Purifikace

Definice purifikací

Začněme přesnou matematickou definicí purifikací.

Definice

Předpokládejme, že $\mathsf{X}$ je systém ve stavu reprezentovaném maticí hustoty $\rho,$ a $\vert\psi\rangle$ je kvantový stavový vektor páru $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ který po vytrasování $\mathsf{Y}$ dá $\rho$:

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl( \vert \psi\rangle\langle\psi\vert\bigr).$$

Stavový vektor $\vert\psi\rangle$ se pak nazývá purifikace $\rho.$

Čistý stav $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert,$ vyjádřený jako matice hustoty místo kvantového stavového vektoru, se také běžně označuje jako purifikace $\rho,$ pokud je rovnice v definici splněna, ale my budeme tento termín obecně používat pro kvantový stavový vektor.

Termín purifikace se používá i obecněji, když je pořadí systémů obrácené, když se názvy systémů a stavů liší (samozřejmě) a když existuje více než dva systémy. Například pokud $\vert \psi \rangle$ je kvantový stavový vektor reprezentující čistý stav složeného systému $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C}),$ a rovnice

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr)$$

platí pro matici hustoty $\rho$ reprezentující stav systému $(\mathsf{A},\mathsf{C}),$ pak se $\vert\psi\rangle$ stále označuje jako purifikace $\rho.$

Pro účely této lekce se však zaměříme na konkrétní formu popsanou v definici. Vlastnosti a fakta týkající se purifikací podle této definice lze typicky zobecnit na více než dva systémy přeuspořádáním a rozdělením systémů na dva složené systémy, kde jeden hraje roli $\mathsf{X}$ a druhý roli $\mathsf{Y}.$

Existence purifikací

Předpokládejme, že $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y}$ jsou libovolné dva systémy a $\rho$ je daný stav $\mathsf{X}.$ Dokážeme, že existuje kvantový stavový vektor $\vert\psi\rangle$ systému $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ který purifikuje $\rho$ — což je jiný způsob, jak říci, že $\vert\psi\rangle$ je purifikace $\rho$ — za předpokladu, že systém $\mathsf{Y}$ je dostatečně velký. Konkrétně, pokud má $\mathsf{Y}$ alespoň tolik klasických stavů jako $\mathsf{X},$ pak purifikace této formy nutně existuje pro každý stav $\rho.$ Pro některé stavy $\rho$ je potřeba méně klasických stavů $\mathsf{Y};$ obecně je $\operatorname{rank}(\rho)$ klasických stavů $\mathsf{Y}$ nutných a postačujících pro existenci kvantového stavového vektoru systému $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ který purifikuje $\rho.$

Uvažujme nejprve libovolné vyjádření $\rho$ jako konvexní kombinace $n$ čistých stavů, pro libovolné kladné celé číslo $n.$

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert$$

V tomto vyjádření je $(p_0,\ldots,p_{n-1})$ pravděpodobnostní vektor a $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ jsou kvantové stavové vektory $\mathsf{X}.$

Jeden způsob, jak takové vyjádření získat, je pomocí spektrálního teorému, přičemž v tom případě je $n$ počet klasických stavů $\mathsf{X},$ $p_0,\ldots,p_{n-1}$ jsou vlastní čísla $\rho$ a $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ jsou ortonormální vlastní vektory odpovídající těmto vlastním číslům.

Ve skutečnosti není třeba do součtu zahrnovat členy odpovídající nulovým vlastním číslům $\rho,$ což nám umožňuje alternativně zvolit $n = \operatorname{rank}(\rho)$ a $p_0,\ldots,p_{n-1}$ jako nenulová vlastní čísla $\rho.$ To je minimální hodnota $n,$ pro kterou existuje vyjádření $\rho$ ve výše uvedené formě.

Pro upřesnění, není nutné, aby zvolené vyjádření $\rho$ jako konvexní kombinace čistých stavů pocházelo ze spektrálního teorému — je to jen jeden způsob, jak takové vyjádření získat. Konkrétně $n$ může být libovolné kladné celé číslo, jednotkové vektory $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ nemusí být ortogonální a pravděpodobnosti $p_0,\ldots,p_{n-1}$ nemusí být vlastními čísly $\rho.$

Nyní můžeme identifikovat purifikaci $\rho$ následovně.

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \, \vert\phi_a\rangle \otimes \vert a \rangle$$

Zde předpokládáme, že klasické stavy $\mathsf{Y}$ zahrnují $0,\ldots,n-1.$ Pokud tomu tak není, lze za $0,\ldots,n-1$ dosadit libovolnou volbu $n$ různých klasických stavů $\mathsf{Y}.$ Ověření, že se skutečně jedná o purifikaci $\rho,$ je jednoduchá záležitost výpočtu parciální stopy, který lze provést následujícími dvěma ekvivalentními způsoby.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sum_{a = 0}^{n-1} (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes \langle a\vert) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes \vert a\rangle) = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert = \rho$$ $$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{p_b} \, \vert\phi_a\rangle\langle \phi_b\vert \, \operatorname{Tr}(\vert a \rangle \langle b \vert) = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \, \vert\phi_a\rangle\langle \phi_a\vert = \rho$$

Obecněji, pro libovolnou ortonormální množinu vektorů $\{\vert\gamma_0\rangle,\ldots,\vert\gamma_{n-1}\rangle\},$ je kvantový stavový vektor

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \, \vert\phi_a\rangle \otimes \vert \gamma_a \rangle$$

purifikací $\rho.$

Příklad

Předpokládejme, že $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y}$ jsou oba qubity a

$$\rho = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$$

je matice hustoty reprezentující stav $\mathsf{X}.$

Pomocí spektrálního teorému můžeme $\rho$ vyjádřit jako

$$\rho = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8}\rangle\langle\psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8}\rangle\langle\psi_{5\pi/8}\vert,$$

kde $\vert \psi_{\theta} \rangle = \cos(\theta) \vert 0\rangle + \sin(\theta)\vert 1\rangle.$ Kvantový stavový vektor

$$\cos(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8}\rangle \otimes \vert 0\rangle + \sin(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8}\rangle \otimes \vert 1\rangle$$

který popisuje čistý stav páru $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ je tedy purifikací $\rho.$

Alternativně můžeme napsat

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert.$$

Toto je konvexní kombinace čistých stavů, ale ne spektrální rozklad, protože $\vert 0\rangle$ a $\vert +\rangle$ nejsou ortogonální a $1/2$ není vlastním číslem $\rho.$ Nicméně kvantový stavový vektor

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \otimes \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert + \rangle \otimes \vert 1\rangle$$

je purifikací $\rho.$

Schmidtovy rozklady

Dále budeme diskutovat o Schmidtových rozkladech, což jsou vyjádření kvantových stavových vektorů dvojic systémů, která mají určitý tvar. Schmidtovy rozklady jsou úzce spojeny s purifikacemi a jsou velmi užitečné samy o sobě. Při úvahách o daném kvantovém stavovém vektoru $\vert\psi\rangle$ dvojice systémů je prvním krokem často identifikovat nebo zvážit Schmidtův rozklad tohoto stavu.

Definice

Nechť $\vert \psi\rangle$ je daný kvantový stavový vektor dvojice systémů $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Schmidtův rozklad vektoru $\vert\psi\rangle$ je vyjádření tvaru

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a}\, \vert x_a\rangle \otimes \vert y_a \rangle,$$

kde $p_0,\ldots,p_{r-1}$ jsou kladná reálná čísla s jednotkovým součtem a obě množiny $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ a $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ jsou ortonormální.

Hodnoty

$$\sqrt{p_0},\ldots,\sqrt{p_{r-1}}$$

ve Schmidtově rozkladu $\vert\psi\rangle$ jsou známé jako jeho Schmidtovy koeficienty, které jsou jednoznačně určeny (až na jejich pořadí) — jsou to jediná kladná reálná čísla, která se mohou v takovém vyjádření $\vert\psi\rangle$ objevit. Množiny

$$\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\} \quad\text{and}\quad \{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\},$$

na druhou stranu nejsou jednoznačně určeny a volnost při výběru těchto množin vektorů bude objasněna v následujícím výkladu.

Nyní ověříme, že daný kvantový stavový vektor $\vert\psi\rangle$ skutečně má Schmidtův rozklad, a v průběhu se naučíme, jak ho najít.

Nejprve uvažuj libovolnou (ne nutně ortogonální) bázi $\{\vert x_0\rangle, \ldots, \vert x_{n-1}\rangle\}$ vektorového prostoru odpovídajícího systému $\mathsf{X}.$ Protože jde o bázi, bude vždy existovat jednoznačně určený výběr vektorů $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$, pro které platí následující rovnice.

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \vert x_a\rangle \otimes \vert z_a \rangle \tag{1}$$

Předpokládejme například, že $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ je standardní báze asociovaná s $\mathsf{X}.$ Za předpokladu, že množina klasických stavů $\mathsf{X}$ je $\{0,\ldots,n-1\},$ to znamená, že $\vert x_a\rangle = \vert a\rangle$ pro každé $a\in\{0,\ldots,n-1\},$ a zjistíme, že

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \vert a\rangle \otimes \vert z_a\rangle$$

když

$$\vert z_a \rangle = ( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle$$

pro každé $a\in\{0,\ldots,n-1\}.$ Takové výrazy často zvažujeme při úvahách o měření ve standardní bázi systému $\mathsf{X}.$

Je důležité si uvědomit, že vzorec

$$\vert z_a \rangle = ( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle$$

pro vektory $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ v tomto příkladu funguje pouze proto, že $\{\vert 0\rangle,\ldots,\vert n-1\rangle\}$ je ortonormální báze. Obecně, pokud $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ je báze, která není nutně ortonormální, vektory $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ jsou stále jednoznačně určeny rovnicí $(1),$ ale je potřeba jiný vzorec. Jeden způsob, jak je najít, je nejprve identifikovat vektory $\vert w_0\rangle,\ldots,\vert w_{n-1}\rangle$ tak, aby rovnice

$$\langle w_a \vert x_b \rangle = \begin{cases} 1 & a=b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

byla splněna pro všechna $a,b\in\{0,\ldots,n-1\},$ a pak máme

$$\vert z_a \rangle = (\langle w_a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle.$$

Pro danou bázi $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ vektorového prostoru odpovídajícího $\mathsf{X}$ nemusí jednoznačně určené vektory $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$, pro které je rovnice $(1)$ splněna, nutně splňovat žádné speciální vlastnosti, ani když $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ je ortonormální báze. Pokud však zvolíme $\{\vert x_0\rangle, \ldots, \vert x_{n-1}\rangle\}$ jako ortonormální bázi vlastních vektorů redukovaného stavu

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl( \vert \psi\rangle \langle \psi \vert \bigr),$$

stane se něco zajímavého. Konkrétně, pro jednoznačně určenou kolekci $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$, pro kterou je rovnice $(1)$ pravdivá, zjistíme, že tato kolekce musí být ortogonální.

Podrobněji, uvažuj spektrální rozklad $\rho.$

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert x_a \rangle \langle x_a \vert$$

Zde označujeme vlastní čísla $\rho$ jako $p_0,\ldots,p_{n-1}$ s ohledem na skutečnost, že $\rho$ je matice hustoty — takže vektor vlastních čísel $(p_0,\ldots,p_{n-1})$ tvoří pravděpodobnostní vektor — zatímco $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ je ortonormální báze vlastních vektorů odpovídajících těmto vlastním číslům. Abychom ověřili, že jednoznačná kolekce $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$, pro kterou je rovnice $(1)$ pravdivá, je nutně ortogonální, můžeme začít výpočtem parciální stopy.

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert x_a\rangle\langle x_b\vert \operatorname{Tr}(\vert z_a\rangle\langle z_b\vert)\\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \langle z_b\vert z_a\rangle \, \vert x_a\rangle\langle x_b\vert. \end{aligned}$$

Tento výraz musí souhlasit se spektrálním rozkladem $\rho.$ Protože $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ je báze, usoudíme, že množina matic

$$\bigl\{ \vert x_a\rangle\langle x_b\vert \,:\, a,b\in\{0,\ldots,n-1\} \bigr\}$$

je lineárně nezávislá, a proto plyne

$$\langle z_b \vert z_a\rangle = \begin{cases} p_a & a=b\\[1mm] 0 & a\neq b, \end{cases}$$

čímž je prokázáno, že $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ je ortogonální.

Téměř jsme získali Schmidtův rozklad $\vert\psi\rangle.$ Zbývá vyřadit ty členy v $(1)$, pro které $p_a = 0$, a poté zapsat $\vert z_a\rangle = \sqrt{p_a}\vert y_a\rangle$ pro jednotkový vektor $\vert y_a\rangle$ pro každý ze zbývajících členů.

Pohodlný způsob, jak to udělat, začíná pozorováním, že páry vlastních čísel/vlastních vektorů ve spektrálním rozkladu redukovaného stavu $\rho$ můžeme číslovat libovolně — takže můžeme předpokládat, že vlastní čísla jsou seřazena sestupně:

$$p_0 \geq p_1 \geq \cdots \geq p_{n-1}.$$

Označme $r = \operatorname{rank}(\rho),$ zjistíme, že $p_0,\ldots,p_{r-1} > 0$ a $p_r = \cdots = p_{n-1} = 0.$ Máme tedy

$$\rho = \sum_{a = 0}^{r-1} p_a \vert x_a \rangle \langle x_a \vert,$$

a kvantový stavový vektor $\vert \psi \rangle$ můžeme zapsat jako

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \vert x_a\rangle \otimes \vert z_a\rangle.$$

Vzhledem k tomu, že

$$\| \vert z_a \rangle \|^2 = \langle z_a \vert z_a \rangle = p_a > 0$$

pro $a=0,\ldots,r-1,$ můžeme definovat jednotkové vektory $\vert y_0 \rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle$ jako

$$\vert y_a\rangle = \frac{\vert z_a\rangle}{\|\vert z_a\rangle\|} = \frac{\vert z_a\rangle}{\sqrt{p_a}},$$

takže $\vert z_a\rangle = \sqrt{p_a}\vert y_a\rangle$ pro každé $a\in\{0,\ldots,r-1\}.$ Protože vektory $\{\vert z_0\rangle, \ldots, \vert z_{r-1}\rangle\}$ jsou ortogonální a nenulové, plyne z toho, že $\{\vert y_0\rangle, \ldots, \vert y_{r-1}\rangle\}$ je ortonormální množina, a tak jsme získali Schmidtův rozklad $\vert\psi\rangle.$

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a}\, \vert x_a\rangle \otimes \vert y_a \rangle$$

Pokud jde o volbu vektorů $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ a $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\},$ můžeme zvolit $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ jako libovolnou ortonormální množinu vlastních vektorů odpovídajících nenulovým vlastním číslům redukovaného stavu $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ (jak jsme to udělali výše), v tom případě jsou vektory $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ jednoznačně určeny.

Situace je symetrická mezi oběma systémy, takže alternativně můžeme zvolit $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ jako libovolnou ortonormální množinu vlastních vektorů odpovídajících nenulovým vlastním číslům redukovaného stavu $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert),$ v tom případě budou vektory $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ jednoznačně určeny.

Všimni si však, že jakmile je jedna z množin vybrána jako množina vlastních vektorů odpovídajícího redukovaného stavu, jak bylo právě popsáno, druhá je určena — takže nemohou být voleny nezávisle.

Ačkoliv se to v této sérii znovu neobjeví, je pozoruhodné, že nenulová vlastní čísla $p_0,\ldots,p_{r-1}$ redukovaného stavu $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ musí vždy souhlasit s nenulovými vlastními čísly redukovaného stavu $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ pro libovolný čistý stav $\vert\psi\rangle$ dvojice systémů $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Intuitivně řečeno, redukované stavy $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y}$ mají v sobě přesně stejné množství náhodnosti, když je dvojice $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ v čistém stavu. Tuto skutečnost odhaluje Schmidtův rozklad: v obou případech musí vlastní čísla redukovaných stavů souhlasit se čtverci Schmidtových koeficientů čistého stavu.

Unitární ekvivalence purifikací

Pomocí Schmidtových rozkladů můžeme prokázat zásadně důležitý fakt o purifikacích známý jako unitární ekvivalence purifikací.

Věta

Unitární ekvivalence purifikací: Předpokládejme, že $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y}$ jsou systémy a $\vert\psi\rangle$ a $\vert\phi\rangle$ jsou kvantové stavové vektory $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$, které oba purifikují stejný stav systému $\mathsf{X}.$ Symbolicky,

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) = \rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert)$$

pro nějakou matici hustoty $\rho$ reprezentující stav systému $\mathsf{X}.$ Pak musí existovat unitární operace $U$ na samotném $\mathsf{Y}$, která transformuje první purifikaci na druhou:

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert\psi\rangle = \vert\phi\rangle.$$

Několik důsledků této věty probereme v průběhu lekce, ale nejprve se podívejme, jak vyplývá z naší předchozí diskuse o Schmidtových rozkladech.

Náš předpoklad je, že $\vert\psi\rangle$ a $\vert\phi\rangle$ jsou kvantové stavové vektory dvojice systémů $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$, které splňují rovnici

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) = \rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert)$$

pro nějakou matici hustoty $\rho$ reprezentující stav systému $\mathsf{X}.$

Uvažuj spektrální rozklad $\rho.$

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert x_a\rangle\langle x_a\vert$$

Zde $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ je ortonormální báze vlastních vektorů $\rho.$ Postupem popsaným dříve můžeme získat Schmidtovy rozklady jak $\vert\psi\rangle$, tak $\vert\phi\rangle$ v následujícím tvaru.

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert u_a\rangle\\[1mm] \vert\phi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert v_a\rangle \end{aligned}$$

V těchto výrazech je $r$ hodnost $\rho$ a $\{\vert u_0\rangle,\ldots,\vert u_{r-1}\rangle\}$ a $\{\vert v_0\rangle,\ldots,\vert v_{r-1}\rangle\}$ jsou ortonormální množiny vektorů v prostoru odpovídajícím $\mathsf{Y}.$

Pro libovolné dvě ortonormální množiny ve stejném prostoru se stejným počtem prvků vždy existuje unitární matice, která transformuje první množinu na druhou, takže můžeme zvolit unitární matici $U$ tak, aby $U \vert u_a\rangle = \vert v_a\rangle$ pro $a = 0,\ldots,r-1.$ Konkrétně, k nalezení takové matice $U$ můžeme nejprve pomocí Gram-Schmidtova ortogonalizačního procesu rozšířit naše ortonormální množiny na ortonormální báze $\{\vert u_0\rangle,\ldots,\vert u_{m-1}\rangle\}$ a $\{\vert v_0\rangle,\ldots,\vert v_{m-1}\rangle\},$ kde $m$ je dimenze prostoru odpovídajícího $\mathsf{Y},$ a pak vzít

$$U = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert v_a\rangle\langle u_a\vert.$$

Nyní zjistíme, že

$$\begin{aligned} (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert\psi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes U \vert u_a\rangle\\ & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert v_a\rangle\\ & = \vert\phi\rangle, \end{aligned}$$

čímž je důkaz dokončen.

Zde je jen několik z mnoha zajímavých příkladů a důsledků spojených s unitární ekvivalencí purifikací. Další kriticky důležitý důsledek uvidíme později v lekci, v kontextu fidelity, známý jako Uhlmannova věta.

Superdense coding

V protokolu superdense coding sdílejí Alice a Bob e-bit, což znamená, že Alice drží qubit $\mathsf{A},$ Bob drží qubit $\mathsf{B},$ a společně je dvojice $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ v Bellově stavu $\vert\phi^{+}\rangle.$ Protokol popisuje, jak Alice může transformovat tento sdílený stav na kterýkoliv ze čtyř Bellových stavů, $\vert\phi^+\rangle,$ $\vert\phi^-\rangle,$ $\vert\psi^+\rangle$ a $\vert\psi^-\rangle,$ aplikací unitární operace na svůj qubit $\mathsf{A}.$ Jakmile to udělá, pošle $\mathsf{A}$ Bobovi a Bob poté provede měření na dvojici $(\mathsf{A},\mathsf{B})$, aby zjistil, který Bellův stav drží.

Pro všechny čtyři Bellovy stavy je redukovaný stav Bobova qubitu $\mathsf{B}$ úplně smíšený stav.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\phi^+\rangle\langle\phi^+\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\phi^-\rangle\langle\phi^-\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi^+\rangle\langle\psi^+\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi^-\rangle\langle\psi^-\vert) = \frac{\mathbb{I}}{2}$$

Z unitární ekvivalence purifikací okamžitě vyplývá, že pro každý Bellův stav musí existovat unitární operace na samotném Alicině qubitu $\mathsf{A}$, která transformuje $\vert\phi^+\rangle$ na zvolený Bellův stav. Ačkoliv to neodhaluje přesné detaily protokolu, unitární ekvivalence purifikací okamžitě implikuje, že superdense coding je možný.

Můžeme také dojít k závěru, že zobecnění superdense coding na větší systémy je vždy možné, za předpokladu, že Bellovy stavy nahradíme libovolnou ortonormální bází purifikací úplně smíšeného stavu.

Kryptografické důsledky

Unitární ekvivalence purifikací má důsledky týkající se implementace kryptografických primitiv pomocí kvantové informace. Například unitární ekvivalence purifikací odhaluje, že je nemožné implementovat ideální formu bit commitmentu pomocí kvantové informace.

Primitiv bit commitmentu zahrnuje dva účastníky, Alici a Boba (kteří si navzájem nedůvěřují), a má dvě fáze.

• První fáze je fáze závazku (commit), prostřednictvím které se Alice zaváže k binární hodnotě $b\in\{0,1\}.$ Tento závazek musí být závazný (binding), což znamená, že Alice nemůže změnit názor, a také utajující (concealing), což znamená, že Bob nemůže zjistit, ke které hodnotě se Alice zavázala.
• Druhá fáze je fáze odhalení (reveal), ve které se bit, ke kterému se Alice zavázala, stane známým Bobovi, který by pak měl být přesvědčen, že byla skutečně odhalena závazná hodnota.

V intuitivních, operačních termínech by první fáze bit commitmentu měla fungovat, jako by Alice napsala binární hodnotu na kus papíru, zamkla papír v trezoru a dala trezor Bobovi, přičemž si klíč nechala pro sebe. Alice se zavázala k binární hodnotě napsané na papíře, protože trezor je v Bobově držení (takže je to závazné), ale protože Bob nemůže trezor otevřít, nemůže zjistit, ke které hodnotě se Alice zavázala (takže je to utajující). Druhá fáze by měla fungovat, jako by Alice předala klíč od trezoru Bobovi, aby ho mohl otevřít a odhalit hodnotu, ke které se Alice zavázala.

Jak se ukazuje, je nemožné implementovat dokonalý protokol bit commitmentu pouze prostředky kvantové informace, protože to odporuje unitární ekvivalenci purifikací. Zde je přehled argumentu, který to dokládá.

Na začátku můžeme předpokládat, že Alice a Bob provádějí pouze unitární operace nebo zavádějí nové inicializované systémy v průběhu provádění protokolu. Skutečnost, že každý kanál má Stinespringovu reprezentaci, nám umožňuje tento předpoklad učinit.

Na konci fáze závazku protokolu Bob drží ve svém vlastnictví nějaký složený systém, který musí být v jednom ze dvou kvantových stavů: $\rho_0,$ pokud se Alice zavázala k hodnotě $0,$ a $\rho_1,$ pokud se Alice zavázala k hodnotě $1.$ Aby byl protokol dokonale utajující, Bob by neměl být schopen rozlišit tyto dva stavy — takže musí platit $\rho_0 = \rho_1.$ (Jinak by existovalo měření, které tyto stavy rozlišuje pravděpodobnostně.)

Protože však Alice a Bob používali pouze unitární operace, stav všech systémů zapojených do protokolu po fázi závazku musí být v čistém stavu. Konkrétně předpokládejme, že $\vert\psi_0\rangle$ je čistý stav všech systémů zapojených do protokolu, když se Alice zaváže k $0,$ a $\vert\psi_1\rangle$ je čistý stav všech systémů zapojených do protokolu, když se Alice zaváže k $1.$ Pokud označíme $\mathsf{A}$ a $\mathsf{B}$ (případně složené) systémy Alice a Boba, pak

$$\begin{aligned} \rho_0 & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi_0\rangle\langle\psi_0\vert)\\[1mm] \rho_1 & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi_1\rangle\langle\psi_1\vert). \end{aligned}$$

Vzhledem k požadavku $\rho_0 = \rho_1$ pro dokonale utajující protokol zjistíme, že $\vert\psi_0\rangle$ a $\vert\psi_1\rangle$ jsou purifikace stejného stavu — a tedy podle unitární ekvivalence purifikací musí existovat unitární operace $U$ pouze na $\mathsf{A}$ taková, že

$$(U\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}})\vert\psi_0\rangle = \vert\psi_1\rangle.$$

Alice má proto volnost změnit svůj závazek z $0$ na $1$ aplikací $U$ na $\mathsf{A},$ nebo z $1$ na $0$ aplikací $U^{\dagger},$ a tak uvažovaný hypotetický protokol zcela selhává v tom, aby byl závazný.

Hughston-Jozsa-Woottersova věta

Poslední důsledek unitární ekvivalence purifikací, který budeme v této části lekce diskutovat, je následující věta známá jako Hughston-Jozsa-Woottersova věta. (Ve skutečnosti jde o mírně zjednodušené znění věty známé pod tímto názvem.)

Věta

Hughston-Jozsa-Wootters: Nechť $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y}$ jsou systémy a nechť $\vert\phi\rangle$ je kvantový stavový vektor páru $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Dále nechť $N$ je libovolné kladné celé číslo, nechť $(p_0,\ldots,p_{N-1})$ je pravděpodobnostní vektor a nechť $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$ jsou kvantové stavové vektory reprezentující stavy $\mathsf{X}$ takové, že

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert.$$

Existuje (obecné) měření $\{P_0,\ldots,P_{N-1}\}$ na $\mathsf{Y}$ takové, že následující dva výroky platí, když se toto měření provede na $\mathsf{Y},$ když je $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ve stavu $\vert\phi\rangle:$

1. Každý výsledek měření $a\in\{0,\ldots,N-1\}$ se objeví s pravděpodobností $p_a$.
2. Pokud je výsledkem měření $a,$ stav $\mathsf{X}$ se změní na $\vert\psi_a\rangle.$

Intuitivně řečeno, tato věta říká, že pokud máme čistý stav dvou systémů, pak pro jakýkoliv způsob, jak si redukovaný stav prvního systému představit jako konvexní kombinaci čistých stavů, existuje měření druhého systému, které tento způsob uvažování o prvním systému efektivně uskutečňuje. Všimni si, že číslo $N$ nemusí být nutně omezeno počtem klasických stavů $\mathsf{X}$ nebo $\mathsf{Y}.$ Například může být $N = 1{,}000{,}000,$ zatímco $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y}$ jsou qubity.

Tuto větu dokážeme pomocí unitární ekvivalence purifikací, přičemž začneme zavedením nového systému $\mathsf{Z},$ jehož množina klasických stavů je $\{0,\ldots,N-1\}.$ Uvažujme následující dva kvantové stavové vektory trojice $(\mathsf{X},\mathsf{Y},\mathsf{Z}).$

$$\begin{aligned} \vert\gamma_0\rangle & = \vert\phi\rangle_{\mathsf{XY}}\otimes\vert 0\rangle_{\mathsf{Z}}\\[1mm] \vert\gamma_1\rangle & = \sum_{a = 0}^{N-1} \sqrt{p_a}\, \vert\psi_a\rangle_{\mathsf{X}} \otimes \vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} \otimes \vert a\rangle_{\mathsf{Z}} \end{aligned}$$

První vektor $\vert\gamma_0\rangle$ je jednoduše daný kvantový stavový vektor $\vert\phi\rangle$ v tenzorovém součinu s $\vert 0\rangle$ pro nový systém $\mathsf{Z}.$ Pro druhý vektor $\vert\gamma_1\rangle$ máme v podstatě kvantový stavový vektor, který by větu učinil triviální — přinejmenším kdyby $\mathsf{Y}$ byl nahrazen $\mathsf{Z}$ — protože standardní bázové měření provedené na $\mathsf{Z}$ jasně dává každý výsledek $a$ s pravděpodobností $p_a$ a pokud je výsledkem $a,$ stav $\mathsf{X}$ se změní na $\vert\psi_a\rangle.$

Tím, že o páru $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ uvažujeme jako o jednom složeném systému, který lze vytrasovat a ponechat $\mathsf{X},$ zjistíme, že jsme identifikovali dvě různé purifikace stavu

$$\rho = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert.$$

Konkrétně pro první máme

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{YZ}} (\vert\gamma_0\rangle\langle\gamma_0\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert) = \rho$$

a pro druhou máme

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{YZ}} (\vert\gamma_1\rangle\langle\gamma_1\vert) & = \sum_{a,b = 0}^{N-1} \sqrt{p_a}\sqrt{p_b} \, \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert \operatorname{Tr}(\vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert a\rangle\langle b\vert)\\ & = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \, \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert\\ & = \rho. \end{aligned}$$

Proto musí existovat unitární operace $U$ na $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ splňující

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert \gamma_0 \rangle = \vert\gamma_1\rangle$$

podle unitární ekvivalence purifikací.

Pomocí této unitární operace $U$ můžeme implementovat měření splňující požadavky věty, jak ilustruje následující diagram. Slovně popsáno: zavedeme nový systém $\mathsf{Z}$ inicializovaný do stavu $\vert 0\rangle,$ aplikujeme $U$ na $(\mathsf{Y},\mathsf{Z}),$ čímž transformujeme stav $(\mathsf{X},\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ z $\vert\gamma_0\rangle$ na $\vert\gamma_1\rangle,$ a poté měříme $\mathsf{Z}$ standardním bázovým měřením, které, jak jsme již pozorovali, dává požadované chování.

Tečkovaný obdélník na obrázku představuje implementaci tohoto měření, které lze popsat jako kolekci pozitivně semidefinitních matic $\{P_0,\ldots,P_{N-1}\}$ následovně.

$$P_a = (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \langle 0\vert) U^{\dagger} (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \vert a\rangle\langle a \vert)U (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \vert 0\rangle)$$