Pauliho operace a pozorovatelné veličiny

Pauliho matice hrají klíčovou roli ve stabilizátorovém formalismu. Tuto lekci začneme diskuzí o Pauliho maticích, včetně některých jejich základních algebraických vlastností, a také si povíme, jak Pauliho matice (a tenzorové součiny Pauliho matic) mohou popisovat měření.

Základy Pauliho operací

Zde jsou Pauliho matice, včetně $2\times 2$ jednotkové matice a tří nejednotkových Pauliho matic.

$$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad X = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad Y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix} \qquad Z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Vlastnosti Pauliho matic

Všechny čtyři Pauliho matice jsou unitární i hermitovské. Dříve v této sérii jsme pro nejednotkové Pauliho matice používali názvy $\sigma_x,$ $\sigma_y,$ a $\sigma_z,$ ale v kontextu oprav chyb je zvykem používat velká písmena $X,$ $Y,$ a $Z.$ Tuto konvenci jsme dodržovali v předchozí lekci a budeme v tom pokračovat i v dalších lekcích.

Různé nejednotkové Pauliho matice spolu antikomutují.

$$XY = -YX \qquad XZ = -ZX \qquad YZ = -ZY$$

Tyto antikomutační relace jsou jednoduché a snadno ověřitelné provedením násobení, ale jsou zásadně důležité — jak ve stabilizátorovém formalismu, tak i jinde. Jak uvidíme, záporná znaménka, která se objeví při prohození pořadí dvou různých nejednotkových Pauliho matic v maticovém součinu, přesně odpovídají detekci chyb ve stabilizátorovém formalismu.

Máme také zde uvedená pravidla pro násobení.

$$XX = YY = ZZ = \mathbb{I} \qquad XY = iZ \qquad YZ = iX \qquad ZX = iY$$

Tedy každá Pauliho matice je svou vlastní inverzí (což vždy platí pro jakoukoli matici, která je současně unitární i hermitovská) a vynásobení dvou různých nejednotkových Pauliho matic vždy dává $\pm i$ krát zbývající nejednotkovou Pauliho matici. Konkrétně, až na fázový faktor, $Y$ odpovídá $X Z,$ což vysvětluje, proč se v kvantové korekci chyb zaměřujeme na chyby $X$ a $Z$ a zdánlivě se nezajímáme o chyby $Y;$ $X$ představuje překlopení bitu, $Z$ představuje překlopení fáze, a tedy (až na globální fázový faktor) $Y$ představuje obě tyto chyby vyskytující se současně na stejném Qubit.

Pauliho operace na více Qubitech

Všechny čtyři Pauliho matice představují operace (které mohou být chybami) na jednom Qubit u — a jejich tenzorovým součinem získáme operace na více Qubit ech. Z hlediska terminologie, když mluvíme o n-qubitové Pauliho operaci, máme na mysli tenzorový součin libovolných $n$ Pauliho matic, jako jsou zde uvedené příklady, pro které $n=9.$

$$\begin{gathered} \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \\[1mm] X \otimes X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \\[1mm] X \otimes Y \otimes Z \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes X \otimes Y \otimes Z \end{gathered}$$

Často se termín Pauliho operace vztahuje na tenzorový součin Pauliho matic spolu s fázovým faktorem, nebo někdy jen na určité fázové faktory jako $\pm 1$ a $\pm i.$ Existují dobré důvody, proč z matematického hlediska takové fázové faktory připouštět — ale abychom to měli co nejjednodušší, budeme v tomto kurzu termín Pauliho operace používat pro tenzorový součin Pauliho matic bez možnosti fázového faktoru odlišného od 1.

Váha $n$-qubitové Pauliho operace je počet nejednotkových Pauliho matic v tenzorovém součinu. Například první příklad výše má váhu $0,$ druhý má váhu $2,$ a třetí má váhu $6.$ Intuitivně řečeno, váha $n$-qubitové Pauliho operace je počet Qubit ů, na kterých působí netriviálně. Je typické, že kvantové kódy pro opravu chyb jsou navrženy tak, aby dokázaly detekovat a opravit chyby reprezentované Pauliho operacemi, pokud jejich váha není příliš vysoká.

Pauliho operace jako generátory

Někdy je užitečné uvažovat o kolekcích Pauliho operací jako o generátorech množin (přesněji grup) operací, v algebraickém smyslu, který možná znáš, pokud se orientuješ v teorii grup. Pokud teorii grup neznáš, nevadí — pro tuto lekci to není nezbytné. Znalost základů teorie grup však důrazně doporučujeme těm, kteří se chtějí kvantovou korekcí chyb zabývat do větší hloubky.

Předpokládejme, že $P_1, \ldots, P_r$ jsou $n$-qubitové Pauliho operace. Když mluvíme o množině generované operacemi $P_1, \ldots, P_r,$ máme na mysli množinu všech matic, které lze získat vzájemným násobením těchto matic v libovolné kombinaci a v libovolném pořadí, přičemž každou z nich můžeme použít kolikrát chceme. Zápis používaný pro tuto množinu je $\langle P_1, \ldots, P_r \rangle.$

Například množina generovaná třemi nejednotkovými Pauliho maticemi je následující.

$$\langle X, Y, Z \rangle = \bigl\{\alpha P\,:\,\alpha\in\{1,i,-1,-i\},\; P\in\{\mathbb{I},X,Y,Z\} \bigr\}$$

To lze odvodit z dříve uvedených pravidel pro násobení. V této množině je 16 různých matic, která se běžně nazývá Pauliho grupa.

Jako druhý příklad, pokud odstraníme $Y,$ získáme polovinu Pauliho grupy.

$$\langle X, Z\rangle = \{ \mathbb{I}, X, Z, -iY, -\mathbb{I}, -X, -Z, iY \}$$

Zde je poslední příklad (prozatím), tentokrát s $n=2.$

$$\langle X \otimes X, Z \otimes Z\rangle = \{ \mathbb{I}\otimes\mathbb{I}, X\otimes X, Z\otimes Z, -Y\otimes Y \}$$

V tomto případě získáme jen čtyři prvky, díky tomu, že $X\otimes X$ a $Z\otimes Z$ komutují:

$$\begin{aligned} (X\otimes X)(Z\otimes Z) & = (XZ) \otimes (XZ)\\ & = (-ZX)\otimes (-ZX)\\ & = (ZX)\otimes (ZX)\\& = (Z\otimes Z)(X\otimes X). \end{aligned}$$

Pauliho pozorovatelné

Pauliho matice a obecněji $n$-Qubitové Pauliho operace jsou unitární, a proto popisují unitární operace na Qubitech. Jsou ale také hermitovské matice, a z tohoto důvodu popisují měření, jak bude nyní vysvětleno.

Pozorovatelné z hermitovských matic

Uvažuj nejprve libovolnou hermitovskou matici $A.$ Když označujeme $A$ jako pozorovatelnou, přiřazujeme k $A$ určité jednoznačně definované projektivní měření. Slovně řečeno, možné výsledky jsou různé vlastní hodnoty $A$ a projekce, které definují měření, jsou ty, které projektují na prostory generované odpovídajícími vlastními vektory $A.$ Výsledky takového měření jsou tedy reálná čísla — ale protože matice mají jen konečně mnoho vlastních hodnot, bude pro danou volbu $A$ jen konečně mnoho různých výsledků měření.

Podrobněji, podle spektrálního teorému lze zapsat

$$A = \sum_{k = 1}^m \lambda_k \Pi_k$$

pro různé reálné vlastní hodnoty $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ a projekce $\Pi_1,\ldots,\Pi_m$ splňující

$$\Pi_1 + \cdots + \Pi_m = \mathbb{I}.$$

Takový zápis matice je jednoznačný až na pořadí vlastních hodnot. Jinak řečeno, pokud trváme na tom, že vlastní hodnoty jsou seřazeny sestupně $\lambda_1 > \lambda_2 > \cdots > \lambda_m,$ pak existuje jen jeden způsob, jak zapsat $A$ ve výše uvedeném tvaru.

Na základě tohoto zápisu je měření, které přiřazujeme pozorovatelné $A$, projektivní měření popsané projekcemi $\Pi_1,\ldots,\Pi_m$ a vlastní hodnoty $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ se chápou jako výsledky měření odpovídající těmto projekcím.

Měření z Pauliho operací

Podívejme se, jak vypadají měření právě popsaného typu pro Pauliho operace, počínaje třemi nejednotkovými Pauliho maticemi. Tyto matice mají následující spektrální rozklady.

$$\begin{gathered} X = \vert {+} \rangle\langle {+} \vert - \vert {-} \rangle\langle {-} \vert\\ Y = \vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert - \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert\\ Z = \vert {0} \rangle\langle {0} \vert - \vert {1} \rangle\langle {1} \vert \end{gathered}$$

Měření definovaná $X,$ $Y$ a $Z$ jako pozorovatelnými jsou tedy projektivní měření definovaná následujícími množinami projekcí.

$$\begin{gathered} \bigl\{\vert {+} \rangle\langle {+} \vert, \vert {-} \rangle\langle {-} \vert \bigr\} \\ \bigl\{\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert, \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert\bigr\} \\ \bigl\{\vert {0} \rangle\langle {0} \vert, \vert {1} \rangle\langle {1} \vert\bigr\} \end{gathered}$$

Ve všech třech případech jsou dva možné výsledky měření vlastní hodnoty $+1$ a $-1.$ Tato měření se běžně nazývají $X$-měření, $Y$-měření a $Z$-měření. S těmito měřeními jsme se setkali v lekci „Obecná měření" v kurzu „Obecná formulace kvantové informace", kde vznikla v kontextu kvantové stavové tomografie.

Samozřejmě $Z$-měření je v podstatě jen měření ve standardní bázi a $X$-měření je měření vzhledem k plus/minus bázi Qubitu — ale jak jsou tato měření zde popsána, bereme vlastní hodnoty $+1$ a $-1$ jako skutečné výsledky měření.

Stejný postup lze použít pro Pauliho operace na $n\geq 2$ Qubitech, i když je třeba zdůraznit, že stále budou jen dva možné výsledky měření popsaných tímto způsobem: $+1$ a $-1,$ což jsou jediné možné vlastní hodnoty Pauliho operací. Dvě odpovídající projekce budou mít v tomto případě hodnost vyšší než jedna. Přesněji, pro každou nejednotkovou $n$-Qubitovou Pauliho operaci se $2^n$-dimenzionální stavový prostor vždy rozloží na dva podprostory vlastních vektorů stejné dimenze, takže obě projekce definující příslušné měření budou mít hodnost $2^{n-1}.$

Měření popsané $n$-Qubitovou Pauliho operací uvažovanou jako pozorovatelná tedy není totéž co měření vzhledem k ortonormální bázi vlastních vektorů dané operace, ani to není totéž co nezávislé měření každé z odpovídajících Pauliho matic nezávisle jako pozorovatelných na $n$ Qubitech. Obě tyto alternativy by vyžadovaly $2^n$ možných výsledků měření, ale zde máme jen dva možné výsledky $+1$ a $-1.$

Uvažujme například 2-Qubitovou Pauliho operaci $Z\otimes Z$ jako pozorovatelnou. Můžeme efektivně provést tenzorový součin spektrálních rozkladů a získat rozklad pro tenzorový součin.

$$\begin{aligned} Z\otimes Z & = (\vert 0\rangle\langle 0\vert - \vert 1\rangle\langle 1\vert) \otimes (\vert 0\rangle\langle 0\vert - \vert 1\rangle\langle 1\vert)\\ & = \bigl( \vert 00\rangle\langle 00\vert + \vert 11\rangle\langle 11\vert \bigr) - \bigl( \vert 01\rangle\langle 01\vert + \vert 10\rangle\langle 10\vert \bigr) \end{aligned}$$

To znamená, že máme $Z\otimes Z = \Pi_0 - \Pi_1$ pro

$$\Pi_0 = \vert 00\rangle\langle 00\vert + \vert 11\rangle\langle 11\vert \quad\text{and}\quad \Pi_1 = \vert 01\rangle\langle 01\vert + \vert 10\rangle\langle 10\vert,$$

takže to jsou dvě projekce, které definují toto měření. Pokud bychom například nedestruktivně změřili Bellův stav $\vert\phi^+\rangle$ pomocí tohoto měření, s jistotou bychom získali výsledek $+1$ a stav by se v důsledku měření nezměnil. Konkrétně by stav nezkolaboval na $\vert 00\rangle$ nebo $\vert 11\rangle.$

Nedestruktivní implementace pomocí odhadu fáze

Pro jakoukoli $n$-Qubitovou Pauliho operaci můžeme provést měření přiřazené dané pozorovatelné nedestruktivně pomocí odhadu fáze.

Zde je Circuit založený na odhadu fáze, který funguje pro jakoukoli Pauliho matici $P,$ kde se měření provádí na horním Qubitu. Výsledky $0$ a $1$ měření ve standardní bázi v Circuitu odpovídají vlastním hodnotám $+1$ a $-1,$ stejně jako obvykle u odhadu fáze s jedním řídicím Qubitem. (Všimni si, že řídicí Qubit je v tomto diagramu dole, zatímco v lekci „Odhad fáze a faktorizace" v kurzu „Základy kvantových algoritmů" byly řídicí Qubity nakresleny nahoře.)

Podobná metoda funguje pro Pauliho operace na více Qubitech. Například následující diagram Circuitu ilustruje nedestruktivní měření 3-Qubitové Pauliho pozorovatelné $P_2\otimes P_1\otimes P_0,$ pro libovolnou volbu $P_0,P_1,P_2 \in \{X,Y,Z\}.$

Tento přístup se přirozeným způsobem zobecňuje na $n$-Qubitové Pauliho pozorovatelné pro libovolné $n.$ Samozřejmě potřebujeme zahrnout řízené unitární Gate pouze pro nejednotkové tenzorové faktory Pauliho pozorovatelných při implementaci takových měření; řízené jednotkové Gate jsou prostě jednotkové Gate, a proto je lze vynechat. To znamená, že Pauliho pozorovatelné s nižší váhou vyžadují k implementaci tímto přístupem menší Circuity.

Všimni si, že bez ohledu na $n$ mají tyto Circuity odhadu fáze jen jeden řídicí Qubit, což je konzistentní s tím, že pro tato měření existují jen dva možné výsledky. Použití více řídicích Qubitů by neodhalilo další informace, protože tato měření jsou již dokonalá s jedním řídicím Qubitem. (Jedním způsobem, jak to vidět, je přímo z obecného postupu odhadu fáze: předpoklad $U^2 = \mathbb{I}$ činí jakékoli další řídicí Qubity nad rámec prvního zbytečnými.)

Zde je konkrétní příklad nedestruktivní implementace měření $Z\otimes Z,$ která je relevantní pro popis 3-bitového opakovacího kódu jako stabilizátorového kódu, který brzy uvidíme.

V tomto případě, a obecně pro tenzorové součiny více než dvou $Z$ pozorovatelných, lze Circuit zjednodušit.

Toto měření je tedy ekvivalentní nedestruktivnímu měření parity (neboli XOR) stavů standardní báze dvou Qubitů.