}\\ & \qquad = \sqrt{\frac{1}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0. \end{aligned}$$

Zde jsme v konečném výsledku vrátili původní pořadí systémů, jen abychom ukázali, že to lze. Pro ostatní možné výsledky měření lze stav určit obdobným způsobem.

Nakonec zde uvádíme dva příklady, které byly přislíbeny dříve, počínaje GHZ stavem

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

Pokud se měří pouze první systém, získáme výsledek $0$ s pravděpodobností $1/2,$ v tom případě se stav tří Qubitů změní na $\vert 000\rangle;$ a také získáme výsledek $1$ s pravděpodobností $1/2,$ v tom případě se stav tří Qubitů změní na $\vert 111\rangle.$

V případě W stavu, za předpokladu, že se opět měří pouze první systém, začneme zapsáním tohoto stavu takto:

$$\begin{aligned} & \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle \\ & \qquad = \vert 0 \rangle \biggl( \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle\biggr) + \vert 1 \rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\vert 00\rangle\biggr). \end{aligned}$$

Pravděpodobnost, že měření prvního Qubitu dá výsledek 0, je tedy rovna

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle \biggr\|^2 = \frac{2}{3},$$

a za podmínky, že měření dalo tento výsledek, kvantový stav tří Qubitů se změní na

$$\vert 0\rangle\otimes \frac{ \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle }{ \sqrt{\frac{2}{3}} } = \vert 0\rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10\rangle \biggr) = \vert 0\rangle\vert \psi^+\rangle.$$

Pravděpodobnost, že výsledek měření je 1, činí $1/3,$ v tom případě se stav tří Qubitů změní na $\vert 100\rangle.$

W stav je symetrický v tom smyslu, že se nezmění, pokud permutujeme Qubity. Proto získáme obdobný popis i při měření druhého nebo třetího Qubitu namísto prvního.

Unitární operace

V principu jakákoli unitární matice, jejíž řádky a sloupce odpovídají klasickým stavům systému, představuje platnou kvantovou operaci na tomto systému. To samozřejmě platí i pro složené systémy, jejichž množiny klasických stavů jsou kartézskými součiny množin klasických stavů jednotlivých systémů.

Zaměříme-li se na dva systémy: pokud $\mathsf{X}$ je systém s množinou klasických stavů $\Sigma$ a $\mathsf{Y}$ je systém s množinou klasických stavů $\Gamma,$ pak množina klasických stavů společného systému $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ je $\Sigma\times\Gamma.$ Kvantové operace na tomto společném systému jsou tedy reprezentovány unitárními maticemi, jejichž řádky a sloupce odpovídají množině $\Sigma\times\Gamma.$ Uspořádání řádků a sloupců těchto matic je stejné jako uspořádání použité pro kvantové stavové vektory systému $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Předpokládejme například, že $\Sigma = \{1,2,3\}$ a $\Gamma = \{0,1\},$ a připomeňme si, že standardní konvence pro uspořádání prvků kartézského součinu $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$ je následující:

$$(1,0),\;(1,1),\;(2,0),\;(2,1),\;(3,0),\; (3,1).$$

Zde je příklad unitární matice reprezentující operaci na $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$U = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{i}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{i}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}.$$

Tato unitární matice není ničím výjimečná, je to jen příklad. Pro ověření, že $U$ je unitární, stačí spočítat a zkontrolovat, že $U^{\dagger} U = \mathbb{I},$ například. Alternativně můžeme ověřit, že řádky (nebo sloupce) jsou ortonormální, což je v tomto případě jednodušší díky konkrétní formě matice $U.$

Působení $U$ na standardní bázový vektor $\vert 1, 1 \rangle,$ například, je

$$U \vert 1, 1\rangle = \frac{1}{2} \vert 1, 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1, 1 \rangle - \frac{1}{2} \vert 2, 0 \rangle - \frac{i}{2} \vert 3, 0\rangle,$$

což vidíme z druhého sloupce $U,$ s ohledem na naše uspořádání množiny $\{1,2,3\}\times\{0,1\}.$

Jako u každé matice je možné vyjádřit $U$ pomocí Diracovy notace, což by vyžadovalo 20 členů pro 20 nenulových prvků $U.$ Pokud bychom ale všechny tyto členy vypsali, namísto zapsání matice $6\times 6,$ bylo by to nepřehledné a vzory, které jsou z maticového zápisu zřejmé, by pravděpodobně nebyly tak jasné. Jednoduše řečeno, Diracova notace není vždy tou nejlepší volbou.

Unitární operace na třech a více systémech fungují podobným způsobem, přičemž unitární matice mají řádky a sloupce odpovídající kartézskému součinu množin klasických stavů těchto systémů. Jeden příklad jsme už v této lekci viděli: tří-qubitovou operaci

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

kde čísla v bratech a ketech znamenají jejich $3$-bitové binární kódování. Kromě toho, že jde o deterministickou operaci, je to také unitární operace. Operace, které jsou zároveň deterministické i unitární, se nazývají reverzibilní operace. Konjugovanou transpozici této matice lze zapsat takto:

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert k \rangle \langle (k+1) \bmod 8 \vert = \sum_{k = 0}^{7} \vert (k-1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert.$$

Toto představuje opačnou, neboli matematicky řečeno inverzní, operaci k té původní — což je přesně to, co očekáváme od konjugované transpozice unitární matice. Další příklady unitárních operací na více systémech uvidíme, jak bude lekce pokračovat.

Unitární operace prováděné nezávisle na jednotlivých systémech

Když se unitární operace provádějí nezávisle na kolekci jednotlivých systémů, kombinované působení těchto nezávislých operací je popsáno tenzorovým součinem unitárních matic, které je reprezentují. To znamená, že pokud $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ jsou kvantové systémy, $U_0,\ldots, U_{n-1}$ jsou unitární matice reprezentující operace na těchto systémech a operace se provádějí na systémech nezávisle, pak kombinované působení na $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ je reprezentováno maticí $U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0.$ Opět zjišťujeme, že pravděpodobnostní a kvantové prostředí jsou si v tomto ohledu analogické.

Přirozeně bys po přečtení předchozího odstavce očekával/a, že tenzorový součin libovolné kolekce unitárních matic je unitární. To je skutečně pravda a můžeme to ověřit následovně.

Nejprve si všimni, že operace konjugované transpozice splňuje

$$(M_{n-1} \otimes \cdots \otimes M_0)^{\dagger} = M_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes M_0^{\dagger}$$

pro libovolně zvolené matice $M_0,\ldots,M_{n-1}.$ To lze ověřit tak, že se vrátíme k definici tenzorového součinu a konjugované transpozice a zkontrolujeme, že každý prvek na obou stranách rovnice souhlasí. To znamená, že

$$(U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0).$$

Protože tenzorový součin matic je multiplikativní, zjistíme, že

$$(U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0) = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0.$$

Zde jsme zapsali $\mathbb{I}_0,\ldots,\mathbb{I}_{n-1}$ jako matice reprezentující identickou operaci na systémech $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1},$ což znamená, že se jedná o jednotkové matice, jejichž velikosti odpovídají počtu klasických stavů $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}.$

Nakonec tenzorový součin $\mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0$ se rovná jednotkové matici, jejíž počet řádků a sloupců odpovídá součinu počtu řádků a sloupců matic $\mathbb{I}_{n-1},\ldots,\mathbb{I}_0.$ Tato větší jednotková matice reprezentuje identickou operaci na společném systému $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$

Shrnutí: máme následující posloupnost rovností:

$$\begin{aligned} & (U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0)\\ & \quad = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0\\ & \quad = \mathbb{I}. \end{aligned}$$

Z toho vyplývá, že $U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0$ je unitární.

Důležitá situace, která často nastává, je taková, kdy se unitární operace aplikuje pouze na jeden systém — nebo na vlastní podmnožinu systémů — v rámci většího společného systému. Předpokládejme například, že $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y}$ jsou systémy, které můžeme společně považovat za jeden složený systém $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ a provedeme operaci pouze na systému $\mathsf{X}.$ Přesněji řečeno, předpokládejme, že $U$ je unitární matice reprezentující operaci na $\mathsf{X},$ takže její řádky a sloupce jsou v korespondenci s klasickými stavy $\mathsf{X}.$

Říct, že provedeme operaci reprezentovanou $U$ pouze na systému $\mathsf{X},$ znamená, že se systémem $\mathsf{Y}$ neuděláme nic, tedy že nezávisle provedeme $U$ na $\mathsf{X}$ a identickou operaci na $\mathsf{Y}.$ To znamená, že „nedělat nic" se systémem $\mathsf{Y}$ je ekvivalentní provedení identické operace na $\mathsf{Y},$ která je reprezentována jednotkovou maticí $\mathbb{I}_\mathsf{Y}.$ (Zde, mimochodem, dolní index $\mathsf{Y}$ nám říká, že $\mathbb{I}_\mathsf{Y}$ se vztahuje k jednotkové matici, jejíž počet řádků a sloupců odpovídá množině klasických stavů $\mathsf{Y}.$) Operace na $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ kterou získáme, když provedeme $U$ na $\mathsf{X}$ a s $\mathsf{Y}$ neuděláme nic, je tedy reprezentována unitární maticí

$$U \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}.$$

Například pokud $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y}$ jsou Qubit​y, provedení Hadamardovy operace na $\mathsf{X}$ a nedělání ničeho s $\mathsf{Y}$ je ekvivalentní provedení operace

$$H \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

na společném systému $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Podobně, pokud se operace reprezentovaná unitární maticí $U$ aplikuje na $\mathsf{Y}$ a s $\mathsf{X}$ se nic nedělá, výsledná operace na $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ je reprezentována unitární maticí

$$\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U.$$

Například pokud opět uvažujeme situaci, kdy $\mathsf{X}$ i $\mathsf{Y}$ jsou Qubit​y a $U$ je Hadamardova operace, výsledná operace na $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ je reprezentována maticí

\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.

Ne každou unitární operaci na kolekci systémů lze zapsat jako tenzorový součin unitárních operací tímto způsobem, stejně jako ne každý kvantový stavový vektor těchto systémů je produktový stav. Například ani operace swap, ani operace controlled-NOT na dvou Qubitech, které jsou popsány níže, nelze vyjádřit jako tenzorový součin unitárních operací.

Operace swap

Na závěr lekce se podíváme na dvě třídy příkladů unitárních operací na více systémech, začneme operací swap.

Předpokládejme, že $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y}$ jsou systémy, které sdílejí stejnou množinu klasických stavů $\Sigma.$ Operace swap na páru $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ je operace, která vymění obsahy obou systémů, ale jinak je ponechá beze změny — takže $\mathsf{X}$ zůstane vlevo a $\mathsf{Y}$ zůstane vpravo. Tuto operaci budeme označovat jako $\operatorname{SWAP},$ a funguje takto pro každou volbu klasických stavů $a,b\in\Sigma:$

$$\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle.$$

Jeden způsob, jak zapsat matici přiřazenou této operaci pomocí Diracovy notace, je následující:

$$\mathrm{SWAP} = \sum_{c,d\in\Sigma} \vert c \rangle \langle d \vert \otimes \vert d \rangle \langle c \vert.$$

Nemusí být okamžitě zřejmé, že tato matice reprezentuje $\operatorname{SWAP},$ ale můžeme ověřit, že splňuje podmínku $\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle$ pro každou volbu klasických stavů $a,b\in\Sigma.$ Jako jednoduchý příklad, když $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y}$ jsou Qubity, zjistíme, že

$$\operatorname{SWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Kontrolované unitární operace

Nyní předpokládejme, že $\mathsf{Q}$ je Qubit a $\mathsf{R}$ je libovolný systém s jakoukoli množinou klasických stavů, kterou si přejeme. Pro každou unitární operaci $U$ působící na systém $\mathsf{R}$ je kontrolovaná-$U$ operace unitární operace na páru $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$ definovaná následovně:

$$CU = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes U.$$

Například pokud je $\mathsf{R}$ také Qubit a uvažujeme Pauliho operaci $X$ na $\mathrm{R},$ pak je kontrolovaná operace $X$ dána jako

$$CX = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

S touto operací jsme se již setkali v kontextu klasické informace a pravděpodobnostních operací dříve v této lekci. Nahrazením Pauliho operace $X$ na $\mathsf{R}$ operací $Z$ dostaneme tuto operaci:

$$CZ = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Pokud místo toho vezmeme $\mathsf{R}$ jako dva Qubity a za $U$ zvolíme operaci swap mezi těmito dvěma Qubity, získáme tuto operaci:

$$\operatorname{CSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Tato operace je také známá jako Fredkinova operace nebo běžněji jako Fredkinova Gate. Její působení na standardní bázové stavy lze popsat následovně:

$$\begin{aligned} \operatorname{CSWAP} \vert 0 b c \rangle & = \vert 0 b c \rangle \\[1mm] \operatorname{CSWAP} \vert 1 b c \rangle & = \vert 1 c b \rangle \end{aligned}$$

Nakonec, operace controlled-controlled-NOT, kterou můžeme označit jako $CCX,$ se nazývá Toffoliho operace nebo Toffoliho Gate. Její maticová reprezentace vypadá takto:

$$CCX = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Alternativně ji můžeme vyjádřit pomocí Diracovy notace následovně:

$$CCX = \bigl( \vert 00 \rangle \langle 00 \vert + \vert 01 \rangle \langle 01 \vert + \vert 10 \rangle \langle 10 \vert \bigr) \otimes \mathbb{I} + \vert 11 \rangle \langle 11 \vert \otimes X.$$