9-Qubit Shorův kód

Nyní se zaměříme na 9-Qubit Shorův kód, což je kvantový kód pro opravu chyb získaný kombinací dvou kódů z předchozí sekce: 3-bitového opakovacího kódu pro Qubit, který umožňuje opravu jedné chyby typu bit-flip, a jeho modifikované verze, která umožňuje opravu jedné chyby typu phase-flip.

Popis kódu

9-Qubit Shorův kód je kód, který získáme zřetězením dvou kódů z předchozí sekce. To znamená, že nejprve aplikujeme jedno kódování, které zakóduje jeden Qubit do tří, a poté aplikujeme druhé kódování na každý ze tří Qubit použitých pro první kódování, čímž získáme celkem devět Qubit.

Přesněji řečeno, i když bychom v tomto konkrétním případě mohli aplikovat oba kódy v libovolném pořadí, zvolíme nejprve aplikaci modifikované verze 3-bitového opakovacího kódu (který detekuje chyby typu phase-flip) a poté zakódujeme každý z výsledných tří Qubit nezávisle pomocí původního 3-bitového opakovacího kódu (který detekuje chyby typu bit-flip). Zde je schéma Circuit tohoto kódování.

Jak obrázek naznačuje, budeme o devíti Qubit Shorova kódu přemýšlet jako o třech blocích po třech Qubit, kde každý blok je získán z druhého kroku kódování (což je obyčejný 3-bitový opakovací kód). Obyčejný 3-bitový opakovací kód, který se zde aplikuje třikrát nezávisle, se v tomto kontextu nazývá vnitřní kód, zatímco vnější kód je kód použitý pro první krok kódování, což je modifikovaná verze 3-bitového opakovacího kódu, která detekuje chyby typu phase-flip.

Kód můžeme alternativně specifikovat popisem toho, jak se zakódují dva stavy standardní báze pro náš původní Qubit.

$$\begin{aligned} \vert 0\rangle & \:\mapsto\: \frac{1}{2\sqrt{2}} (\vert 000\rangle + \vert 111\rangle) \otimes (\vert 000\rangle + \vert 111\rangle) \otimes (\vert 000\rangle + \vert 111\rangle) \\[4mm] \vert 1\rangle & \:\mapsto\: \frac{1}{2\sqrt{2}} (\vert 000\rangle - \vert 111\rangle) \otimes (\vert 000\rangle - \vert 111\rangle) \otimes (\vert 000\rangle - \vert 111\rangle) \end{aligned}$$

Jakmile toto známe, můžeme pomocí linearity určit, jak se zakóduje libovolný stavový vektor Qubit.

Oprava chyb typu bit-flip a phase-flip

Chyby a Gate CNOT

Pro analýzu toho, jak chyby $X$ a $Z$ ovlivňují kódování Qubit, a to jak pro 9-Qubit Shorův kód, tak pro další kódy, bude užitečné si všimnout několika jednoduchých vztahů mezi těmito chybami a Gate CNOT. Když začínáme analyzovat 9-Qubit Shorův kód, je to vhodný okamžik se u toho zastavit.

Následující schémata Circuit ilustrují tři základní vztahy mezi Gate $X$ a Gate CNOT. Konkrétně, aplikace Gate $X$ na cílový Qubit před Gate CNOT je ekvivalentní prohození pořadí a provedení Gate CNOT nejdříve, ale aplikace Gate $X$ na řídicí Qubit před Gate CNOT je ekvivalentní aplikaci Gate $X$ na oba Qubit po Gate CNOT. Nakonec, aplikace Gate $X$ na oba Qubit před Gate CNOT je ekvivalentní provedení Gate CNOT nejdříve a poté aplikaci Gate $X$ na řídicí Qubit. Tyto vztahy lze ověřit provedením příslušných maticových násobení nebo výpočtem účinku Circuit na stavy standardní báze.

Situace je podobná pro Gate $Z$, s tím rozdílem, že se role řídicího a cílového Qubit prohodí. Konkrétně máme tři vztahy znázorněné následujícími kvantovými Circuit.

Oprava chyb typu bit-flip

Nyní se podíváme na to, jak lze chyby detekovat a opravit pomocí 9-Qubit Shorova kódu, počínaje chybami typu bit-flip — které budeme pro stručnost obecně označovat jako chyby $X$.

Pro detekci a opravu chyb $X$ můžeme jednoduše zpracovat každý ze tří bloků v kódování zvlášť. Každý blok je kódování Qubit pomocí 3-bitového opakovacího kódu, který chrání proti chybám $X$ — takže provedením syndromových měření a oprav chyb $X$ popsaných dříve pro každý blok můžeme detekovat a opravit až jednu chybu $X$ na blok. Zejména pokud je na devíti Qubit kódování nejvýše jedna chyba $X$, tato chyba bude tímto postupem detekována a opravena.

Stručně řečeno, oprava chyb typu bit-flip je u tohoto kódu jednoduchá záležitost, díky tomu, že vnitřní kód opravuje chyby typu bit-flip.

Oprava chyb typu phase-flip

Dále se podíváme na chyby typu phase-flip, nebo pro stručnost chyby $Z$. Tentokrát není tak úplně jasné, co bychom měli dělat, protože vnější kód je ten, který detekuje chyby $Z$, ale vnitřní kód je jakoby „v cestě", což detekci a opravu těchto chyb mírně ztěžuje.

Předpokládejme, že chyba $Z$ nastane na jednom z 9 Qubit Shorova kódu, například na tom, který je znázorněn v tomto diagramu.

Už jsme pozorovali, co se stane, když nastane chyba $Z$ při použití 3-bitového opakovacího kódu — je to ekvivalentní chybě $Z$ nastalé před kódováním. V kontextu 9-Qubit Shorova kódu to znamená, že chyba $Z$ na kterémkoli ze tří Qubit v rámci bloku má vždy stejný efekt, který je ekvivalentní chybě $Z$ nastalé na odpovídajícím Qubit před aplikací vnitřního kódu.

Například výše uvedený diagram Circuit je ekvivalentní následujícímu diagramu. To lze odvodit pomocí výše popsaných vztahů mezi $Z$ a Gate CNOT, nebo jednoduše vyhodnocením Circuit na libovolný stav Qubit $\vert\psi\rangle.$

To naznačuje jednu možnost pro detekci a opravu chyb $Z$, a to dekódovat vnitřní kód, čímž nám zbydou tři Qubit použité pro vnější kódování spolu se šesti inicializovanými pracovními Qubit. Poté můžeme zkontrolovat tyto tři Qubit vnějšího kódu na chyby $Z$ a nakonec znovu zakódovat pomocí vnitřního kódu, abychom se vrátili k 9-Qubit kódování, které získáme ze Shorova kódu. Pokud detekujeme chybu $Z$, můžeme ji buď opravit před opětovným zakódováním vnitřním kódem, nebo ji můžeme opravit po opětovném zakódování aplikací Gate $Z$ na kterýkoli z Qubit v daném bloku.

Zde je diagram Circuit, který zahrnuje kódovací Circuit a výše naznačenou chybu spolu s právě popsanými kroky (ale ne samotný krok opravy).

V tomto konkrétním příkladu je výsledek syndromového měření $11$, což lokalizuje chybu $Z$ jako nastalou na jednom z Qubit v prostředním bloku.

Jednou z výhod opravy chyb $Z$ po kroku opětovného zakódování oproti opravě před ním je, že můžeme výše uvedený Circuit zjednodušit. Následující Circuit je ekvivalentní, ale vyžaduje o čtyři Gate CNOT méně.

Opět platí, že syndrom neindikuje, který Qubit byl zasažen chybou $Z$, ale spíše který blok zažil chybu $Z$, přičemž efekt je stejný bez ohledu na to, který Qubit v rámci bloku byl zasažen. Chybu pak můžeme opravit aplikací Gate $Z$ na kterýkoli ze tří Qubit postiženého bloku.

Na okraj, zde vidíme příklad degenerace v kvantovém kódu pro opravu chyb, kdy jsme schopni opravit určité chyby (v tomto případě chyby $Z$), aniž bychom je dokázali jednoznačně identifikovat.

Současné chyby typu bit-flip a phase-flip

Nyní jsme viděli, jak lze chyby $X$ i $Z$ detekovat a opravit pomocí 9-Qubit Shorova kódu, a zejména jak lze detekovat a opravit nejvýše jednu chybu $X$ nebo nejvýše jednu chybu $Z$. Nyní předpokládejme, že nastanou jak chyba typu bit-flip, tak chyba typu phase-flip, případně na stejném Qubit. Jak se ukáže, v této situaci není třeba dělat nic odlišného od toho, co již bylo diskutováno — kód je schopen detekovat a opravit až jednu chybu $X$ a jednu chybu $Z$ současně, bez dalších úprav.

Konkrétněji, chyby $X$ se detekují pomocí běžného syndromového měření 3-bitového opakovacího kódu, které se provádí zvlášť na každém ze tří bloků po třech Qubitech; a chyby $Z$ se detekují postupem popsaným výše, který odpovídá dekódování vnitřního kódu, provedení syndromového měření pro modifikovaný 3-bitový opakovací kód pro fázové převrácení a následnému opětovnému zakódování. Tyto dva kroky detekce chyb — stejně jako odpovídající opravy — lze provádět zcela nezávisle na sobě a ve skutečnosti nezáleží na tom, v jakém pořadí se provedou.

Abys pochopil/a proč, podívej se na příklad znázorněný v následujícím Circuit diagramu, kde chyba $X$ i chyba $Z$ zasáhly spodní Qubit prostředního bloku.

Nejprve si všimni, že pořadí chyb nehraje roli v tom smyslu, že prohození pozice chyb $X$ a $Z$ dává ekvivalentní Circuit. Abychom byli přesní, $X$ a $Z$ nekomutují, ale antikomutují:

$$XZ = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix} = -ZX.$$

To znamená, že následující Circuit je ekvivalentní tomu výše, až na globální fázový faktor $-1.$

Nyní můžeme posunout chybu $Z$ stejně jako předtím a získat další ekvivalentní Circuit.

V tuto chvíli je zřejmé, že pokud se nejprve provede postup pro detekci a opravu chyb $X$, chyba $X$ bude opravena, načež lze provést postup pro detekci a opravu chyb $Z$, aby se chyba $Z$ eliminovala stejně jako předtím.

Alternativně lze nejprve provést postup pro detekci a opravu chyb $Z$. Skutečnost, že tento postup funguje podle očekávání i v přítomnosti jedné nebo více chyb $X$, vyplývá z toho, že Gate $X$ na kterémkoli z devíti Qubitů použitých pro kódování komutují se všemi Gate v našem zjednodušeném Circuit pro měření syndromu chyb $Z$. Toto syndromové měření tedy stále správně identifikuje, který blok byl zasažen chybou $Z$. Skutečnost, že chyba $Z$ na libovolném bloku se opraví aplikací Gate $Z$ na kterýkoli Qubit tohoto bloku, i když se současně vyskytla chyba $X$, plyne ze stejného argumentu jako výše ohledně pořadí Gate $X$ a $Z$, které nám dávají ekvivalentní Circuit až na globální fázi.

Z toho plyne, že 9-Qubitový Shorův kód dokáže opravit chybu $X$, chybu $Z$, nebo obojí, na kterémkoli z devíti Qubitů použitých pro tento kód. Ve skutečnosti dokážeme opravit i více chyb, včetně více chyb $X$ (pokud spadají do různých bloků) nebo více chyb $Z$ (pokud je lichý počet v nejvýše jednom bloku) — ale v dalším průběhu této lekce bude nejdůležitější, že dokážeme opravit chybu $X$, chybu $Z$, nebo obojí na jednom libovolném Qubitu.

Snížení chybovosti pro náhodné chyby

Než přejdeme k poslední části lekce, která se zabývá obecnými kvantovými chybami, pojďme se krátce podívat na výkonnost 9-Qubitového Shorova kódu v situaci, kdy se na Qubitech náhodně vyskytují chyby reprezentované Pauliho maticemi.

Abychom byli konkrétnější, uvažujme jednoduchý model šumu, kde se chyby vyskytují na Qubitech nezávisle, přičemž každý Qubit je zasažen chybou s pravděpodobností $p$ a mezi chybami na různých Qubitech neexistuje žádná korelace — podobně jako u binárního symetrického kanálu pro klasické bity. Mohli bychom přiřadit různé pravděpodobnosti výskytu chyb $X,$ $Y$ a $Z$, ale abychom to co nejvíce zjednodušili, budeme uvažovat nejhorší scénář pro 9-Qubitový Shorův kód, tedy že na každém zasaženém Qubitu dojde k chybě $Y$. Chyba $Y$ je mimochodem ekvivalentní (až na irelevantní globální fázový faktor) současnému výskytu chyby $X$ a chyby $Z$ na stejném Qubitu, protože $Y = iXZ.$ To vysvětluje, proč jsme chyby $Y$ dosud zdánlivě opomíjeli.

Předpokládejme nyní, že $\mathsf{Q}$ je Qubit v nějakém konkrétním stavu, který chceme chránit před chybami, a zvažujeme možnost použít 9-Qubitový Shorův kód. Přirozená otázka zní: „Měli bychom ho použít?"

Odpověď nemusí být nutně „ano". Pokud je příliš mnoho šumu, což v tomto kontextu znamená, že $p$ je příliš velké, použití Shorova kódu by ve skutečnosti mohlo věci zhoršit — stejně jako je 3-bitový opakovací kód horší než žádný kód, když $p$ je větší než jedna polovina. Ale pokud je $p$ dostatečně malé, pak odpověď zní „ano", kód bychom měli použít, protože sníží pravděpodobnost poškození zakódovaného stavu. Podívejme se proč a co pro tento kód znamená, že $p$ je příliš velké nebo dostatečně malé.

Shorův kód opravuje jakoukoli Pauliho chybu na jednom Qubitu, včetně chyby $Y$ samozřejmě, ale neopravuje správně dvě nebo více chyb $Y$. Pro upřesnění předpokládáme, že používáme opravy chyb $X$ a $Z$ popsané dříve v této sekci. (Samozřejmě, kdybychom předem věděli, že se musíme starat jen o chyby $Y$, přirozeně bychom zvolili opravy jinak — ale to by bylo podvádění modelu šumu a vždy bychom mohli model změnit výběrem jiných Pauliho chyb tak, aby tato nová volba oprav selhala, kdykoli jsou chybami zasaženy dva nebo více Qubitů.)

Kód tedy chrání $\mathsf{Q}$, pokud je chybou zasažen nejvýše jeden z devíti Qubitů, což nastane s pravděpodobností

$$(1-p)^9 + 9 p (1-p)^8.$$

V opačném případě, s pravděpodobností

$$1 - (1-p)^9 - 9 p (1-p)^8,$$

kód selže při ochraně $\mathsf{Q}.$

Konkrétně to v tomto kontextu znamená, že na náš Qubit $\mathsf{Q}$ (jako logický Qubit) bude aplikována neidentická Pauliho operace, až na globální fázi. Tedy pokud jsou chyby $X$ a $Z$ detekovány a opraveny pro Shorův kód způsobem popsaným dříve v lekci, zůstane nám zakódování stavu, které je ekvivalentní, až na globální fázi, zakódování neidentické Pauliho operace aplikované na původní stav $\mathsf{Q}.$ Stručněji řečeno, došlo k logické chybě. To může, ale nemusí mít vliv na původní stav $\mathsf{Q}$ — jinými slovy na logický Qubit, který jsme zakódovali pomocí devíti fyzických Qubitů — ale pro účely této analýzy považujeme tuto událost za selhání.

Na druhou stranu, kdybychom se neobtěžovali kód použít, náš jediný Qubit by utrpěl podobný osud (podléhání neidentické Pauliho operaci) s pravděpodobností $p.$ Kód pomáhá, když je první pravděpodobnost menší než druhá:

$$1 - (1-p)^9 - 9 p (1-p)^8 < p.$$

Zde je graf, který pro velmi malé hodnoty $p$ ilustruje, že kód poskytuje výhodu, přičemž bod vyrovnání nastává přibližně při $0{,}0323.$

Pokud je $p$ menší než tento bod vyrovnání, kód pomáhá; v bodě vyrovnání jsou pravděpodobnosti stejné, takže pokud kód použijeme, jen ztrácíme čas a 8 Qubitů navíc; a za bodem vyrovnání bychom tento kód rozhodně neměli používat, protože zvyšuje šanci na logickou chybu na $\mathsf{Q}.$

Tři a čtvrt procenta se nemusí zdát jako příliš dobrý bod vyrovnání, zvláště ve srovnání s $50\%,$ což je analogický bod vyrovnání pro 3-bitový opakovací kód pro klasickou informaci.