Fidelita

V této části lekce se budeme zabývat fidelitou (věrností) mezi kvantovými stavy, což je míra jejich podobnosti — neboli toho, jak moc se „překrývají".

Pokud máme dva kvantové stavové vektory, fidelita mezi čistými stavy přiřazenými těmto stavovým vektorům se rovná absolutní hodnotě skalárního součinu těchto vektorů. To poskytuje základní způsob měření jejich podobnosti: výsledkem je hodnota mezi $0$ a $1,$ přičemž vyšší hodnoty znamenají větší podobnost. Konkrétně je hodnota nulová pro ortogonální stavy (z definice), zatímco hodnota $1$ odpovídá stavům ekvivalentním až na globální fázi.

Intuitivně lze fidelitu chápat jako rozšíření této základní míry podobnosti z kvantových stavových vektorů na matice hustoty.

Definice fidelity

Je vhodné začít definicí fidelity. Na první pohled může následující definice vypadat neobvykle nebo záhadně a možná nepříliš snadno použitelně. Funkce, kterou definuje, má však mnoho zajímavých vlastností a několik alternativních formulací, díky čemuž se s ní pracuje mnohem lépe, než by se na začátku mohlo zdát.

Definice

Nechť $\rho$ a $\sigma$ jsou matice hustoty reprezentující kvantové stavy téhož systému. Fidelita mezi $\rho$ a $\sigma$ je definována jako

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}.$$

Poznámka

Ačkoli je toto běžná definice, je rovněž obvyklé definovat fidelitu jako druhou mocninu zde definované veličiny, která se pak označuje jako odmocnina fidelity (root-fidelity). Ani jedna definice není správná ani špatná — jde v podstatě o věc preference. Přesto je vždy nutné dávat pozor a ujistit se, která definice se používá.

Abychom dali smysl vzorci v definici, všimni si nejprve, že $\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}$ je pozitivně semidefinitní matice:

$$\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho} = M^{\dagger} M$$

pro $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}.$ Stejně jako všechny pozitivně semidefinitní matice má i tato matice jednoznačnou pozitivně semidefinitní odmocninu, jejíž stopa je právě fidelita.

Pro každou čtvercovou matici $M$ jsou vlastní čísla dvou pozitivně semidefinitních matic $M^{\dagger} M$ a $M M^{\dagger}$ vždy stejná, a totéž tedy platí i pro odmocniny těchto matic. Zvolíme-li $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$ a využijeme-li faktu, že stopa čtvercové matice je součtem jejích vlastních čísel, dostaneme

$$\begin{aligned} \operatorname{F}(\rho,\sigma) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M} = \operatorname{Tr}\sqrt{M M^{\dagger}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\sigma} \rho \sqrt{\sigma}}\\ & = \operatorname{F}(\sigma,\rho). \end{aligned}$$

Takže ačkoli to z definice není okamžitě zřejmé, fidelita je ve svých dvou argumentech symetrická.

Fidelita vyjádřená pomocí stopové normy

Ekvivalentní způsob, jak vyjádřit fidelitu, je tento vzorec:

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \bigl\|\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\bigr\|_1.$$

Zde vidíme stopovou normu, se kterou jsme se setkali v předchozí lekci v kontextu rozlišování stavů. Stopová norma (ne nutně čtvercové) matice $M$ může být definována jako

$$\| M \|_1 = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M},$$

a aplikací této definice na matici $\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$ získáme vzorec z definice.

Alternativní způsob, jak vyjádřit stopovou normu (čtvercové) matice $M$, je pomocí tohoto vzorce.

$$\| M \|_1 = \max_{U\:\text{unitary}} \bigl\vert \operatorname{Tr}(M U) \bigr\vert.$$

Zde se maximum bere přes všechny unitární matice $U$ se stejným počtem řádků a sloupců jako $M.$ Aplikací tohoto vzorce na náš případ získáme další vyjádření fidelity.

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max_{U\:\text{unitary}} \bigl\vert\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\, U\bigr) \bigr\vert$$

Fidelita pro čisté stavy

Poslední poznámka k definici fidelity je, že každý čistý stav je (jako matice hustoty) roven své vlastní odmocnině, což umožňuje vzorec pro fidelitu výrazně zjednodušit, pokud je jeden nebo oba stavy čisté. Konkrétně, pokud je jeden ze dvou stavů čistý, máme následující vzorec.

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \sigma \bigr) = \sqrt{\langle \phi\vert \sigma \vert \phi \rangle}$$

Pokud jsou oba stavy čisté, vzorec se zjednoduší na absolutní hodnotu skalárního součinu odpovídajících kvantových stavových vektorů, jak bylo zmíněno na začátku této části.

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigr) = \bigl\vert \langle \phi\vert \psi \rangle \bigr\vert$$

Základní vlastnosti fidelity

Fidelita má mnoho pozoruhodných vlastností a několik alternativních formulací. Zde je jen několik základních vlastností uvedených bez důkazů.

1. Pro libovolné dvě matice hustoty $\rho$ a $\sigma$ stejné velikosti leží fidelita $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$ mezi nulou a jedničkou: $0\leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq 1.$ Přitom $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=0$ právě tehdy, když $\rho$ a $\sigma$ mají ortogonální obrazy (takže je lze rozlišit bez chyby), a $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=1$ právě tehdy, když $\rho = \sigma.$
2. Fidelita je multiplikativní, což znamená, že fidelita mezi dvěma produktovými stavy se rovná součinu jednotlivých fidelit: $$\operatorname{F}(\rho_1\otimes\cdots\otimes\rho_m,\sigma_1\otimes\cdots\otimes\sigma_m) = \operatorname{F}(\rho_1,\sigma_1)\cdots \operatorname{F}(\rho_m,\sigma_m).$$
3. Fidelita mezi stavy je neklesající pod působením libovolného kanálu. To znamená, že pokud $\rho$ a $\sigma$ jsou matice hustoty a $\Phi$ je kanál, který může tyto dva stavy přijmout jako vstup, pak nutně platí $$\operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \operatorname{F}(\Phi(\rho),\Phi(\sigma)).$$
4. Fuchsovy-van de Graafovy nerovnosti stanovují těsný (i když ne přesný) vztah mezi fidelitou a stopovou vzdáleností: pro libovolné dva stavy $\rho$ a $\sigma$ platí $$1 - \frac{1}{2}\|\rho - \sigma\|_1 \leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \sqrt{1 - \frac{1}{4}\|\rho - \sigma\|_1^2}.$$

Poslední vlastnost lze vyjádřit pomocí obrázku:

Konkrétně, pro libovolnou volbu stavů $\rho$ a $\sigma$ téhož systému se vodorovná přímka protínající osu $y$ v bodě $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$ a svislá přímka protínající osu $x$ v bodě $\frac{1}{2}\|\rho-\sigma\|_1$ musí protnout uvnitř šedé oblasti ohraničené zdola přímkou $y = 1-x$ a shora jednotkovou kružnicí. Nejzajímavější oblastí tohoto obrázku z praktického hlediska je levý horní roh šedé oblasti: pokud je fidelita mezi dvěma stavy blízká jedné, pak je jejich stopová vzdálenost blízká nule, a naopak.

Lemma o šetrném měření

Dále se podíváme na jednoduchý, ale důležitý fakt známý jako lemma o šetrném měření (gentle measurement lemma), které spojuje fidelitu s nedestruktivními měřeními. Je to velmi užitečné lemma, které se čas od času objevuje, a je také pozoruhodné tím, že zdánlivě těžkopádná definice fidelity ve skutečnosti činí důkaz tohoto lemmatu velmi snadným.

Situace je následující. Nechť $\mathsf{X}$ je systém ve stavu $\rho$ a nechť $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ je soubor pozitivně semidefinitních matic reprezentujících obecné měření systému $\mathsf{X}.$ Předpokládejme dále, že pokud se toto měření provede na systému $\mathsf{X}$ ve stavu $\rho,$ jeden z výsledků je vysoce pravděpodobný. Konkrétně předpokládejme, že pravděpodobný výsledek měření je $0,$ a specificky předpokládejme, že

$$\operatorname{Tr}(P_0 \rho) > 1 - \varepsilon$$

pro malé kladné reálné číslo $\varepsilon > 0.$

Lemma o šetrném měření říká, že za těchto předpokladů nedestruktivní měření získané z $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ pomocí Naimarkovy věty způsobí pouze malé narušení stavu $\rho$ v případě, že je pozorován pravděpodobný výsledek měření $0.$

Přesněji řečeno, lemma tvrdí, že druhá mocnina fidelity mezi $\rho$ a stavem, který získáme z nedestruktivního měření podmíněného výsledkem $0,$ je větší než $1-\varepsilon.$

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 > 1-\varepsilon.$$

K důkazu budeme potřebovat základní fakt o měřeních. Matice měření $P_0, \ldots, P_{m-1}$ jsou pozitivně semidefinitní a jejich součet je jednotková matice, z čehož můžeme usoudit, že všechna vlastní čísla $P_0$ jsou reálná čísla mezi $0$ a $1.$To vyplývá z faktu, že pro jakýkoli jednotkový vektor $\vert\psi\rangle$ je hodnota $\langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle$ nezáporné reálné číslo pro každé $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ (protože každé $P_a$ je pozitivně semidefinitní), a zároveň tato čísla dávají v součtu jedničku.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} \langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \mathbb{I} \vert \psi \rangle = 1.$$

Proto je $\langle \psi \vert P_0 \vert \psi \rangle$ vždy reálné číslo mezi $0$ a $1,$ a to znamená, že každá vlastní hodnota $P_0$ je reálné číslo mezi $0$ a $1,$ protože si můžeme zvolit $\vert\psi\rangle$ konkrétně jako jednotkový vlastní vektor příslušný libovolné vlastní hodnotě, která nás zajímá.

Z tohoto pozorování můžeme odvodit následující nerovnost pro každou matici hustoty $\rho.$

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) \geq \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

Podrobněji, vycházejíce ze spektrálního rozkladu

$$P_0 = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert$$

odvodíme, že

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle \geq \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

z faktu, že $\langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle$ je nezáporné reálné číslo a $\sqrt{\lambda_k} \geq \lambda_k$ pro každé $k = 0,\ldots,n-1.$ (Umocnění čísel mezi $0$ a $1$ na druhou je nikdy nemůže zvětšit.)

Nyní můžeme dokázat lemma o šetrném měření vyhodnocením fidelity a následným použitím naší nerovnosti. Nejprve si zjednodušíme výraz, který nás zajímá.

$$\begin{aligned} \operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)^2}\\ & = \operatorname{Tr}\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)\\ & = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \end{aligned}$$

Všimni si, že toto jsou samé rovnosti — dosud jsme nepoužili naši nerovnost (ani žádnou jinou nerovnost), takže máme přesný výraz pro fidelity. Nyní můžeme použít naši nerovnost a odvodit

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \geq \frac{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} = \sqrt{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}$$

a proto umocněním obou stran

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 \geq \operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr) > 1-\varepsilon.$$

Uhlmannova věta

Na závěr lekce se podíváme na Uhlmannovu větu, což je fundamentální fakt o fidelity, který ji spojuje s pojmem purifikace. Věta říká, zjednodušeně řečeno, že fidelity mezi libovolnými dvěma kvantovými stavy se rovná maximálnímu skalárnímu součinu (v absolutní hodnotě) mezi dvěma purifikacemi těchto stavů.

Věta

Uhlmannova věta: Nechť $\rho$ a $\sigma$ jsou matice hustoty reprezentující stavy systému $\mathsf{X}$ a nechť $\mathsf{Y}$ je systém mající alespoň tolik klasických stavů jako $\mathsf{X}.$ Fidelity mezi $\rho$ a $\sigma$ je dána vztahem

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max\bigl\{ \vert \langle \phi \vert \psi \rangle \vert \,:\, \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \rho,\; \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sigma\bigr\},$$

kde maximum se bere přes všechny kvantové stavové vektory $\vert\phi\rangle$ a $\vert\psi\rangle$ systému $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Tuto větu můžeme dokázat pomocí unitární ekvivalence purifikací — ale není to úplně přímočaré a cestou využijeme jeden trik.

Nejprve uvažujme spektrální rozklady dvou matic hustoty $\rho$ a $\sigma.$

$$\begin{aligned} \rho & = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert u_a\rangle\langle u_a\vert \\[2mm] \sigma & = \sum_{b = 0}^{n-1} q_b \vert v_b\rangle\langle v_b\vert \end{aligned}$$

Dvě kolekce $\{\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle\}$ a $\{\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle\}$ jsou ortonormální báze vlastních vektorů $\rho$ a $\sigma,$ v tomto pořadí, a $p_0,\ldots,p_{n-1}$ a $q_0,\ldots,q_{n-1}$ jsou příslušné vlastní hodnoty.

Dále definujeme $\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle$ a $\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle$ jako vektory získané komplexním sdružením každé složky vektorů $\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle$ a $\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle.$ To znamená, že pro libovolný vektor $\vert w\rangle$ můžeme definovat $\vert\overline{w}\rangle$ pomocí následující rovnice pro každé $c\in\{0,\ldots,n-1\}.$

$$\langle c \vert \overline{w}\rangle = \overline{\langle c \vert w\rangle}$$

Všimni si, že pro libovolné dva vektory $\vert u\rangle$ a $\vert v\rangle$ platí $\langle \overline{u} \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert u\rangle.$ Obecněji, pro libovolnou čtvercovou matici $M$ máme následující vzorec.

$$\langle \overline{u} \vert M \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert M^T \vert u\rangle$$

Z toho vyplývá, že $\vert u\rangle$ a $\vert v\rangle$ jsou ortogonální právě tehdy, když $\vert \overline{u}\rangle$ a $\vert \overline{v}\rangle$ jsou ortogonální, a proto $\{\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle\}$ a $\{\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle\}$ jsou obě ortonormální báze.

Nyní uvažujme následující dva vektory $\vert\phi\rangle$ a $\vert\psi\rangle,$ které jsou purifikacemi $\rho$ a $\sigma,$ v tomto pořadí.

$$\begin{aligned} \vert\phi\rangle & = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a}\, \vert u_a\rangle \otimes \vert \overline{u_a}\rangle \\[2mm] \vert\psi\rangle & = \sum_{b = 0}^{n-1} \sqrt{q_b}\, \vert v_b\rangle \otimes \vert \overline{v_b}\rangle \end{aligned}$$

Toto je dříve zmíněný trik. V tuto chvíli nic explicitně nenaznačuje, že je dobrý nápad zvolit právě tyto purifikace $\rho$ a $\sigma,$ ale jsou to platné purifikace a komplexní sdružení umožní algebře fungovat tak, jak potřebujeme.

Díky unitární ekvivalenci purifikací víme, že každá purifikace $\rho$ pro dvojici systémů $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ musí mít tvar $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes U)\vert\phi\rangle$ pro nějakou unitární matici $U,$ a stejně tak každá purifikace $\sigma$ pro dvojici $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ musí mít tvar $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes V)\vert\psi\rangle$ pro nějakou unitární matici $V.$ Skalární součin dvou takových purifikací lze zjednodušit následovně.

$$\begin{aligned} \langle \phi \vert (\mathbb{I}\otimes U^{\dagger}) (\mathbb{I}\otimes V) \vert \psi \rangle \hspace{-2.5cm}\\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle \overline{u_a} \vert U^{\dagger} V \vert \overline{v_b} \rangle \\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T \vert u_a \rangle \\ & = \operatorname{Tr}\Biggl( \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \vert u_a \rangle\langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T\Biggr)\\ & = \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr) \end{aligned}$$

Když $U$ a $V$ probíhají všechny možné unitární matice, matice $(U^{\dagger} V)^T$ rovněž probíhá všechny možné unitární matice. Maximalizací absolutní hodnoty skalárního součinu dvou purifikací $\rho$ a $\sigma$ tak dostáváme následující rovnici.

$$\begin{aligned} \max_{U,V\:\text{unitary}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr)\biggr\vert & = \max_{W\:\text{unitary}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, W\Bigr)\biggr\vert\\[2mm] & = \bigl\| \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma} \bigr\|_1\\[2mm] & = \operatorname{F}(\rho,\sigma) \end{aligned}$$

Průzkum po kurzu

Gratulujeme k dokončení tohoto kurzu! Věnuj prosím chvíli času a pomoz nám kurz vylepšit vyplněním následujícího krátkého průzkumu. Tvá zpětná vazba bude použita ke zlepšení naší nabídky obsahu a uživatelského zážitku. Děkujeme!

Note: This survey is provided by IBM Quantum and relates to the original English content. To give feedback on doQumentation's website, translations, or code execution, please open a GitHub issue.