Opakovací kód znovu

Dále se podíváme podruhé na 3-bitový opakovací kód, tentokrát vyjádřený pomocí Pauliho operací. Toto bude náš první příklad stabilizátorového kódu.

Pauliho pozorovatelné pro opakovací kód

Připomeň si, že když aplikujeme 3-bitový opakovací kód na Qubity, daný stavový vektor Qubitu $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ se zakóduje jako

$$\vert\psi\rangle = \alpha\vert 000\rangle + \beta\vert 111\rangle.$$

Jakýkoli stav $\vert\psi\rangle$ tohoto tvaru je platné 3-Qubitové zakódování stavu Qubitu — ale kdybychom měli stav, u kterého si nejsme jistí, mohli bychom ověřit platnost zakódování kontrolou následujících dvou rovnic.

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = \vert\psi\rangle\\[1mm] (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z) \vert\psi\rangle & = \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

První rovnice říká, že aplikace $Z$ operací na dva nejlevější Qubity $\vert\psi\rangle$ nemá žádný efekt, což znamená, že $\vert\psi\rangle$ je vlastní vektor $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ s vlastní hodnotou $1.$ Druhá rovnice je podobná, ale $Z$ operace se aplikují na dva nejpravější Qubity. Myšlenka je taková, že pokud uvažujeme $\vert\psi\rangle$ jako lineární kombinaci stavů standardní báze, pak první rovnice implikuje, že nenulové koeficienty mohou mít pouze stavy standardní báze, kde dva nejlevější bity mají sudou paritu (neboli jsou ekvivalentně rovny), a druhá rovnice implikuje, že nenulové koeficienty mohou mít pouze stavy standardní báze, kde dva nejpravější bity mají sudou paritu.

Ekvivalentně, pokud nahlížíme na dvě Pauliho operace $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ a $\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ jako pozorovatelné a obě změříme pomocí Circuitů navržených na konci předchozí sekce, s jistotou bychom získali výsledky měření odpovídající vlastním hodnotám $+1,$ protože $\vert\psi\rangle$ je vlastní vektor obou pozorovatelných s vlastní hodnotou $1.$ Zjednodušená verze (kombinovaného) Circuitu pro nezávislé měření obou pozorovatelných, zde zobrazená, není nic jiného než Circuit kontroly parity pro 3-bitový opakovací kód.

Dvě výše uvedené rovnice tedy implikují, že Circuit kontroly parity vydá $00,$ což je syndrom indikující, že nebyly detekovány žádné chyby.

3-Qubitové Pauliho operace $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ a $\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ se nazývají generátory stabilizátoru pro tento kód a stabilizátor kódu je množina generovaná generátory stabilizátoru.

$$\langle Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}, \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z\rangle = \{ \mathbb{I}\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}, Z\otimes Z\otimes\mathbb{I}, Z\otimes\mathbb{I}\otimes Z, \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z \}$$

Stabilizátor je fundamentálně důležitý matematický objekt přiřazený tomuto kódu a jeho role bude probrána v průběhu lekce. Prozatím si všimni, že jsme mohli zvolit jiné generátory a odpovídající kontroly parity, konkrétně vzít $Z\otimes\mathbb{I}\otimes Z$ místo jednoho z generátorů, které jsme vybrali, ale stabilizátor a samotný kód by zůstaly nezměněny.

Detekce chyb

Dále se budeme zabývat detekcí převrácení bitu pro 3-bitový opakovací kód se zaměřením na interakce a vztahy mezi zapojenými Pauliho operacemi: generátory stabilizátoru a samotnými chybami.

Předpokládejme, že jsme zakódovali Qubit pomocí 3-bitového opakovacího kódu a na nejlevějším Qubitu došlo k chybě převrácení bitu. To způsobí, že stav $\vert\psi\rangle$ se transformuje podle působení $X$ operace (nebo $X$ chyby).

$$\vert\psi\rangle \mapsto (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle$$

Tuto chybu lze detekovat provedením kontrol parity pro 3-bitový opakovací kód, jak bylo diskutováno v předchozí lekci, což je ekvivalentní nedestruktivnímu měření generátorů stabilizátoru $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ a $\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ jako pozorovatelných.

Začněme prvním generátorem stabilizátoru. Stav $\vert\psi\rangle$ byl ovlivněn $X$ chybou na nejlevějším Qubitu a naším cílem je pochopit, jak je měření tohoto generátoru stabilizátoru jako pozorovatelné ovlivněno touto chybou. Protože $X$ a $Z$ antikomutují, zatímco každá matice komutuje s jednotkovou maticí, plyne, že $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ antikomutuje s $X\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}.$ Mezitím, protože $\vert\psi\rangle$ je platné zakódování Qubitu, $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ působí na $\vert\psi\rangle$ triviálně.

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})\vert\psi\rangle \\ & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

Proto $(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle$ je vlastní vektor $Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}$ s vlastní hodnotou $-1.$ Když se měření přiřazené pozorovatelné $Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}$ provede na stavu $(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle,$ výsledek je s jistotou ten, který je přiřazen vlastní hodnotě $-1.$

Podobné úvahy lze aplikovat na druhý generátor stabilizátoru, ale tentokrát chyba komutuje s generátorem stabilizátoru místo toho, aby antikomutovala, a tak výsledek tohoto měření je ten, který je přiřazen vlastní hodnotě $+1.$

$$\begin{aligned} (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)\vert\psi\rangle\\ & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

Z těchto rovnic vyplývá, že bez ohledu na náš původní stav $\vert\psi\rangle$ je poškozený stav vlastním vektorem obou generátorů stabilizátoru a to, zda je vlastní hodnota $+1$ nebo $-1,$ je určeno tím, zda chyba komutuje nebo antikomutuje s každým generátorem stabilizátoru. Pro chyby reprezentované Pauliho operacemi to bude vždy jedno nebo druhé, protože jakékoli dvě Pauliho operace buď komutují, nebo antikomutují. Mezitím skutečný stav $\vert\psi\rangle$ nehraje důležitou roli, až na to, že generátory stabilizátoru na tento stav působí triviálně.

Z tohoto důvodu se obecně nemusíme zabývat konkrétním zakódovaným stavem, se kterým pracujeme. Vše, na čem záleží, je, zda chyba komutuje nebo antikomutuje s každým generátorem stabilizátoru. Konkrétně to jsou relevantní rovnice s ohledem na tuto konkrétní chybu pro tento kód.

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})\\[1mm] (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z) \end{aligned}$$

Zde je tabulka s jedním řádkem pro každý generátor stabilizátoru a jedním sloupcem pro každou chybu. Záznam v tabulce je buď $+1,$ nebo $-1$ v závislosti na tom, zda chyba a generátor stabilizátoru komutují nebo antikomutují. Tabulka obsahuje sloupce pouze pro chyby odpovídající jednomu převrácení bitu a také pro žádnou chybu, která je popsána jednotkovou maticí ztenzorovanou třikrát se sebou. Mohli bychom přidat více sloupců pro další chyby, ale prozatím se zaměříme jen na tyto chyby.

$$\begin{array}{c|cccc} & \mathbb{I}\otimes\mathbb{I} \otimes\mathbb{I} & X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} & \mathbb{I}\otimes X\otimes\mathbb{I} & \mathbb{I} \otimes\mathbb{I} \otimes X \\ \hline Z\otimes Z\otimes\mathbb{I} & +1 & -1 & -1 & +1 \\ \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z & +1 & +1 & -1 & -1 \end{array}$$

Pro každou chybu v tabulce odpovídající sloupec tedy odhaluje, jak tato chyba transformuje jakékoli dané zakódování na $+1$ nebo $-1$ vlastní vektor každého generátoru stabilizátoru. Ekvivalentně sloupce popisují syndrom, který bychom získali z kontrol parity, které jsou ekvivalentní nedestruktivním měřením generátorů stabilizátoru jako pozorovatelných. Samozřejmě tabulka má záznamy $+1$ a $-1$ místo $0$ a $1$ — a je běžné uvažovat syndrom jako binární řetězec spíše než sloupec záznamů $+1$ a $-1$ — ale můžeme stejně dobře uvažovat tyto vektory se záznamy $+1$ a $-1$ jako syndromy, abychom je přímo propojili s vlastními hodnotami generátorů stabilizátoru. Obecně nám syndromy říkají něco o tom, jaká chyba nastala, a pokud víme, že nastala jedna ze čtyř možných chyb uvedených v tabulce, syndrom nám říká, která to byla.

Syndromy

Zakódování pro 3-bitový opakovací kód jsou 3-Qubitové stavy, takže jsou to jednotkové vektory v 8-dimenzionálním komplexním vektorovém prostoru. Čtyři možné syndromy efektivně rozdělují tento 8-dimenzionální prostor na čtyři 2-dimenzionální podprostory, kde kvantové stavové vektory v každém podprostoru vždy vedou ke stejnému syndromu. Následující diagram konkrétně ilustruje, jak je 8-dimenzionální prostor rozdělen dvěma generátory stabilizátoru.

Každý generátor stabilizátoru rozděluje prostor na dva podprostory stejné dimenze, konkrétně prostor $+1$ vlastních vektorů a prostor $-1$ vlastních vektorů pro danou pozorovatelnou. Například $+1$ vlastní vektory $Z\otimes Z\otimes\mathbb{I}$ jsou lineární kombinace stavů standardní báze, u nichž mají dva nejlevější bity sudou paritu, a $-1$ vlastní vektory jsou lineární kombinace stavů standardní báze, u nichž mají dva nejlevější bity lichou paritu. Situace je podobná pro druhý generátor stabilizátoru, ale u tohoto se jedná o dva nejpravější bity místo dvou nejlevějších bitů.

Čtyři 2-dimenzionální podprostory odpovídající čtyřem možným syndromům se v tomto případě snadno popíší, protože jde o velmi jednoduchý kód. Konkrétně podprostor odpovídající syndromu $(+1,+1)$ je prostor generovaný $\vert 000\rangle$ a $\vert 111\rangle$, což je prostor platných zakódování (známý také jako kódový prostor), a obecně jsou prostory generovány standardní bází zobrazenou v odpovídajících čtvercích.

Syndromy také rozdělují všechny 3-Qubitové Pauliho operace do 4 stejně velkých kolekcí v závislosti na tom, jaký syndrom by daná operace (jako chyba) způsobila. Například jakákoli Pauliho operace, která komutuje s oběma generátory stabilizátoru, vede k syndromu $(+1,+1),$ a z 64 možných 3-Qubitových Pauliho operací jich je v této kategorii přesně 16 (včetně $\mathbb{I}\otimes \mathbb{I}\otimes Z,$ $Z\otimes Z\otimes Z$ a $X\otimes X\otimes X$), a stejně tak pro ostatní 3 syndromy.

Obě tyto vlastnosti — že syndromy rozdělují jak stavový prostor, ve kterém žijí zakódování, tak všechny Pauliho operace na tomto prostoru do stejně velkých kolekcí — platí obecně pro stabilizátorové kódy, které přesně definujeme v další sekci.

Ačkoli je to v tuto chvíli spíše poznámka stranou, stojí za zmínku, že Pauliho operace, které komutují s oběma generátory stabilizátoru, neboli ekvivalentně Pauliho operace vedoucí k syndromu $(+1,+1),$ ale samy nejsou úměrné prvkům stabilizátoru, se chovají stejně jako jedno-Qubitové Pauliho operace na zakódovaném Qubitu (tedy na logickém Qubitu) pro tento kód. Například $X\otimes X \otimes X$ komutuje s oběma generátory stabilizátoru, ale sám není úměrný žádnému prvku stabilizátoru, a efekt této operace na zakódování je skutečně ekvivalentní $X$ Gate na logickém Qubitu, který je kódován.

$$(X\otimes X \otimes X)(\alpha \vert 000\rangle + \beta \vert 111\rangle) = \alpha \vert 111\rangle + \beta \vert 000\rangle$$

Opět jde o jev, který se zobecňuje na všechny stabilizátorové kódy.