Prahová věta

Posledním tématem diskuse v této lekci je velmi důležitá věta známá jako prahová věta. Zde je poněkud neformální znění této věty.

Theorem

Prahová věta: Kvantový Circuit o velikosti $N$ lze implementovat s vysokou přesností pomocí zašuměného kvantového Circuit, za předpokladu, že pravděpodobnost chyby na každém místě v zašuměném Circuit je pod pevnou, nenulovou prahovou hodnotou $p_{\text{th}} > 0.$ Velikost zašuměného Circuit škáluje jako $O(N \log^c(N))$ pro kladnou konstantu $c.$

Jednoduše řečeno, věta říká, že pokud máme jakýkoli kvantový Circuit o $N$ Gate, kde $N$ může být libovolně velké, pak je možné tento Circuit implementovat s vysokou přesností pomocí zašuměného kvantového Circuit, za předpokladu, že úroveň šumu je pod určitou prahovou hodnotou nezávislou na N. Navíc to není příliš nákladné, v tom smyslu, že velikost potřebného zašuměného Circuit je řádově $N$ krát nějaká konstantní mocnina logaritmu $N.$

Formálnější znění věty vyžaduje specifikaci modelu šumu, což v této lekci provedeno nebude. Větu lze například dokázat pro model nezávislého stochastického šumu zmíněný dříve, kde se chyby vyskytují nezávisle na každém možném místě v Circuit s pravděpodobností ostře menší než prahová hodnota, ale lze ji dokázat i pro obecnější modely šumu, kde mohou existovat korelace mezi chybami.

Jedná se o teoretický výsledek a nejtypičtější způsob důkazu se nemusí nutně promítnout do praktického přístupu, ale přesto má velký praktický význam. Konkrétně stanovuje, že neexistuje žádná zásadní překážka pro provádění kvantových výpočtů pomocí zašuměných komponent; pokud je chybovost těchto komponent pod prahovou hodnotou, lze je použít k sestavení spolehlivých kvantových Circuit libovolné velikosti. Alternativní způsob, jak vyjádřit její důležitost, je pozorování, že kdyby věta nebyla pravdivá, bylo by obtížné si představit, že by se rozsáhlé kvantové výpočty kdy staly realitou.

Formální důkazy (formálních znění) této věty zahrnují mnoho technických detailů, které zde nebudou sděleny — ale základní myšlenky lze přesto vysvětlit na intuitivní úrovni. Aby bylo toto vysvětlení co nejjednodušší, představme si, že pro opravu chyb použijeme $7$-Qubit Steaneův kód. To by byl nepraktický výběr pro skutečnou fyzikální implementaci — což by se projevilo nepatrnou prahovou hodnotou $p_{\text{th}}$ — ale k předání hlavních myšlenek poslouží dobře. Toto vysvětlení bude také poměrně volné ohledně modelu šumu, přičemž předpokladem je, že chyba zasáhne každé místo v implementaci odolné vůči chybám nezávisle s pravděpodobností $p.$

Pokud je pravděpodobnost $p$ větší než převrácená hodnota $N,$ velikosti Circuit, který chceme implementovat, je velmi pravděpodobné, že chyba někde nastane. Můžeme se tedy pokusit spustit implementaci tohoto Circuit odolnou vůči chybám podle postupu nastíněného v lekci. Pak si můžeme položit dříve naznačenou otázku: Zlepšuje to situaci, nebo ji zhoršuje?

Pokud je pravděpodobnost $p$ chyby na každém místě příliš velká, pak naše úsilí nepomůže a může věci dokonce zhoršit, stejně jako $9$-Qubit Shorův kód nepomáhá, pokud je pravděpodobnost chyby nad přibližně 3,23 %. Konkrétně implementace odolná vůči chybám je podstatně větší než náš původní Circuit, takže existuje mnohem více míst, kde by mohly chyby nastat.

Pokud je však $p$ dostatečně malé, podaří se nám snížit pravděpodobnost chyby pro logický výpočet, který provádíme. (Ve formálním důkazu bychom v tomto místě museli být velmi opatrní: chyby v logickém výpočtu nemusí být nutně přesně popsány původním modelem šumu. To ve skutečnosti motivuje méně shovívavé modely šumu, kde chyby nemusí být nezávislé — ale pro účely tohoto vysvětlení tento detail přejdeme.)

Podrobněji řečeno, aby došlo k logické chybě v původním Circuit, musí alespoň dvě chyby spadnout do stejného kódového bloku v implementaci odolné vůči chybám, protože Steaneův kód dokáže opravit jakoukoli jednotlivou chybu v kódovém bloku. S vědomím, že existuje mnoho různých způsobů, jak mohou nastat dvě nebo více chyb ve stejném kódovém bloku, lze argumentovat, že pravděpodobnost logické chyby na každém místě v původním Circuit je nejvýše $C p^2$ pro nějaké pevné kladné reálné číslo $C,$ které závisí na kódu a gadgetech, jež používáme, ale rozhodující je, že nezávisí na $N,$ velikosti původního Circuit. Pokud je $p$ menší než $1/C,$ což je číslo, které můžeme vzít jako naši prahovou hodnotu $p_{\text{th}},$ znamená to snížení chyb.

Tato nová chybovost však stále nemusí být dostatečně nízká, aby celý Circuit fungoval správně. Přirozenou věcí v tomto bodě je zvolit lepší kód a lepší gadgety, aby se chybovost snížila na úroveň, při které implementace pravděpodobně bude fungovat. Teoreticky vzato, jednoduchý způsob, jak argumentovat, že je to možné, je zřetězení. To znamená, že můžeme na implementaci původního Circuit odolnou vůči chybám pohlížet jako na jakýkoli jiný kvantový Circuit a poté tento nový Circuit implementovat odolně vůči chybám pomocí stejného schématu. To pak můžeme opakovat znovu a znovu, kolikrát potřebujeme, aby se chybovost snížila na úroveň umožňující fungování původního výpočtu.

Abychom získali hrubou představu o tom, jak chybovost klesá touto metodou, podívejme se, jak to funguje pro několik iterací. Upozorňujeme, že rigorózní analýza by musela zohlednit různé technické detaily, které zde vynecháváme.

Začínáme s pravděpodobností chyby $p$ pro místa v původním Circuit. Za předpokladu, že $p < p_{\text{th}} = 1/C,$ lze logickou chybovost po první iteraci ohraničit hodnotou $Cp^2 = (Cp) p.$ Pokud budeme na implementaci odolnou vůči chybám pohlížet jako na jakýkoli jiný Circuit a implementujeme ji odolně vůči chybám, získáme odhad logické chybovosti

$$C \bigl((Cp) p \bigr)^2 = (Cp)^3 p.$$

Další iterace chybový odhad dále sníží na

$$C \bigl((Cp)^3 p \bigr)^2 = (Cp)^7 p.$$

Pokračováním tímto způsobem pro celkem $k$ iterací dospějeme k logické chybovosti (pro původní Circuit) ohraničené hodnotou

$$(Cp)^{2^k - 1} p,$$

což je dvojitě exponenciální v $k.$

To znamená, že nepotřebujeme příliš mnoho iterací, abychom chybovost učinili extrémně malou. Mezitím Circuit s každou úrovní zřetězení rostou, ale velikost se zvyšuje pouze jednoduše exponenciálně s počtem úrovní $k.$ To proto, že s každou úrovní odolnosti vůči chybám velikost vzroste nejvýše o faktor daný maximální velikostí použitých gadgetů. Když to vše dáme dohromady a provedeme vhodnou volbu počtu úrovní zřetězení, získáme prahovou větu.

Jaká je tedy tato prahová hodnota ve skutečnosti? Odpověď závisí na použitém kódu a gadgetech. Pro Steaneův kód spolu s destilací magických stavů je nepatrná a pravděpodobně v praxi nedosažitelná. Ale při použití povrchových kódů a nejmodernějších gadgetů byla prahová hodnota odhadnuta na řád 0,1 % až 1 %.

S objevováním nových kódů a metod je rozumné očekávat, že prahová hodnota poroste, zatímco současně úroveň šumu ve skutečných fyzikálních komponentách bude klesat. Dosáhnout bodu, kdy bude možné rozsáhlé kvantové výpočty implementovat odolně vůči chybám, nebude snadné a nestane se to přes noc. Ale tato věta spolu s pokroky v kvantových kódech a kvantovém hardwaru nám dává optimismus, zatímco pokračujeme v cestě k dosažení konečného cíle — vybudování rozsáhlého kvantového počítače odolného vůči chybám.

Průzkum po kurzu

Gratulujeme k dokončení tohoto kurzu! Věnuj prosím chvíli tomu, abys nám pomohl/a vylepšit náš kurz vyplněním následujícího krátkého průzkumu. Tvá zpětná vazba bude využita ke zlepšení našeho obsahu a uživatelského zážitku. Děkujeme!

Note: This survey is provided by IBM Quantum and relates to the original English content. To give feedback on doQumentation's website, translations, or code execution, please open a GitHub issue.