Multi-product formulas pro snížení Trotterovy chyby

Odhadované využití QPU: čtyři minuty na procesoru Heron r2 (POZNÁMKA: Jedná se pouze o odhad. Skutečná doba běhu se může lišit.)

Základy

Tento tutoriál ukazuje, jak použít Multi-Product Formula (MPF) k dosažení nižší Trotterovy chyby u observablu ve srovnání s chybou způsobenou nejhlubším Trotterovým obvodem, který skutečně spustíme. MPF snižují Trotterovu chybu hamiltonovy dynamiky prostřednictvím váženého součtu několika spuštění obvodů. Uvažuj úlohu nalezení střední hodnoty observablu pro kvantový stav $\rho(t)=e^{-i H t} \rho(0) e^{i H t}$ s hamiltonianem $H$. Lze použít Product Formulas (PF) k aproximaci časového vývoje $e^{-i H t}$ takto:

• Zapiš hamiltonián $H$ jako $H=\sum_{a=1}^d F_a,$ kde $F_a$ jsou hermitovské operátory takové, že každý odpovídající unitární operátor lze efektivně implementovat na kvantovém zařízení.
• Aproximuj členy $F_a$, které spolu nekomutují.

Pak je PF prvního řádu (Lie-Trotterův vzorec):

$S_1(t):=\prod_{a=1}^d e^{-i F_a t},$

který má kvadratický chybový člen $S_1(t)=e^{-i H t}+\mathcal{O}\left(t^{2}\right)$. Lze také použít PF vyšších řádů (Lie-Trotter-Suzukiho vzorce), které konvergují rychleji a jsou definovány rekurzivně jako:

$S_2(t):=\prod_{a=1}^d e^{-i F_a t/2}\prod_{a=1}^d e^{-i F_a t/2}$

$S_{2 \chi}(t):= S_{2 \chi -2}(s_{\chi}t)^2 S_{2 \chi -2}((1-4s_{\chi})t)S_{2 \chi -2}(s_{\chi}t)^2,$

kde $\chi$ je řád symetrického PF a $s_p = \left( 4 - 4^{1/(2p-1)} \right)^{-1}$. Pro dlouhé časové evoluce lze časový interval $t$ rozdělit na $k$ intervalů, nazývaných Trotterovy kroky, o délce $t/k$ a aproximovat časový vývoj v každém intervalu pomocí PF $\chi$-tého řádu $S_{\chi}$. PF řádu $\chi$ pro operátor časového vývoje přes $k$ Trotterových kroků je tedy:

$S_{\chi}^{k}(t) = \left[ S_{\chi} \left( \frac{t}{k} \right)\right]^k = e^{-i H t}+O\left(t \left( \frac{t}{k} \right)^{\chi} \right)$

kde chybový člen klesá s počtem Trotterových kroků $k$ a řádem $\chi$ PF.

Pro celé číslo $k \geq 1$ a product formula $S_{\chi}(t)$ lze aproximovaný časově vyvinutý stav $\rho_k(t)$ získat z $\rho_0$ aplikací $k$ iterací product formula $S_{\chi}\left(\frac{t}{k}\right)$.

$$\rho_k(t)=S_{\chi}\left(\frac{t}{k}\right)^k \rho_0 S_{\chi}\left(\frac{t}{k}\right)^{-k}$$

$\rho_k(t)$ je aproximace $\rho(t)$ s Trotterovou aproximační chybou ||$\rho_k(t)-\rho(t) ||$. Pokud uvažujeme lineární kombinaci Trotterových aproximací $\rho(t)$:

$$\mu(t) = \sum_{j}^{l} x_j \rho^{k_j}_{j}\left(\frac{t}{k_j}\right) + \text{some remaining Trotter error} \, ,$$

kde $x_j$ jsou naše váhové koeficienty, $\rho^{k_j}_j$ je matice hustoty odpovídající čistému stavu získanému vývojem počátečního stavu pomocí product formula, $S^{k_j}_{\chi}$, zahrnující $k_j$ Trotterových kroků, a $j \in {1, ..., l}$ indexuje počet PF tvořících MPF. Všechny členy v $\mu(t)$ používají stejnou product formula $S_{\chi}(t)$ jako základ. Cílem je zlepšit ||$\rho_k(t)-\rho(t) \|$ nalezením $\mu(t)$ s ještě nižší hodnotou $\|\mu(t)-\rho(t)\|$.

• $\mu(t)$ nemusí být fyzikální stav, protože $x_i$ nemusí být kladné. Cílem je minimalizovat chybu ve střední hodnotě observabilů, nikoli nalézt fyzikální náhradu za $\rho(t)$.
• $k_j$ určuje jak hloubku obvodu, tak úroveň Trotterovy aproximace. Menší hodnoty $k_j$ vedou ke kratším obvodům, které mají méně chyb obvodu, ale budou méně přesnou aproximací požadovaného stavu.

Klíčové je, že zbývající Trotterova chyba daná $\mu(t)$ je menší než Trotterova chyba, kterou by člověk získal pouhým použitím největší hodnoty $k_j$.

Využitelnost tohoto přístupu lze nahlížet ze dvou perspektiv:

1. Při pevně stanoveném rozpočtu Trotterových kroků, které lze spustit, lze dosáhnout výsledků s celkově menší Trotterovou chybou.
2. Máš-li cílový počet Trotterových kroků, který je příliš velký na spuštění, můžeš použít MPF k nalezení kolekce obvodů s nižší hloubkou, jejichž spuštění přinese podobnou Trotterovu chybu.

Požadavky

Před zahájením tohoto tutoriálu se ujisti, že máš nainstalováno následující:

• Qiskit SDK v1.0 nebo novější, s podporou vizualizace
• Qiskit Runtime v0.22 nebo novější (pip install qiskit-ibm-runtime)
• MPF Qiskit addons (pip install qiskit_addon_mpf)
• Qiskit addons utils (pip install qiskit_addon_utils)
• Quimb library (pip install quimb)
• Qiskit Quimb library (pip install qiskit-quimb)
• Numpy v0.21 pro kompatibilitu napříč balíčky (pip install numpy==0.21)

Část I. Příklad v malém měřítku

Prozkoumání stability MPF

Na volbu počtu Trotterových kroků $k_j$ tvořících MPF stav $\mu(t)$ neexistuje žádné zjevné omezení. Tyto kroky však musí být zvoleny pečlivě, aby se předešlo nestabilitám ve výsledných středních hodnotách počítaných z $\mu(t)$. Dobrým obecným pravidlem je nastavit nejmenší Trotterův krok $k_{\text{min}}$ tak, aby $t/k_{\text{min}} \lt 1$. Pokud se chceš dozvědět více o tom, jak volit ostatní hodnoty $k_j$, podívej se do průvodce Jak volit Trotterovy kroky pro MPF.

V níže uvedeném příkladu prozkoumáváme stabilitu řešení MPF výpočtem střední hodnoty magnetizace pro různé časy s použitím různých časově vyvinutých stavů. Konkrétně porovnáváme střední hodnoty vypočtené z každé přibližné časové evoluce implementované odpovídajícími Trotterovými kroky a různými MPF modely (statické a dynamické koeficienty) s přesnými hodnotami časově vyvinutého observablu. Nejprve definujme parametry pro Trotterovy formulas a časy evoluce

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q matplotlib numpy qiskit qiskit-addon-mpf qiskit-addon-utils qiskit-aer qiskit-ibm-runtime rustworkx scipy

import numpy as np

mpf_trotter_steps = [1, 2, 4]
order = 2
symmetric = False

trotter_times = np.arange(0.5, 1.55, 0.1)
exact_evolution_times = np.arange(trotter_times[0], 1.55, 0.05)

Pro tento příklad použijeme stav Neel jako počáteční stav $\vert \text{Neel} \rangle = \vert 0101...01 \rangle$ a Heisenbergův model na řetězci 10 míst pro hamiltonián řídící časový vývoj

$$\hat{\mathcal{H}}_{Heis} = J \sum_{i=1}^{L-1} \left(X_i X_{(i+1)}+Y_i Y_{(i+1)}+ Z_i Z_{(i+1)} \right) \, ,$$

kde $J$ je síla vazby pro hrany nejbližších sousedů.

from qiskit.transpiler import CouplingMap
from rustworkx.visualization import graphviz_draw
from qiskit_addon_utils.problem_generators import generate_xyz_hamiltonian
import numpy as np

L = 10

# Generate some coupling map to use for this example
coupling_map = CouplingMap.from_line(L, bidirectional=False)
graphviz_draw(coupling_map.graph, method="circo")

# Get a qubit operator describing the Heisenberg field model
hamiltonian = generate_xyz_hamiltonian(
    coupling_map,
    coupling_constants=(1.0, 1.0, 1.0),
    ext_magnetic_field=(0.0, 0.0, 0.0),
)

print(hamiltonian)

SparsePauliOp(['IIIIIIIXXI', 'IIIIIIIYYI', 'IIIIIIIZZI', 'IIIIIXXIII', 'IIIIIYYIII', 'IIIIIZZIII', 'IIIXXIIIII', 'IIIYYIIIII', 'IIIZZIIIII', 'IXXIIIIIII', 'IYYIIIIIII', 'IZZIIIIIII', 'IIIIIIIIXX', 'IIIIIIIIYY', 'IIIIIIIIZZ', 'IIIIIIXXII', 'IIIIIIYYII', 'IIIIIIZZII', 'IIIIXXIIII', 'IIIIYYIIII', 'IIIIZZIIII', 'IIXXIIIIII', 'IIYYIIIIII', 'IIZZIIIIII', 'XXIIIIIIII', 'YYIIIIIIII', 'ZZIIIIIIII'],
              coeffs=[1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j])

Observable, který budeme měřit, je magnetizace na páru Qubitů uprostřed řetězce.

from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp

observable = SparsePauliOp.from_sparse_list(
    [("ZZ", (L // 2 - 1, L // 2), 1.0)], num_qubits=L
)
print(observable)

SparsePauliOp(['IIIIZZIIII'],
              coeffs=[1.+0.j])

Definujeme transpilační průchod pro shromáždění rotací XX a YY v obvodu jako jednoho gate XX+YY. To nám umožní využít vlastností zachování spinu TeNPy při výpočtu MPO, čímž se výpočet výrazně urychlí.

from qiskit.circuit.library import XXPlusYYGate
from qiskit.transpiler import PassManager
from qiskit.transpiler.passes.optimization.collect_and_collapse import (
    CollectAndCollapse,
    collect_using_filter_function,
    collapse_to_operation,
)
from functools import partial

def filter_function(node):
    return node.op.name in {"rxx", "ryy"}

collect_function = partial(
    collect_using_filter_function,
    filter_function=filter_function,
    split_blocks=True,
    min_block_size=1,
)

def collapse_to_xx_plus_yy(block):
    param = 0.0
    for node in block.data:
        param += node.operation.params[0]
    return XXPlusYYGate(param)

collapse_function = partial(
    collapse_to_operation,
    collapse_function=collapse_to_xx_plus_yy,
)

pm = PassManager()
pm.append(CollectAndCollapse(collect_function, collapse_function))

Poté vytvoříme obvody implementující přibližné Trotterovy časové evoluce.

from qiskit.synthesis import SuzukiTrotter
from qiskit_addon_utils.problem_generators import (
    generate_time_evolution_circuit,
)
from qiskit import QuantumCircuit

# Initial Neel state preparation
initial_state_circ = QuantumCircuit(L)
initial_state_circ.x([i for i in range(L) if i % 2 != 0])

all_circs = []
for total_time in trotter_times:
    mpf_trotter_circs = [
        generate_time_evolution_circuit(
            hamiltonian,
            time=total_time,
            synthesis=SuzukiTrotter(reps=num_steps, order=order),
        )
        for num_steps in mpf_trotter_steps
    ]

    mpf_trotter_circs = pm.run(
        mpf_trotter_circs
    )  # Collect XX and YY into XX + YY

    mpf_circuits = [
        initial_state_circ.compose(circuit) for circuit in mpf_trotter_circs
    ]
    all_circs.append(mpf_circuits)

mpf_circuits[-1].draw("mpl", fold=-1)

Dále vypočítáme časově vyvinuté střední hodnoty z Trotterových obvodů.

from copy import deepcopy
from qiskit_aer import AerSimulator
from qiskit_ibm_runtime import EstimatorV2 as Estimator
from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager

aer_sim = AerSimulator()
estimator = Estimator(mode=aer_sim)

mpf_expvals_all_times, mpf_stds_all_times = [], []
for t, mpf_circuits in zip(trotter_times, all_circs):
    mpf_expvals = []
    circuits = [deepcopy(circuit) for circuit in mpf_circuits]
    pm_sim = generate_preset_pass_manager(
        backend=aer_sim, optimization_level=3
    )
    isa_circuits = pm_sim.run(circuits)
    result = estimator.run(
        [(circuit, observable) for circuit in isa_circuits], precision=0.005
    ).result()
    mpf_expvals = [res.data.evs for res in result]
    mpf_stds = [res.data.stds for res in result]
    mpf_expvals_all_times.append(mpf_expvals)
    mpf_stds_all_times.append(mpf_stds)

Také vypočítáme přesné střední hodnoty pro srovnání.

from scipy.linalg import expm
from qiskit.quantum_info import Statevector

exact_expvals = []
for t in exact_evolution_times:
    # Exact expectation values
    exp_H = expm(-1j * t * hamiltonian.to_matrix())
    initial_state = Statevector(initial_state_circ).data
    time_evolved_state = exp_H @ initial_state

    exact_obs = (
        time_evolved_state.conj()
        @ observable.to_matrix()
        @ time_evolved_state
    ).real
    exact_expvals.append(exact_obs)

Statické MPF koeficienty

Statické MPF jsou ty, kde hodnoty $x_j$ nezávisí na čase evoluce $t$. Uvažujme PF řádu $\chi = 1$ s $k_j$ Trotterovými kroky, toto lze zapsat jako:

$S_1^{k_j}\left( \frac{t}{k_j} \right)=e^{-i H t}+ \sum_{n=1}^{\infty} A_n \frac{t^{n+1}}{k_j^n}$

kde $A_n$ jsou matice závisející na komutátorech členů $F_a$ v rozkladu hamiltoniánu. Je důležité poznamenat, že $A_n$ samy o sobě jsou nezávislé na čase a počtu Trotterových kroků $k_j$. Je tedy možné eliminovat chybové členy nižšího řádu přispívající do $\mu(t)$ vhodnou volbou vah $x_j$ lineární kombinace. Pro zrušení Trotterovy chyby pro prvních $l-1$ členů (ty budou mít největší přínos, protože odpovídají nižšímu počtu Trotterových kroků) ve výrazu pro $\mu(t)$ musí koeficienty $x_j$ splňovat následující rovnice:

$\sum_{j=1}^l x_j = 1$ $\sum_{j=1}^{l-1} \frac{x_j}{k_j^{n}} = 0$

kde $n=0, ... l-2$. První rovnice zaručuje, že konstruovaný stav $\mu(t)$ není zkreslený, zatímco druhá rovnice zajišťuje eliminaci Trotterových chyb. Pro PF vyššího řádu se druhá rovnice stává $\sum_{j=1}^{l-1} \frac{x_j}{k_j^{\eta}} = 0$, kde $\eta = \chi + 2n$ pro symetrické PF a $\eta = \chi + n$ jinak, přičemž $n=0, ..., l-2$. Výsledná chyba (Ref. [1],[2]) je pak

$\epsilon = \mathcal{O} \left( \frac{t^{l+1}}{k_1^l} \right).$

Určení statických MPF koeficientů pro danou sadu hodnot $k_j$ spočívá v řešení soustavy lineárních rovnic definované dvěma výše uvedenými rovnicemi pro proměnné $x_j$: $Ax=b$. Kde $x$ jsou naše koeficienty zájmu, $A$ je matice závisející na $k_j$ a typu PF, který používáme ($S$), a $b$ je vektor omezení. Konkrétně:

$A_{0,j} = 1$ $A_{i>0,j} = k_{j}^{-(\chi + s(i-1))}$ $b_0 = 1$ $b_{i>0} = 0$

kde $\chi$ je order, $s$ je $2$ pokud je symmetric rovno True a $1$ jinak, $k_{j}$ jsou trotter_steps a $x$ jsou proměnné, pro které řešíme. Indexy $i$ a $j$ začínají od $0$. Toto lze vizualizovat také v maticové formě:

$$A = \begin{bmatrix} A_{0,0} & A_{0,1} & A_{0,2} & ... \\ A_{1,0} & A_{1,1} & A_{1,2} & ... \\ A_{2,0} & A_{2,1} & A_{2,2} & ... \\ ... & ... & ... & ... \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & ... \\ k_{0}^{-(\chi + s(1-1))} & k_{1}^{-(\chi + s(1-1))} & k_{2}^{-(\chi + s(1-1))} & ... \\ k_{0}^{-(\chi + s(2-1))} & k_{1}^{-(\chi + s(2-1))} & k_{2}^{-(\chi + s(2-1))} & ... \\ ... & ... & ... & ... \end{bmatrix}$$

a

$$b = \begin{bmatrix} b_{0} \\ b_{1} \\ b_{2} \\ ... \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ ... \end{bmatrix}$$

Více podrobností najdeš v dokumentaci Linear System of Equations (LSE).

Řešení pro $x$ lze analyticky nalézt jako $x = A^{-1}b$; viz například Ref. [1] nebo [2]. Toto přesné řešení však může být „špatně podmíněné", což vede k velmi velkým L1-normám našich koeficientů $x$, které mohou způsobit špatný výkon MPF. Namísto toho lze také získat přibližné řešení, které minimalizuje L1-normu $x$, aby se optimalizovalo chování MPF.

Nastavení LSE

Nyní, když jsme zvolili hodnoty $k_j$, musíme nejprve sestavit LSE, $Ax=b$, jak je vysvětleno výše. Matice $A$ závisí nejen na $k_j$, ale také na naší volbě PF, zejména jeho řádu. Dále je možné vzít v úvahu, zda je PF symetrický nebo ne (viz [1]), nastavením symmetric=True/False. To však není nutné, jak ukazuje Ref. [2].

from qiskit_addon_mpf.static import setup_static_lse

lse = setup_static_lse(mpf_trotter_steps, order=order, symmetric=symmetric)

Projděme si hodnoty zvolené výše pro sestavení matice $A$ a vektoru $b$. S $j=0,1, 2$ Trotterovými kroky $k_j = [1, 2, 4]$, řádem $\chi = 2$ a volbou nesymetrických Trotterových kroků ($s=1$) jsou prvky matice $A$ pod prvním řádkem určeny výrazem $A_{i>0,j} = k_{j}^{-(2 + 1(i-1))}$, konkrétně:

$A_{0,0} = A_{0,1} = A_{0,2} = 1$ $A_{1,j} = k_{j}^{-1} \rightarrow A_{1,0} = \frac{1}{1^2}, \;, A_{1,1} = \frac{1}{2^2}, \;, A_{1,2} = \frac{1}{4^2}$ $A_{2,j} = k_{j}^{-2} \rightarrow A_{2,0} = \frac{1}{1^3}, \;, A_{2,1} = \frac{1}{2^3}, \;, A_{2,2} = \frac{1}{4^3}$

nebo v maticové formě:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & \frac{1}{2^2} & \frac{1}{4^2} \\ 1 & \frac{1}{2^3} & \frac{1}{4^3} \\ \end{bmatrix}$$

To lze ověřit inspekcí objektu lse:

lse.A

array([[1.      , 1.      , 1.      ],
       [1.      , 0.25    , 0.0625  ],
       [1.      , 0.125   , 0.015625]])

Vektor omezení $b$ má následující prvky: $b_{0} = 1$ $b_1 = b_2 = 0$

Tedy,

$$b = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

A podobně v lse:

lse.b

array([1., 0., 0.])

Objekt lse má metody pro nalezení statických koeficientů $x_j$ splňujících soustavu rovnic.

mpf_coeffs = lse.solve()
print(
    f"The static coefficients associated with the ansatze are: {mpf_coeffs}"
)

The static coefficients associated with the ansatze are: [ 0.04761905 -0.57142857  1.52380952]

Optimalizace pro $x$ pomocí přesného modelu

Alternativně k výpočtu $x=A^{-1}b$ lze také použít setup_exact_model pro sestavení instance cvxpy.Problem, která používá LSE jako omezení a jejíž optimální řešení dá $x$.

V následující části bude zřejmé, proč toto rozhraní existuje.

from qiskit_addon_mpf.costs import setup_exact_problem

model_exact, coeffs_exact = setup_exact_problem(lse)
model_exact.solve()
print(coeffs_exact.value)

[ 0.04761905 -0.57142857  1.52380952]

Jako indikátor toho, zda MPF sestavené s těmito koeficienty přinese dobré výsledky, lze použít L1-normu (viz také Ref. [1]).

print(
    "L1 norm of the exact coefficients:",
    np.linalg.norm(coeffs_exact.value, ord=1),
)  # ord specifies the norm. ord=1 is for L1

L1 norm of the exact coefficients: 2.1428571428556378

Optimalizace pro $x$ pomocí přibližného modelu

Může se stát, že L1-norma pro zvolenou sadu hodnot $k_j$ je považována za příliš vysokou. Pokud tomu tak je a nemůžeš zvolit jinou sadu hodnot $k_j$, můžeš místo přesného řešení LSE použít přibližné.

K tomu jednoduše použij setup_approximate_model pro sestavení jiné instance cvxpy.Problem, která omezuje L1-normu na zvolenou prahovou hodnotu a zároveň minimalizuje rozdíl $Ax$ a $b$.

from qiskit_addon_mpf.costs import setup_sum_of_squares_problem

model_approx, coeffs_approx = setup_sum_of_squares_problem(
    lse, max_l1_norm=1.5
)
model_approx.solve()
print(coeffs_approx.value)
print(
    "L1 norm of the approximate coefficients:",
    np.linalg.norm(coeffs_approx.value, ord=1),
)

[-1.10294118e-03 -2.48897059e-01  1.25000000e+00]
L1 norm of the approximate coefficients: 1.5

Vezmi na vědomí, že máš úplnou svobodu v tom, jak tento optimalizační problém řešit, což znamená, že můžeš změnit optimalizační řešič, jeho prahové hodnoty konvergence apod. Podívej se na příslušného průvodce Jak používat přibližný model.

Dynamické MPF koeficienty

V předchozí části jsme představili statické MPF, které zlepšuje standardní Trotterovu aproximaci. Tato statická verze však nemusí nutně minimalizovat aproximační chybu. Konkrétně, statické MPF, označené $\mu^S(t)$, není optimální projekcí $\rho(t)$ do podprostoru rozepnutého stavy product formula $\{\rho_{k_i}(t)\}_{i=1}^r$.

Pro řešení tohoto problému uvažujeme dynamické MPF (představené v Ref. [2] a experimentálně demonstrované v Ref. [3]), které minimalizuje aproximační chybu ve Frobeniově normě. Formálně se zaměřujeme na minimalizaci

$$\|\rho(t) - \mu^D(t)\|_F^2 \;=\; \mathrm{Tr}\bigl[ \left( \rho(t) - \mu^D(t)\right)^2 \bigr],$$

vzhledem k některým koeficientům $x_i(t)$ v každém čase $t$. Optimální projektor ve Frobeniově normě je pak $\mu^D(t) \;=\; \sum_{i=1}^r x_i(t)\,\rho_{k_i}(t)$ a nazýváme $\mu^D(t)$ dynamickým MPF. Po dosazení výše uvedených definic:

$$\|\rho(t) - \mu^D(t)\|_F^2 \;=\; \\ = \mathrm{Tr}\bigl[ \left( \rho(t) - \mu^D(t)\right)^2 \bigr] \;=\; \\ = \mathrm{Tr}\bigl[ \left( \rho(t) - \sum_{i=1}^r x_i(t)\,\rho_{k_i}(t) \right) \left( \rho(t) - \sum_{j=1}^r x_j(t)\,\rho_{k_j}(t) \right) \bigr] \;=\; \\ = 1 \;+\; \sum_{i,j=1}^r M_{i,j}(t)\,x_i(t)\,x_j(t) \;-\; 2 \sum_{i=1}^r L_i^{\mathrm{exact}}(t)\,x_i(t),$$

kde $M_{i,j}(t)$ je Gramova matice, definovaná jako

$$M_{i,j}(t) \;=\; \mathrm{Tr}\bigl[\rho_{k_i}(t)\,\rho_{k_j}(t)\bigr] \;=\; \bigl|\langle \psi_{\mathrm{in}} \!\mid S\bigl(t/k_i\bigr)^{-k_i}\,S\bigl(t/k_j\bigr)^{k_j} \!\mid \psi_{\mathrm{in}} \rangle \bigr|^2.$$

a

$$L_i^{\mathrm{exact}}(t) = \mathrm{Tr}[\rho(t)\,\rho_{k_i}(t)]$$

představuje překryv mezi přesným stavem $\rho(t)$ a každou aproximací product formula $\rho_{k_i}(t)$. V praktických scénářích mohou být tyto překryvy měřeny pouze přibližně kvůli šumu nebo částečnému přístupu k $\rho(t)$.

Zde, $\lvert\psi_{\mathrm{in}}\rangle$ je počáteční stav a $S(\cdot)$ je operace aplikovaná v product formula. Volbou koeficientů $x_i(t)$, které minimalizují tento výraz (a zpracováním přibližných dat o překryvu, pokud $\rho(t)$ není plně známo), získáme „nejlepší" (ve smyslu Frobeniovy normy) dynamickou aproximaci $\rho(t)$ v podprostoru MPF. Veličiny $L_i(t)$ a $M_{i,j}(t)$ lze efektivně vypočítat pomocí metod tensorových sítí [3]. MPF Qiskit addon poskytuje několik „backendů" pro provedení výpočtu. Níže uvedený příklad ukazuje nejflexibilnější způsob, jak to provést, a dokumentace TeNPy layer-based backend to podrobně vysvětluje. Chceš-li použít tuto metodu, začni od obvodu implementujícího požadovanou časovou evoluci a vytvoř modely reprezentující tyto operace z vrstev odpovídajícího obvodu. Nakonec je vytvořen objekt Evolver, který lze použít ke generování časově vyvinutých veličin $M_{i,j}(t)$ a $L_i(t)$. Začneme vytvořením objektu Evolver odpovídajícího přibližné časové evoluci (ApproxEvolverFactory) implementované obvody. Věnuj zvláštní pozornost proměnné order, aby se hodnoty shodovaly. Poznamenej, že při generování obvodů odpovídajících přibližné časové evoluci používáme zástupné hodnoty time = 1.0 a počet Trotterových kroků (reps=1). Správné aproximační obvody jsou poté produkovány řešičem dynamického problému v setup_dynamic_lse.

from qiskit_addon_utils.slicing import slice_by_depth
from qiskit_addon_mpf.backends.tenpy_layers import LayerModel
from qiskit_addon_mpf.backends.tenpy_layers import LayerwiseEvolver
from functools import partial

# Create approximate time-evolution circuits
single_2nd_order_circ = generate_time_evolution_circuit(
    hamiltonian, time=1.0, synthesis=SuzukiTrotter(reps=1, order=order)
)
single_2nd_order_circ = pm.run(single_2nd_order_circ)  # collect XX and YY

# Find layers in the circuit
layers = slice_by_depth(single_2nd_order_circ, max_slice_depth=1)

# Create tensor network models
models = [
    LayerModel.from_quantum_circuit(layer, conserve="Sz") for layer in layers
]

# Create the time-evolution object
approx_factory = partial(
    LayerwiseEvolver,
    layers=models,
    options={
        "preserve_norm": False,
        "trunc_params": {
            "chi_max": 64,
            "svd_min": 1e-8,
            "trunc_cut": None,
        },
        "max_delta_t": 2,
    },
)

varování

Možnosti LayerwiseEvolver, které určují detaily simulace tensorové sítě, musí být zvoleny pečlivě, aby se předešlo nastavení špatně definovaného optimalizačního problému.

Poté nastavíme přesný evolver (například ExactEvolverFactory), který vrací objekt Evolver počítající skutečnou nebo „referenční" časovou evoluci. V praxi bychom aproximovali přesnou evoluci použitím Suzuki–Trotterovy formulas vyššího řádu nebo jiné spolehlivé metody s malým časovým krokem. Níže aproximujeme přesně časově vyvinutý stav Suzuki-Trotterovou formulou čtvrtého řádu s malým časovým krokem dt=0.1, což znamená, že počet Trotterových kroků použitý v čase $t$ je $k=t/dt$. Také specifikujeme TeNPy-specifické možnosti zkrácení pro omezení maximální vazební dimenze základní tensorové sítě, jakož i minimálních singulárních hodnot rozdělených vazeb tensorové sítě. Tyto parametry mohou ovlivnit přesnost střední hodnoty vypočtené s dynamickými MPF koeficienty, proto je důležité prozkoumat různé hodnoty pro nalezení optimální rovnováhy mezi výpočetním časem a přesností. Poznamenej, že výpočet MPF koeficientů nezávisí na střední hodnotě PF získané z hardwaru, a proto jej lze ladit v post-processingu.

single_4th_order_circ = generate_time_evolution_circuit(
    hamiltonian, time=1.0, synthesis=SuzukiTrotter(reps=1, order=4)
)
single_4th_order_circ = pm.run(single_4th_order_circ)
exact_model_layers = [
    LayerModel.from_quantum_circuit(layer, conserve="Sz")
    for layer in slice_by_depth(single_4th_order_circ, max_slice_depth=1)
]

exact_factory = partial(
    LayerwiseEvolver,
    layers=exact_model_layers,
    dt=0.1,
    options={
        "preserve_norm": False,
        "trunc_params": {
            "chi_max": 64,
            "svd_min": 1e-8,
            "trunc_cut": None,
        },
        "max_delta_t": 2,
    },
)

Dále vytvoříme počáteční stav systému ve formátu kompatibilním s TeNPy (například MPS_neel_state=$\vert 0101...01 \rangle$). Tím se nastaví mnohatělová vlnová funkce, kterou budeš vyvíjet v čase $\lvert\psi_{\mathrm{in}}\rangle$ jako tensor.

from qiskit_addon_mpf.backends.tenpy_tebd import MPOState
from qiskit_addon_mpf.backends.tenpy_tebd import MPS_neel_state

def identity_factory():
    return MPOState.initialize_from_lattice(models[0].lat, conserve=True)

mps_initial_state = MPS_neel_state(models[0].lat)

Pro každý časový krok $t$ nastavíme dynamickou soustavu lineárních rovnic metodou setup_dynamic_lse. Odpovídající objekt obsahuje informace o dynamickém MPF problému: lse.A dává Gramovu matici $M$, zatímco lse.b dává překryv $L$. Poté můžeme vyřešit LSE (pokud není špatně definované) a nalézt dynamické koeficienty pomocí setup_frobenius_problem. Je důležité poznamenat rozdíl oproti statickým koeficientům, které závisí pouze na detailech použité product formula a jsou nezávislé na detailech časové evoluce (hamiltoniánu a počátečním stavu).

from qiskit_addon_mpf.dynamic import setup_dynamic_lse
from qiskit_addon_mpf.costs import setup_frobenius_problem

mpf_dynamic_coeffs_list = []
for t in trotter_times:
    print(f"Computing dynamic coefficients for time={t}")
    lse = setup_dynamic_lse(
        mpf_trotter_steps,
        t,
        identity_factory,
        exact_factory,
        approx_factory,
        mps_initial_state,
    )
    problem, coeffs = setup_frobenius_problem(lse)
    try:
        problem.solve()
        mpf_dynamic_coeffs_list.append(coeffs.value)
    except Exception as error:
        mpf_dynamic_coeffs_list.append(np.zeros(len(mpf_trotter_steps)))
        print(error, "Calculation Failed for time", t)
    print("")

Computing dynamic coefficients for time=0.5

Computing dynamic coefficients for time=0.6

Computing dynamic coefficients for time=0.7

Computing dynamic coefficients for time=0.7999999999999999

Computing dynamic coefficients for time=0.8999999999999999

Computing dynamic coefficients for time=0.9999999999999999

Computing dynamic coefficients for time=1.0999999999999999

Computing dynamic coefficients for time=1.1999999999999997

Computing dynamic coefficients for time=1.2999999999999998

Computing dynamic coefficients for time=1.4

Computing dynamic coefficients for time=1.4999999999999998

Nakonec vyneseme tyto střední hodnoty v závislosti na čase evoluce.

import matplotlib.pyplot as plt

sym = {1: "^", 2: "s", 4: "p"}
# Get expectation values at all times for each Trotter step
for k, step in enumerate(mpf_trotter_steps):
    trotter_curve, trotter_curve_error = [], []
    for trotter_expvals, trotter_stds in zip(
        mpf_expvals_all_times, mpf_stds_all_times
    ):
        trotter_curve.append(trotter_expvals[k])
        trotter_curve_error.append(trotter_stds[k])

    plt.errorbar(
        trotter_times,
        trotter_curve,
        yerr=trotter_curve_error,
        alpha=0.5,
        markersize=4,
        marker=sym[step],
        color="grey",
        label=f"{mpf_trotter_steps[k]} Trotter steps",
    )  # , , )

# Get expectation values at all times for the static MPF with exact coeffs
exact_mpf_curve, exact_mpf_curve_error = [], []
for trotter_expvals, trotter_stds in zip(
    mpf_expvals_all_times, mpf_stds_all_times
):
    mpf_std = np.sqrt(
        sum(
            [
                (coeff**2) * (std**2)
                for coeff, std in zip(coeffs_exact.value, trotter_stds)
            ]
        )
    )
    exact_mpf_curve_error.append(mpf_std)
    exact_mpf_curve.append(trotter_expvals @ coeffs_exact.value)

plt.errorbar(
    trotter_times,
    exact_mpf_curve,
    yerr=exact_mpf_curve_error,
    markersize=4,
    marker="o",
    label="Static MPF - Exact",
    color="purple",
)

# Get expectation values at all times for the static MPF with approximate
approx_mpf_curve, approx_mpf_curve_error = [], []
for trotter_expvals, trotter_stds in zip(
    mpf_expvals_all_times, mpf_stds_all_times
):
    mpf_std = np.sqrt(
        sum(
            [
                (coeff**2) * (std**2)
                for coeff, std in zip(coeffs_approx.value, trotter_stds)
            ]
        )
    )
    approx_mpf_curve_error.append(mpf_std)
    approx_mpf_curve.append(trotter_expvals @ coeffs_approx.value)

plt.errorbar(
    trotter_times,
    approx_mpf_curve,
    yerr=approx_mpf_curve_error,
    markersize=4,
    marker="o",
    color="orange",
    label="Static MPF - Approximate",
)

# # Get expectation values at all times for the dynamic MPF
dynamic_mpf_curve, dynamic_mpf_curve_error = [], []
for trotter_expvals, trotter_stds, dynamic_coeffs in zip(
    mpf_expvals_all_times, mpf_stds_all_times, mpf_dynamic_coeffs_list
):
    mpf_std = np.sqrt(
        sum(
            [
                (coeff**2) * (std**2)
                for coeff, std in zip(dynamic_coeffs, trotter_stds)
            ]
        )
    )
    dynamic_mpf_curve_error.append(mpf_std)
    dynamic_mpf_curve.append(trotter_expvals @ dynamic_coeffs)

plt.errorbar(
    trotter_times,
    dynamic_mpf_curve,
    yerr=dynamic_mpf_curve_error,
    markersize=4,
    marker="o",
    color="pink",
    label="Dynamic MPF",
)

plt.plot(
    exact_evolution_times,
    exact_expvals,
    lw=3,
    color="red",
    label="Exact time-evolution",
)

plt.title(
    f"Expectation values for (ZZ,{(L//2-1, L//2)}) as a function of time"
)
plt.xlabel("Time")
plt.ylabel("Expectation Value")
plt.legend()
plt.grid()

V případech jako ve výše uvedeném příkladu, kdy PF pro $k=1$ funguje špatně pro všechny časy, je kvalita výsledků dynamického MPF také silně ovlivněna. V takových situacích je užitečné prozkoumat možnost použití individuálních PF s vyšším počtem Trotterových kroků ke zlepšení celkové kvality výsledků. V těchto simulacích vidíme vzájemné působení různých typů chyb: chyby z konečného vzorkování a Trotterovy chyby z product formulas. MPF pomáhá snížit Trotterovu chybu způsobenou product formulas, ale způsobuje vyšší chybu vzorkování ve srovnání s product formulas. To může být výhodné, protože product formulas mohou snížit chybu vzorkování zvýšeným vzorkováním, ale systematická chyba způsobená Trotterovou aproximací zůstává nedotčena.

Krok 1: Mapování klasických vstupů na kvantový problém

Uvažujme nyní jeden časový okamžik $t=1.0$ a spočítejme střední hodnotu magnetizace různými metodami pomocí jednoho QPU. Konkrétní volba $t$ byla provedena tak, aby maximalizovala rozdíl mezi jednotlivými metodami a umožnila pozorovat jejich relativní účinnost. Abychom určili časové okno, pro které je zaručeno, že dynamická MPF produkuje pozorovatelné s nižší chybou než kterákoli z individuálních Trotterových formulí v multi-produktu, můžeme implementovat „MPF test" — viz rovnice (17) a okolní text v [3].

Nastavení Trotterových Circuit

V tomto bodě jsme nalezli naše koeficienty rozkladu, $x$, a zbývá pouze vygenerovat kvantové Circuit v Trotterově přiblížení. Opět nám pomůže modul qiskit_addon_utils.problem_generators s užitečnou funkcí k tomuto účelu:

from qiskit.synthesis import SuzukiTrotter
from qiskit_addon_utils.problem_generators import (
    generate_time_evolution_circuit,
)
from qiskit import QuantumCircuit

total_time = 1.0
mpf_circuits = []
for k in mpf_trotter_steps:
    # Initial Neel state preparation
    circuit = QuantumCircuit(L)
    circuit.x([i for i in range(L) if i % 2 != 0])

    trotter_circ = generate_time_evolution_circuit(
        hamiltonian,
        synthesis=SuzukiTrotter(order=order, reps=k),
        time=total_time,
    )

    circuit.compose(trotter_circ, inplace=True)

    mpf_circuits.append(pm.run(circuit))

mpf_circuits[-1].draw("mpl", fold=-1, scale=0.4)

Krok 2: Optimalizace problému pro spuštění na kvantovém hardwaru

Vraťme se k výpočtu střední hodnoty pro jeden časový bod. Vybereme Backend pro spuštění experimentu na hardwaru.

from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService

service = QiskitRuntimeService()
backend = service.least_busy(min_num_qubits=127)
print(backend)

qubits = list(range(backend.num_qubits))

Poté odstraníme odlehlé Qubit z mapy propojení, abychom zajistili, že fáze rozmístění Transpiler je nezahrne. Níže používáme hlášené vlastnosti Backendu uložené v objektu target a odstraňujeme Qubit, které mají buď chybu měření nebo chybu dvouQubitové Gate nad určitou hranicí (max_meas_err, max_twoq_err), nebo $T_2$ čas (určující ztrátu koherence) pod určitou hranicí (min_t2).

import copy
from qiskit.transpiler import Target, CouplingMap

target = backend.target
instruction_2q = "cz"

cmap = target.build_coupling_map(filter_idle_qubits=True)
cmap_list = list(cmap.get_edges())

max_meas_err = 0.012
min_t2 = 40
max_twoq_err = 0.005

# Remove qubits with bad measurement or t2
cust_cmap_list = copy.deepcopy(cmap_list)
for q in range(target.num_qubits):
    meas_err = target["measure"][(q,)].error
    if target.qubit_properties[q].t2 is not None:
        t2 = target.qubit_properties[q].t2 * 1e6
    else:
        t2 = 0
    if meas_err > max_meas_err or t2 < min_t2:
        # print(q)
        for q_pair in cmap_list:
            if q in q_pair:
                try:
                    cust_cmap_list.remove(q_pair)
                except ValueError:
                    continue

# Remove qubits with bad 2q gate or t2
for q in cmap_list:
    twoq_gate_err = target[instruction_2q][q].error
    if twoq_gate_err > max_twoq_err:
        # print(q)
        for q_pair in cmap_list:
            if q == q_pair:
                try:
                    cust_cmap_list.remove(q_pair)
                except ValueError:
                    continue

cust_cmap = CouplingMap(cust_cmap_list)

cust_target = Target.from_configuration(
    basis_gates=backend.configuration().basis_gates
    + ["measure"],  # or whatever new set of gates
    coupling_map=cust_cmap,
)

sorted_components = sorted(
    [list(comp.physical_qubits) for comp in cust_cmap.connected_components()],
    reverse=True,
)
print("size of largest component", len(sorted_components[0]))

size of largest component 10

Chceme nastavit max_meas_err, min_t2 a max_twoq_err tak, abychom nalezli dostatečně velkou podmnožinu Qubit, která podporuje spuštění Circuit. V našem případě stačí najít 1D řetězec 10 Qubit.

cust_cmap.draw()

Poté můžeme namapovat Circuit a pozorovatelnou na fyzické Qubit zařízení.

from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager

transpiler = generate_preset_pass_manager(
    optimization_level=3, target=cust_target
)

transpiled_circuits = [transpiler.run(circ) for circ in mpf_circuits]

qubits_layouts = [
    [
        idx
        for idx, qb in circuit.layout.initial_layout.get_physical_bits().items()
        if qb._register.name != "ancilla"
    ]
    for circuit in transpiled_circuits
]

transpiled_circuits = []
for circuit, layout in zip(mpf_circuits, qubits_layouts):
    transpiler = generate_preset_pass_manager(
        optimization_level=3, backend=backend, initial_layout=layout
    )
    transpiled_circuit = transpiler.run(circuit)
    transpiled_circuits.append(transpiled_circuit)

# transform the observable defined on virtual qubits to
# an observable defined on all physical qubits
isa_observables = [
    observable.apply_layout(circ.layout) for circ in transpiled_circuits
]

print(transpiled_circuits[-1].depth(lambda x: x.operation.num_qubits == 2))
print(transpiled_circuits[-1].count_ops())
transpiled_circuits[-1].draw("mpl", idle_wires=False, fold=False)

51
OrderedDict([('sx', 310), ('rz', 232), ('cz', 132), ('x', 19)])

Krok 3: Spuštění pomocí Qiskit primitiv

S primitivem Estimator můžeme získat odhad střední hodnoty z QPU. Spouštíme optimalizované AQC Circuit s dalšími technikami pro potlačení a zmírnění chyb.

from qiskit_ibm_runtime import EstimatorV2 as Estimator

estimator = Estimator(mode=backend)
estimator.options.default_shots = 30000

# Set simple error suppression/mitigation options
estimator.options.dynamical_decoupling.enable = True
estimator.options.twirling.enable_gates = True
estimator.options.twirling.enable_measure = True
estimator.options.twirling.num_randomizations = "auto"
estimator.options.twirling.strategy = "active-accum"
estimator.options.resilience.measure_mitigation = True
estimator.options.experimental.execution_path = "gen3-turbo"

estimator.options.resilience.zne_mitigation = True
estimator.options.resilience.zne.noise_factors = (1, 3, 5)
estimator.options.resilience.zne.extrapolator = ("exponential", "linear")

estimator.options.environment.job_tags = ["mpf small"]

job = estimator.run(
    [
        (circ, observable)
        for circ, observable in zip(transpiled_circuits, isa_observables)
    ]
)

Krok 4: Následné zpracování a vrácení výsledku v požadovaném klasickém formátu

Jediným krokem následného zpracování je zkombinování střední hodnoty získané z primitiv Qiskit Runtime při různých Trotterových krocích pomocí příslušných MPF koeficientů. Pro pozorovatelnou $A$ platí:

$\langle A \rangle_{\text{mpf}} = \text{Tr} [A \mu(t)] = \sum_{j} x_j \text{Tr} [A \rho_{k_j}] = \sum_{j} x_j \langle A \rangle_j$

Nejprve extrahujeme jednotlivé střední hodnoty získané pro každý z Trotterových Circuit:

result_exp = job.result()
evs_exp = [res.data.evs for res in result_exp]
evs_std = [res.data.stds for res in result_exp]

print(evs_exp)

[array(-0.06361607), array(-0.23820448), array(-0.50271805)]

Dále je jednoduše zkombinujeme s našimi MPF koeficienty, čímž získáme celkové střední hodnoty MPF. Níže to provedeme pro každý z různých způsobů, jakými jsme vypočítali $x$.

exact_mpf_std = np.sqrt(
    sum(
        [
            (coeff**2) * (std**2)
            for coeff, std in zip(coeffs_exact.value, evs_std)
        ]
    )
)
print(
    "Exact static MPF expectation value: ",
    evs_exp @ coeffs_exact.value,
    "+-",
    exact_mpf_std,
)
approx_mpf_std = np.sqrt(
    sum(
        [
            (coeff**2) * (std**2)
            for coeff, std in zip(coeffs_approx.value, evs_std)
        ]
    )
)
print(
    "Approximate static MPF expectation value: ",
    evs_exp @ coeffs_approx.value,
    "+-",
    approx_mpf_std,
)
dynamic_mpf_std = np.sqrt(
    sum(
        [
            (coeff**2) * (std**2)
            for coeff, std in zip(mpf_dynamic_coeffs_list[7], evs_std)
        ]
    )
)
print(
    "Dynamic MPF expectation value: ",
    evs_exp @ mpf_dynamic_coeffs_list[7],
    "+-",
    dynamic_mpf_std,
)

Exact static MPF expectation value:  -0.6329590442738475 +- 0.012798249760406036
Approximate static MPF expectation value:  -0.5690390035339492 +- 0.010459559917168473
Dynamic MPF expectation value:  -0.4655579758795695 +- 0.007639139186720507

Nakonec pro tento malý problém můžeme vypočítat přesnou referenční hodnotu pomocí scipy.linalg.expm takto:

from scipy.linalg import expm
from qiskit.quantum_info import Statevector

exp_H = expm(-1j * total_time * hamiltonian.to_matrix())

initial_state_circuit = QuantumCircuit(L)
initial_state_circuit.x([i for i in range(L) if i % 2 != 0])
initial_state = Statevector(initial_state_circuit).data

time_evolved_state = exp_H @ initial_state

exact_obs = (
    time_evolved_state.conj() @ observable.to_matrix() @ time_evolved_state
)
print("Exact expectation value ", exact_obs.real)

Exact expectation value  -0.39909900734489434

sym = {1: "^", 2: "s", 4: "p"}
# Get expectation values at all times for each Trotter step
for k, step in enumerate(mpf_trotter_steps):
    plt.errorbar(
        k,
        evs_exp[k],
        yerr=evs_std[k],
        alpha=0.5,
        markersize=4,
        marker=sym[step],
        color="grey",
        label=f"{mpf_trotter_steps[k]} Trotter steps",
    )  # , , )

plt.errorbar(
    3,
    evs_exp @ coeffs_exact.value,
    yerr=exact_mpf_std,
    markersize=4,
    marker="o",
    color="purple",
    label="Static MPF",
)

plt.errorbar(
    4,
    evs_exp @ coeffs_approx.value,
    yerr=approx_mpf_std,
    markersize=4,
    marker="o",
    color="orange",
    label="Approximate static MPF",
)

plt.errorbar(
    5,
    evs_exp @ mpf_dynamic_coeffs_list[7],
    yerr=dynamic_mpf_std,
    markersize=4,
    marker="o",
    color="pink",
    label="Dynamic MPF",
)

plt.axhline(
    y=exact_obs.real,
    linestyle="--",
    color="red",
    label="Exact time-evolution",
)

plt.title(
    f"Expectation values for (ZZ,{(L//2-1, L//2)}) at time {total_time} for the different methods "
)
plt.xlabel("Method")
plt.ylabel("Expectation Value")
plt.legend(loc="upper center", bbox_to_anchor=(0.5, -0.2), ncol=2)
plt.grid(alpha=0.1)
plt.tight_layout()
plt.show()

Ve výše uvedeném příkladu si metoda dynamické MPF vede nejlépe z hlediska střední hodnoty a zlepšuje výsledek oproti tomu, co bychom získali použitím samotného nejvyššího počtu Trotterových kroků. I když různé techniky MPF ne vždy dosahují lepší střední hodnoty oproti nejvyššímu počtu Trotterových kroků (jako přesný a přibližný model ve výše uvedeném grafu), směrodatná odchylka těchto hodnot dobře zachycuje zvýšenou varianci vzniklou použitím techniky MPF. To poukazuje na nejistotu kolem získané střední hodnoty, která vždy zahrnuje střední hodnotu, kterou bychom očekávali od přesné časové evoluce systému. Na druhou stranu střední hodnoty vypočítané s nižším počtem Trotterových kroků nedokážou zachytit přesnou střední hodnotu v rámci jejich nejistoty, a tedy s jistotou vracejí nesprávný výsledek.

def relative_error(ev, exact_ev):
    return abs(ev - exact_ev)

relative_error_k = [relative_error(ev, exact_obs.real) for ev in evs_exp]
relative_error_mpf = relative_error(evs_exp @ mpf_coeffs, exact_obs.real)
relative_error_approx_mpf = relative_error(
    evs_exp @ coeffs_approx.value, exact_obs.real
)
relative_error_dynamic_mpf = relative_error(
    evs_exp @ mpf_dynamic_coeffs_list[7], exact_obs.real
)

print("relative error for each trotter steps", relative_error_k)
print("relative error with MPF exact coeffs", relative_error_mpf)
print("relative error with MPF approx coeffs", relative_error_approx_mpf)
print("relative error with MPF dynamic coeffs", relative_error_dynamic_mpf)

relative error for each trotter steps [0.33548293650112293, 0.16089452939226306, 0.10361904247828346]
relative error with MPF exact coeffs 0.2338600369291003
relative error with MPF approx coeffs 0.16993999618905486
relative error with MPF dynamic coeffs 0.06645896853467514

Část II: zvětšení měřítka

Pojďme rozšířit problém za hranice toho, co je možné přesně simulovat. V této části se zaměříme na reprodukci některých výsledků uvedených v Ref. [3].

Krok 1: Mapování klasických vstupů na kvantový problém

Hamiltonián

Pro příklad ve velkém měřítku použijeme model XXZ na řetězci 50 míst:

$$\hat{\mathcal{H}}_{XXZ} = \sum_{i=1}^{L-1} J_{i,(i+1)}\left(X_i X_{(i+1)}+Y_i Y_{(i+1)}+ 2\cdot Z_i Z_{(i+1)} \right) \, ,$$

kde $J_{i,(i+1)}$ je náhodný koeficient odpovídající hraně $(i, i+1)$. Toto je Hamiltonián uvažovaný v demonstraci představené v Ref. [3].

L = 50
# Generate some coupling map to use for this example
coupling_map = CouplingMap.from_line(L, bidirectional=False)
graphviz_draw(coupling_map.graph, method="circo")

import numpy as np
from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp, Pauli

# Generate random coefficients for our XXZ Hamiltonian
np.random.seed(0)
even_edges = list(coupling_map.get_edges())[::2]
odd_edges = list(coupling_map.get_edges())[1::2]

Js = np.random.uniform(0.5, 1.5, size=L)
hamiltonian = SparsePauliOp(Pauli("I" * L))
for i, edge in enumerate(even_edges + odd_edges):
    hamiltonian += SparsePauliOp.from_sparse_list(
        [
            ("XX", (edge), 2 * Js[i]),
            ("YY", (edge), 2 * Js[i]),
            ("ZZ", (edge), 4 * Js[i]),
        ],
        num_qubits=L,
    )

print(hamiltonian)

SparsePauliOp(['IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXX', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYY', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZ', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'XXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'YYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'ZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII'],
              coeffs=[1.        +0.j, 2.09762701+0.j, 2.09762701+0.j, 4.19525402+0.j,
 2.43037873+0.j, 2.43037873+0.j, 4.86075747+0.j, 2.20552675+0.j,
 2.20552675+0.j, 4.4110535 +0.j, 2.08976637+0.j, 2.08976637+0.j,
 4.17953273+0.j, 1.8473096 +0.j, 1.8473096 +0.j, 3.6946192 +0.j,
 2.29178823+0.j, 2.29178823+0.j, 4.58357645+0.j, 1.87517442+0.j,
 1.87517442+0.j, 3.75034885+0.j, 2.783546  +0.j, 2.783546  +0.j,
 5.567092  +0.j, 2.92732552+0.j, 2.92732552+0.j, 5.85465104+0.j,
 1.76688304+0.j, 1.76688304+0.j, 3.53376608+0.j, 2.58345008+0.j,
 2.58345008+0.j, 5.16690015+0.j, 2.05778984+0.j, 2.05778984+0.j,
 4.11557968+0.j, 2.13608912+0.j, 2.13608912+0.j, 4.27217824+0.j,
 2.85119328+0.j, 2.85119328+0.j, 5.70238655+0.j, 1.14207212+0.j,
 1.14207212+0.j, 2.28414423+0.j, 1.1742586 +0.j, 1.1742586 +0.j,
 2.3485172 +0.j, 1.04043679+0.j, 1.04043679+0.j, 2.08087359+0.j,
 2.66523969+0.j, 2.66523969+0.j, 5.33047938+0.j, 2.5563135 +0.j,
 2.5563135 +0.j, 5.112627  +0.j, 2.7400243 +0.j, 2.7400243 +0.j,
 5.48004859+0.j, 2.95723668+0.j, 2.95723668+0.j, 5.91447337+0.j,
 2.59831713+0.j, 2.59831713+0.j, 5.19663426+0.j, 1.92295872+0.j,
 1.92295872+0.j, 3.84591745+0.j, 2.56105835+0.j, 2.56105835+0.j,
 5.12211671+0.j, 1.23654885+0.j, 1.23654885+0.j, 2.4730977 +0.j,
 2.27984204+0.j, 2.27984204+0.j, 4.55968409+0.j, 1.28670657+0.j,
 1.28670657+0.j, 2.57341315+0.j, 2.88933783+0.j, 2.88933783+0.j,
 5.77867567+0.j, 2.04369664+0.j, 2.04369664+0.j, 4.08739329+0.j,
 1.82932388+0.j, 1.82932388+0.j, 3.65864776+0.j, 1.52911122+0.j,
 1.52911122+0.j, 3.05822245+0.j, 2.54846738+0.j, 2.54846738+0.j,
 5.09693476+0.j, 1.91230066+0.j, 1.91230066+0.j, 3.82460133+0.j,
 2.1368679 +0.j, 2.1368679 +0.j, 4.2737358 +0.j, 1.0375796 +0.j,
 1.0375796 +0.j, 2.0751592 +0.j, 2.23527099+0.j, 2.23527099+0.j,
 4.47054199+0.j, 2.22419145+0.j, 2.22419145+0.j, 4.44838289+0.j,
 2.23386799+0.j, 2.23386799+0.j, 4.46773599+0.j, 2.88749616+0.j,
 2.88749616+0.j, 5.77499231+0.j, 2.3636406 +0.j, 2.3636406 +0.j,
 4.7272812 +0.j, 1.7190158 +0.j, 1.7190158 +0.j, 3.4380316 +0.j,
 1.87406391+0.j, 1.87406391+0.j, 3.74812782+0.j, 2.39526239+0.j,
 2.39526239+0.j, 4.79052478+0.j, 1.12045094+0.j, 1.12045094+0.j,
 2.24090189+0.j, 2.33353343+0.j, 2.33353343+0.j, 4.66706686+0.j,
 2.34127574+0.j, 2.34127574+0.j, 4.68255148+0.j, 1.42076512+0.j,
 1.42076512+0.j, 2.84153024+0.j, 1.2578526 +0.j, 1.2578526 +0.j,
 2.51570519+0.j, 1.6308567 +0.j, 1.6308567 +0.j, 3.2617134 +0.j])

Jako pozorovatelnou veličinu zvolíme $Z_{24}Z_{25}$, jak je vidět ve spodním panelu Obr. 5 v Ref. [3].

observable = SparsePauliOp.from_sparse_list(
    [("ZZ", (L // 2 - 1, L // 2), 1.0)], num_qubits=L
)
print(observable)

SparsePauliOp(['IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII'],
              coeffs=[1.+0.j])

Volba Trotterových kroků

Experiment představený na Obr. 4 v Ref. [3] používá $k_j = [2, 3, 4]$ symetrické Trotterovy kroky řádu $2$. Zaměřujeme se na výsledky pro čas $t=3$, kde MPF a PF s vyšším počtem Trotterových kroků (v tomto případě 6) mají stejnou Trotterovu chybu. Očekávaná hodnota MPF je však vypočítána z okruhů odpovídajících nižšímu počtu Trotterových kroků, a jsou tedy mělčí. V praxi, i když MPF a okruh s hlubšími Trotterovými kroky mají stejnou Trotterovu chybu, očekáváme, že experimentální očekávaná hodnota vypočítaná z okruhů MPF bude blíže teoretické hodnotě, protože zahrnuje spuštění mělčích okruhů méně vystavených hardwarovému šumu ve srovnání s okruhem odpovídajícím PF s vyšším počtem Trotterových kroků.

total_time = 3
mpf_trotter_steps = [2, 3, 4]
order = 2
symmetric = True

Nastavení LSE

Zde se podíváme na statické koeficienty MPF pro tento problém.

lse = setup_static_lse(mpf_trotter_steps, order=order, symmetric=symmetric)
mpf_coeffs = lse.solve()
print(
    f"The static coefficients associated with the ansatze are: {mpf_coeffs}"
)
print("L1 norm:", np.linalg.norm(mpf_coeffs, ord=1))

The static coefficients associated with the ansatze are: [ 0.26666667 -2.31428571  3.04761905]
L1 norm: 5.628571428571431

model_approx, coeffs_approx = setup_sum_of_squares_problem(
    lse, max_l1_norm=2.0
)
model_approx.solve()
print(coeffs_approx.value)
print(
    "L1 norm of the approximate coefficients:",
    np.linalg.norm(coeffs_approx.value, ord=1),
)

[-0.24255546 -0.25744454  1.5       ]
L1 norm of the approximate coefficients: 2.0

Dynamické koeficienty

# Create approximate time-evolution circuits
single_2nd_order_circ = generate_time_evolution_circuit(
    hamiltonian, time=1.0, synthesis=SuzukiTrotter(reps=1, order=order)
)
single_2nd_order_circ = pm.run(single_2nd_order_circ)  # collect XX and YY

# Find layers in the circuit
layers = slice_by_depth(single_2nd_order_circ, max_slice_depth=1)

# Create tensor network models
models = [
    LayerModel.from_quantum_circuit(layer, conserve="Sz") for layer in layers
]

# Create the time-evolution object
approx_factory = partial(
    LayerwiseEvolver,
    layers=models,
    options={
        "preserve_norm": False,
        "trunc_params": {
            "chi_max": 64,
            "svd_min": 1e-8,
            "trunc_cut": None,
        },
        "max_delta_t": 4,
    },
)

# Create exact time-evolution circuits
single_4th_order_circ = generate_time_evolution_circuit(
    hamiltonian, time=1.0, synthesis=SuzukiTrotter(reps=1, order=4)
)
single_4th_order_circ = pm.run(single_4th_order_circ)
exact_model_layers = [
    LayerModel.from_quantum_circuit(layer, conserve="Sz")
    for layer in slice_by_depth(single_4th_order_circ, max_slice_depth=1)
]

# Create the time-evolution object
exact_factory = partial(
    LayerwiseEvolver,
    layers=exact_model_layers,
    dt=0.1,
    options={
        "preserve_norm": False,
        "trunc_params": {
            "chi_max": 64,
            "svd_min": 1e-8,
            "trunc_cut": None,
        },
        "max_delta_t": 3,
    },
)

def identity_factory():
    return MPOState.initialize_from_lattice(models[0].lat, conserve=True)

mps_initial_state = MPS_neel_state(models[0].lat)

lse = setup_dynamic_lse(
    mpf_trotter_steps,
    total_time,
    identity_factory,
    exact_factory,
    approx_factory,
    mps_initial_state,
)
problem, coeffs = setup_frobenius_problem(lse)
try:
    problem.solve()
    mpf_dynamic_coeffs = coeffs.value
except Exception as error:
    print(error, "Calculation Failed for time", total_time)
print("")

Sestavení každého z Trotterových okruhů v naší MPF dekompozici

from qiskit.synthesis import SuzukiTrotter
from qiskit_addon_utils.problem_generators import (
    generate_time_evolution_circuit,
)
from qiskit import QuantumCircuit

mpf_circuits = []
for k in mpf_trotter_steps:
    # Initial state preparation |1010..>
    circuit = QuantumCircuit(L)
    circuit.x([i for i in range(L) if i % 2])

    trotter_circ = generate_time_evolution_circuit(
        hamiltonian,
        synthesis=SuzukiTrotter(reps=k, order=order),
        time=total_time,
    )

    circuit.compose(trotter_circ, qubits=range(L), inplace=True)

    mpf_circuits.append(circuit)

Sestavení Trotterova okruhu se srovnatelnou Trotterovou chybou jako MPF

k = 6

# Initial state preparation |1010..>
comp_circuit = QuantumCircuit(L)
comp_circuit.x([i for i in range(L) if i % 2])

trotter_circ = generate_time_evolution_circuit(
    hamiltonian,
    synthesis=SuzukiTrotter(reps=k, order=order),
    time=total_time,
)

comp_circuit.compose(trotter_circ, qubits=range(L), inplace=True)

mpf_circuits.append(comp_circuit)

Krok 2: Optimalizace problému pro provádění na kvantovém hardwaru

import copy
from qiskit.transpiler import Target, CouplingMap

target = backend.target
instruction_2q = "cz"

cmap = target.build_coupling_map(filter_idle_qubits=True)
cmap_list = list(cmap.get_edges())

max_meas_err = 0.055
min_t2 = 30
max_twoq_err = 0.01

# Remove qubits with bad measurement or t2
cust_cmap_list = copy.deepcopy(cmap_list)
for q in range(target.num_qubits):
    meas_err = target["measure"][(q,)].error
    if target.qubit_properties[q].t2 is not None:
        t2 = target.qubit_properties[q].t2 * 1e6
    else:
        t2 = 0
    if meas_err > max_meas_err or t2 < min_t2:
        # print(q)
        for q_pair in cmap_list:
            if q in q_pair:
                try:
                    cust_cmap_list.remove(q_pair)
                except ValueError:
                    continue

# Remove qubits with bad 2q gate or t2
for q in cmap_list:
    twoq_gate_err = target[instruction_2q][q].error
    if twoq_gate_err > max_twoq_err:
        # print(q)
        for q_pair in cmap_list:
            if q == q_pair:
                try:
                    cust_cmap_list.remove(q_pair)
                except ValueError:
                    continue

cust_cmap = CouplingMap(cust_cmap_list)

cust_target = Target.from_configuration(
    basis_gates=backend.configuration().basis_gates
    + ["measure"],  # or whatever new set of gates
    coupling_map=cust_cmap,
)

sorted_components = sorted(
    [list(comp.physical_qubits) for comp in cust_cmap.connected_components()],
    reverse=True,
)
print("size of largest component", len(sorted_components[0]))

size of largest component 73

from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager

transpiler = generate_preset_pass_manager(
    optimization_level=3, target=cust_target
)

transpiled_circuits = [transpiler.run(circ) for circ in mpf_circuits]

qubits_layouts = [
    [
        idx
        for idx, qb in circuit.layout.initial_layout.get_physical_bits().items()
        if qb._register.name != "ancilla"
    ]
    for circuit in transpiled_circuits
]

transpiled_circuits = []
for circuit, layout in zip(mpf_circuits, qubits_layouts):
    transpiler = generate_preset_pass_manager(
        optimization_level=3, backend=backend, initial_layout=layout
    )
    transpiled_circuit = transpiler.run(circuit)
    transpiled_circuits.append(transpiled_circuit)

# transform the observable defined on virtual qubits to
# an observable defined on all physical qubits
isa_observables = [
    observable.apply_layout(circ.layout) for circ in transpiled_circuits
]

Krok 3: Spuštění pomocí primitiv Qiskit

from qiskit_ibm_runtime import EstimatorV2 as Estimator

estimator = Estimator(mode=backend)
estimator.options.default_shots = 30000

# Set simple error suppression/mitigation options
estimator.options.dynamical_decoupling.enable = True
estimator.options.twirling.enable_gates = True
estimator.options.twirling.enable_measure = True
estimator.options.twirling.num_randomizations = "auto"
estimator.options.twirling.strategy = "active-accum"
estimator.options.resilience.measure_mitigation = True
estimator.options.experimental.execution_path = "gen3-turbo"

estimator.options.resilience.zne_mitigation = True
estimator.options.resilience.zne.noise_factors = (1, 1.2, 1.4)
estimator.options.resilience.zne.extrapolator = "linear"

estimator.options.environment.job_tags = ["mpf large"]

job_50 = estimator.run(
    [
        (circ, observable)
        for circ, observable in zip(transpiled_circuits, isa_observables)
    ]
)

Krok 4: Post-zpracování a vrácení výsledku v požadovaném klasickém formátu

result = job_50.result()
evs = [res.data.evs for res in result]
std = [res.data.stds for res in result]

print(evs)
print(std)

[array(-0.08034071), array(-0.00605026), array(-0.15345759), array(-0.18127293)]
[array(0.04482517), array(0.03438413), array(0.21540776), array(0.21520829)]

exact_mpf_std = np.sqrt(
    sum([(coeff**2) * (std**2) for coeff, std in zip(mpf_coeffs, std[:3])])
)
print(
    "Exact static MPF expectation value: ",
    evs[:3] @ mpf_coeffs,
    "+-",
    exact_mpf_std,
)
approx_mpf_std = np.sqrt(
    sum(
        [
            (coeff**2) * (std**2)
            for coeff, std in zip(coeffs_approx.value, std[:3])
        ]
    )
)
print(
    "Approximate static MPF expectation value: ",
    evs[:3] @ coeffs_approx.value,
    "+-",
    approx_mpf_std,
)
dynamic_mpf_std = np.sqrt(
    sum(
        [
            (coeff**2) * (std**2)
            for coeff, std in zip(mpf_dynamic_coeffs, std[:3])
        ]
    )
)
print(
    "Dynamic MPF expectation value: ",
    evs[:3] @ mpf_dynamic_coeffs,
    "+-",
    dynamic_mpf_std,
)

Exact static MPF expectation value:  -0.47510243192011536 +- 0.6613940032465087
Approximate static MPF expectation value:  -0.20914170384216998 +- 0.32341567460419135
Dynamic MPF expectation value:  -0.07994951978722761 +- 0.07423091963310202

sym = {2: "^", 3: "s", 4: "p"}
# Get expectation values at all times for each Trotter step
for k, step in enumerate(mpf_trotter_steps):
    plt.errorbar(
        k,
        evs[k],
        yerr=std[k],
        alpha=0.5,
        markersize=4,
        marker=sym[step],
        color="grey",
        label=f"{mpf_trotter_steps[k]} Trotter steps",
    )

plt.errorbar(
    3,
    evs[-1],
    yerr=std[-1],
    alpha=0.5,
    markersize=8,
    marker="x",
    color="blue",
    label="6 Trotter steps",
)

plt.errorbar(
    4,
    evs[:3] @ mpf_coeffs,
    yerr=exact_mpf_std,
    markersize=4,
    marker="o",
    color="purple",
    label="Static MPF",
)

plt.errorbar(
    5,
    evs[:3] @ coeffs_approx.value,
    yerr=approx_mpf_std,
    markersize=4,
    marker="o",
    color="orange",
    label="Approximate static MPF",
)

plt.errorbar(
    6,
    evs[:3] @ mpf_dynamic_coeffs,
    yerr=dynamic_mpf_std,
    markersize=4,
    marker="o",
    color="pink",
    label="Dynamic MPF",
)

exact_obs = -0.24384471447172074  # Calculated via Tensor Network calculation
plt.axhline(
    y=exact_obs, linestyle="--", color="red", label="Exact time-evolution"
)

plt.title(
    f"Expectation values for (ZZ,{(L//2-1, L//2)}) at time {total_time} for the different methods "
)
plt.xlabel("Method")
plt.ylabel("Expectation Value")
plt.legend(loc="upper center", bbox_to_anchor=(0.5, -0.2), ncol=2)
plt.grid(alpha=0.1)
plt.tight_layout()
plt.show()

Při spouštění obvodů na hardwaru se můžeme setkat s dalšími výzvami při získávání přesných očekávaných hodnot kvůli přítomnosti hardwarového šumu. Ten není v MPF formalismu zohledněn a může působit proti MPF řešení. Například to může být důvod, proč dynamické koeficienty v grafu neposkytují lepší odhad očekávané hodnoty ve srovnání s přibližným statickým koeficientem. To znamená, že přibližný evolver, který simuluje přibližný obvod, nepřesně odráží výsledky získané spouštěním přibližných obvodů v přítomnosti hardwarového šumu. Z těchto důvodů se doporučuje kombinovat různé techniky zmírňování chyb, aby se výsledky co nejvíce přiblížily ideálním hodnotám pro každý z produktových vzorců. To prokáže konzistentní přínosy MPF přístupu.

Celkově přibližné statické koeficienty stále poskytují přesnější řešení než produktový vzorec s vyšším počtem Trotterových kroků při stejném množství Trotterovy chyby v bezšumovém nastavení.

Je také důležité poznamenat, že v příkladu reprodukujícím experiment z Ref. [3] je časový bod $t=3$ za hranicí, při které se očekává, že PF s $k=2$ funguje dobře, což je $t/k>1$, jak je diskutováno v tomto průvodci.

Reference

[1] Vazquez, A. C., Egger, D. J., Ochsner, D., & Woerner, S. (2023). Well-conditioned multi-product formulas for hardware-friendly Hamiltonian simulation. Quantum, 7, 1067.

[2] Zhuk, S., Robertson, N. F., & Bravyi, S. (2024). Trotter error bounds and dynamic multi-product formulas for Hamiltonian simulation. Physical Review Research, 6(3), 033309.

[3] Robertson, N. F., et al. (2024). Tensor network enhanced dynamic multiproduct formulas. arXiv preprint arXiv:2407.17405.