Diskretizace chyb

Doposud jsme uvažovali chyby $X$ a $Z$ v kontextu 9-Qubit Shorova kódu a v této části se budeme zabývat libovolnými chybami. Zjistíme, že pro zvládnutí takových chyb nemusíme dělat nic jiného, než co jsme už probrali; schopnost opravit chyby $X$, chyby $Z$ nebo obojí implikuje schopnost opravit libovolné chyby. Tento jev se někdy nazývá diskretizace chyb.

Unitární chyby na Qubitech

Začněme jedno-Qubitovými unitárními chybami. Například taková chyba by mohla odpovídat velmi malé rotaci Blochovy sféry, představující třeba chybu způsobenou Gate, který není dokonalý. Nebo to může být jakákoliv jiná unitární operace na Qubitu a nemusí to být nutně operace blízká identitě.

Může se zdát, že oprava takových chyb je obtížná. Koneckonců existuje nekonečně mnoho možných chyb tohoto typu a je nemyslitelné, že bychom mohli nějak každou chybu přesně identifikovat a poté ji vrátit zpět. Nicméně, pokud dokážeme opravit překlopení bitu, překlopení fáze nebo obojí, pak uspějeme v opravě libovolné jedno-Qubitové unitární chyby pomocí postupů popsaných dříve v této lekci.

Abychom pochopili, proč tomu tak je, uvědomme si nejprve, že libovolnou $2 \times 2$ unitární matici $U,$ představující chybu na jednom Qubitu, můžeme vyjádřit jako lineární kombinaci čtyř Pauliho matic (včetně matice identity).

$$U = \alpha \mathbb{I} + \beta X + \gamma Y + \delta Z$$

Jak uvidíme, při spuštění Circuit pro detekci chyb měření, která nám dávají syndromové bity, efektivně zkolabují stav kódování probabilisticky do stavu, kde došlo k chybě (nebo absenci chyby) reprezentované jednou ze čtyř Pauliho matic. (Z unitarity $U$ plyne, že čísla $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma,$ a $\delta$ musí splňovat $\vert\alpha\vert^2 + \vert\beta\vert^2 + \vert\gamma\vert^2 + \vert\delta\vert^2 = 1,$ a hodnoty $\vert\alpha\vert^2,$ $\vert\beta\vert^2,$ $\vert\gamma\vert^2,$ a $\vert\delta\vert^2$ jsou pravděpodobnosti, se kterými zakódovaný stav zkolabuje do stavu, pro který nastala odpovídající Pauliho chyba.)

Pro podrobnější vysvětlení toho, jak to funguje, bude pohodlné používat dolní indexy k označení toho, na který Qubit daná jedno-Qubitová unitární operace působí. Například při použití konvence číslování Qubitů v Qiskitu $(\mathsf{Q}_8,\mathsf{Q}_7,\ldots,\mathsf{Q}_0)$ pro číslování 9 Qubitů používaných v Shorově kódu máme tyto výrazy pro různé unitární operace na jednotlivých Qubitech, kde v každém případě tenzorově násobíme unitární matici s maticí identity na každém dalším Qubitu.

$$\begin{aligned} X_0 & = \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes X \\[1.5mm] Z_4 & = \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes Z \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \\[1.5mm] U_7 & = \mathbb{I} \otimes U \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \end{aligned}$$

Konkrétně tedy pro danou jedno-Qubitovou unitární operaci $U$ můžeme specifikovat akci $U$ aplikované na Qubit $k$ následujícím vzorcem, který je podobný předchozímu, až na to, že každá matice představuje operaci aplikovanou na Qubit $k.$

$$U_k = \alpha \mathbb{I}_k + \beta X_k + \gamma Y_k + \delta Z_k$$

Nyní předpokládej, že $\vert\psi\rangle$ je 9-Qubitové kódování stavu Qubitu. Pokud na Qubitu $k$ nastane chyba $U,$ získáme stav $U_k \vert\psi\rangle,$ který lze vyjádřit jako lineární kombinaci Pauliho operací působících na $\vert\psi\rangle$ následovně.

$$U_k \vert\psi\rangle = \alpha \vert\psi\rangle + \beta X_k\vert\psi\rangle + \gamma Y_k\vert\psi\rangle + \delta Z_k\vert\psi\rangle$$

V tuto chvíli proveďme substituci $Y = iXZ.$

$$U_k \vert\psi\rangle = \alpha \vert\psi\rangle + \beta X_k\vert\psi\rangle + i \gamma X_kZ_k\vert\psi\rangle + \delta Z_k\vert\psi\rangle$$

Nyní uvažuj kroky detekce a opravy chyb popsané dříve. Výsledky měření pro tři kontroly parity vnitřního kódu spolu s jednou kontrolou vnějšího kódu si můžeme představit jako jeden syndrom sestávající z 8 bitů. Těsně před samotnými měřeními ve standardní bázi, která produkují tyto syndromové bity, má stav následující tvar.

$$\begin{gathered} \alpha\,\vert \mathbb{I} \text{ syndrome}\rangle \otimes \vert\psi\rangle \\ + \beta\,\vert X_k \text{ syndrome}\rangle \otimes X_k\vert\psi\rangle \\ + i \gamma\,\vert X_k Z_k \text{ syndrome}\rangle \otimes X_k Z_k\vert\psi\rangle \\ + \delta\,\vert Z_k \text{ syndrome}\rangle \otimes Z_k\vert\psi\rangle \end{gathered}$$

Pro upřesnění: v tuto chvíli máme dva systémy. Systém nalevo je 8 Qubitů, které změříme, abychom získali syndrom, kde $\vert \mathbb{I} \text{ syndrome}\rangle,$ $\vert X_k \text{ syndrome}\rangle,$ a tak dále, odkazují na jakýkoliv 8-Qubitový stav standardní báze, který je konzistentní s odpovídající chybou (nebo absencí chyby). Systém napravo je 9 Qubitů, které používáme pro kódování.

Všimni si, že tyto dva systémy jsou nyní (obecně) korelované, a to je klíč k tomu, proč to funguje. Měřením syndromu stav 9 Qubitů napravo efektivně zkolabuje do stavu, ve kterém byla na jeden z Qubitů aplikována Pauliho chyba konzistentní s naměřeným syndromem. Navíc samotný syndrom poskytuje dostatek informací, abychom mohli chybu vrátit zpět a obnovit původní kódování $\vert\psi\rangle.$

Konkrétně, pokud jsou syndromové Qubity změřeny a provedeny příslušné korekce, získáme stav, který lze vyjádřit jako matici hustoty,

$$\xi \otimes \vert\psi\rangle\langle\psi\vert,$$

kde

$$\begin{aligned} \xi = & \vert\alpha\vert^2 \vert \mathbb{I} \text{ syndrome}\rangle\langle \mathbb{I} \text{ syndrome}\vert \\[1mm] & + \vert\beta\vert^2 \vert X_k \text{ syndrome}\rangle\langle X_k \text{ syndrome}\vert\\[1mm] & + \vert\gamma\vert^2 \vert X_k Z_k \text{ syndrome}\rangle\langle X_k Z_k \text{ syndrome}\vert\\[1mm] & + \vert\delta\vert^2 \vert Z_k \text{ syndrome}\rangle\langle Z_k \text{ syndrome}\vert. \end{aligned}$$

Zásadní je, že se jedná o produktový stav: jako pravý tenzorový faktor máme naše původní, nepoškozené kódování a nalevo máme matici hustoty $\xi,$ která popisuje náhodný chybový syndrom. Již neexistuje žádná korelace se systémem napravo, o který nám jde, protože chyby byly opraveny. V tomto okamžiku můžeme syndromové Qubity zahodit nebo resetovat, abychom je mohli použít znovu. Takto se náhodnost — neboli entropie — vytvořená chybami odstraňuje ze systému.

Toto je diskretizace chyb pro speciální případ unitárních chyb. V podstatě měřením syndromu efektivně promítáme chybu na chybu popsanou Pauliho maticí.

Na první pohled se může zdát až příliš dobré na to, aby to byla pravda, že dokážeme takto opravit libovolné unitární chyby, dokonce i chyby, které jsou drobné a samy o sobě sotva postřehnutelné. Ale důležité je uvědomit si, že se jedná o unitární chybu na jednom Qubitu, a podle návrhu kódu operace na jednom Qubitu nemůže změnit stav logického Qubitu, který byl zakódován. Vše, co může udělat, je přesunout stav mimo podprostor platných kódování, ale pak detekce chyb stav zkolabují a korekce ho vrátí tam, kde začal.

Libovolné chyby na Qubitech

Nakonec uvažujme libovolné chyby, které nemusí být nutně unitární. Přesněji řečeno, budeme uvažovat chybu popsanou libovolným Qubitovým kanálem $\Phi.$ Může to být například defázovací nebo depolarizační kanál, resetovací kanál, nebo nějaký podivný kanál, o kterém jsme dosud nepřemýšleli.

Prvním krokem je uvažovat libovolnou Krausovu reprezentaci $\Phi.$

$$\Phi(\sigma) = \sum_j A_j \sigma A_j^{\dagger}$$

Jedná se o Qubitový kanál, takže každé $A_j$ je matice $2\times 2,$ kterou můžeme vyjádřit jako lineární kombinaci Pauliho matic.

$$A_j = \alpha_j \mathbb{I} + \beta_j X + \gamma_j Y + \delta_j Z$$

To nám umožňuje vyjádřit akci chyby $\Phi$ na zvoleném Qubitu $k$ pomocí Pauliho matic následovně.

$$\Phi_k \bigl( \vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sum_j (\alpha_j \mathbb{I}_k + \beta_j X_k + \gamma_j Y_k + \delta_j Z_k) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert (\alpha_j \mathbb{I}_k + \beta_j X_k + \gamma_j Y_k + \delta_j Z_k)^{\dagger}$$

Stručně řečeno, jednoduše jsme rozepsali všechny naše Krausovy matice jako lineární kombinace Pauliho matic.

Pokud nyní vypočítáme a změříme chybový syndrom a opravíme všechny odhalené chyby, získáme podobný typ stavu jako v případě unitární chyby:

$$\xi \otimes \vert\psi\rangle\langle\psi\vert,$$

kde tentokrát máme

$$\begin{aligned} \xi = & \sum_j \Bigl(\vert\alpha_j\vert^2 \vert \mathbb{I} \text{ syndrome}\rangle\langle \mathbb{I} \text{ syndrome}\vert \\[-3mm] & \qquad + \vert\beta_j\vert^2 \vert X_k \text{ syndrome}\rangle\langle X_k \text{ syndrome}\vert\\[2mm] & \qquad + \vert\gamma_j\vert^2 \vert X_k Z_k \text{ syndrome}\rangle\langle X_k Z_k \text{ syndrome}\vert\\[2mm] & \qquad + \vert\delta_j\vert^2 \vert Z_k \text{ syndrome}\rangle\langle Z_k \text{ syndrome}\vert \Bigr). \end{aligned}$$

Detaily jsou trochu složitější a zde je neuvádíme. Koncepčně je myšlenka identická s unitárním případem.

Zobecnění

Diskretizace chyb se zobecňuje i na další kvantové kódy pro opravu chyb, včetně těch, které dokážou detekovat a opravovat chyby na více Qubitech. V takových případech lze chyby na více Qubitech vyjádřit jako tenzorové součiny Pauliho matic a odpovídajícím způsobem různé syndromy specifikují korekce Pauliho operacemi, které mohou být provedeny na více Qubitech, nejen na jednom.

Opět měřením syndromu jsou chyby efektivně promítnuty neboli zkolabovány na diskrétní množinu možností reprezentovaných tenzorovými součiny Pauliho matic, a opravou těchto Pauliho chyb můžeme obnovit původní zakódovaný stav. Mezitím je jakákoliv náhodnost generovaná v tomto procesu přesunuta do syndromových Qubitů, které jsou zahozeny nebo resetovány, čímž se odstraní náhodnost vytvořená v tomto procesu ze systému, který uchovává kódování.