Blochova sféra

Existuje užitečný geometrický způsob, jak reprezentovat stavy qubitů, známý jako Blochova sféra. Je velmi praktická, ale bohužel funguje pouze pro qubity — analogická reprezentace přestává odpovídat sférickému objektu, jakmile máme tři nebo více klasických stavů našeho systému.

Stavy qubitů jako body na sféře

Začněme tím, že se zamyslíme nad kvantovým stavovým vektorem qubitu: $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle.$ Můžeme se omezit na vektory, pro které je $\alpha$ nezáporné reálné číslo, protože každý stavový vektor qubitu je ekvivalentní až na globální fázi takovému, pro který platí $\alpha \geq 0.$ To nám umožňuje zapsat

$$\vert\psi\rangle = \cos\bigl(\theta/2\bigr) \vert 0\rangle + e^{i\phi} \sin\bigl(\theta/2\bigr) \vert 1\rangle$$

pro dvě reálná čísla $\theta \in [0,\pi]$ a $\phi\in[0,2\pi).$ Zde necháváme $\theta$ nabývat hodnot od $0$ do $\pi$ a dělíme dvěma v argumentu sinu a kosinu, protože to je konvenční způsob parametrizace vektorů tohoto typu a o něco později nám to věci zjednoduší.

Není úplně pravda, že čísla $\theta$ a $\phi$ jsou jednoznačně určena daným kvantovým stavovým vektorem $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle,$ ale je to téměř tak. Konkrétně, pokud $\beta = 0,$ pak $\theta = 0$ a nezáleží na tom, jakou hodnotu má $\phi$, takže ji lze zvolit libovolně. Podobně, pokud $\alpha = 0,$ pak $\theta = \pi$ a opět je $\phi$ irelevantní (protože náš stav je ekvivalentní $e^{i\phi}\vert 1\rangle$ pro libovolné $\phi$ až na globální fázi). Pokud však ani $\alpha$ ani $\beta$ není nula, pak existuje jednoznačná volba dvojice $(\theta,\phi)$, pro kterou je $\vert\psi\rangle$ ekvivalentní $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ až na globální fázi.

Dále se podívejme na reprezentaci tohoto stavu pomocí matice hustoty.

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\theta/2) & e^{-i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2)\\[2mm] e^{i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2) & \sin^2(\theta/2) \end{pmatrix}$$

Můžeme použít některé trigonometrické identity,

$$\begin{gathered} \cos^2(\theta/2) = \frac{1 + \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \sin^2(\theta/2) = \frac{1 - \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \cos(\theta/2) \sin(\theta/2) = \frac{\sin(\theta)}{2}, \end{gathered}$$

a také vzorec $e^{i\phi} = \cos(\phi) + i\sin(\phi),$ abychom matici hustoty zjednodušili následovně.

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 + \cos(\theta) & (\cos(\phi) - i \sin(\phi)) \sin(\theta)\\[1mm] (\cos(\phi) + i \sin(\phi)) \sin(\theta) & 1 - \cos(\theta) \end{pmatrix}$$

Díky tomu lze tuto matici hustoty snadno vyjádřit jako lineární kombinaci Pauliho matic:

$$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\[1mm] i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Konkrétně docházíme k závěru, že

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{\mathbb{I} + \sin(\theta) \cos(\phi)\sigma_x + \sin(\theta)\sin(\phi) \sigma_y + \cos(\theta) \sigma_z}{2}.$$

Koeficienty u $\sigma_x,$ $\sigma_y$ a $\sigma_z$ v čitateli tohoto výrazu jsou všechna reálná čísla, takže je můžeme shromáždit a vytvořit z nich vektor v obyčejném trojrozměrném euklidovském prostoru.

$$\bigl(\sin(\theta) \cos(\phi), \sin(\theta)\sin(\phi), \cos(\theta)\bigr)$$

Jde ve skutečnosti o jednotkový vektor. Pomocí sférických souřadnic jej lze zapsat jako $(1,\theta,\phi).$ První souřadnice, $1,$ představuje poloměr neboli radiální vzdálenost (která je v tomto případě vždy $1$), $\theta$ představuje polární úhel a $\phi$ představuje azimutální úhel.

Jednoduše řečeno, pokud si sféru představíme jako planetu Zemi, polární úhel $\theta$ udává, jak daleko se otočíme na jih od severního pólu k danému bodu, od $0$ do $\pi = 180^{\circ},$ zatímco azimutální úhel $\phi$ udává, jak daleko se otočíme na východ od nultého poledníku, od $0$ do $2\pi = 360^{\circ}.$ To předpokládá, že nultý poledník definujeme jako křivku na povrchu sféry od jednoho pólu k druhému, která prochází kladnou osou $x$.

Každý bod na sféře lze popsat tímto způsobem — což znamená, že body, které získáme, když projdeme všechny možné čisté stavy qubitu, odpovídají přesně sféře ve $3$ reálných rozměrech. (Tato sféra se obvykle nazývá jednotková $2$-sféra, protože povrch této sféry je dvourozměrný.)

Když přiřadíme body na jednotkové $2$-sféře čistým stavům qubitů, získáme reprezentaci těchto stavů pomocí Blochovy sféry.

Šest důležitých příkladů

1. Standardní báze $\{\vert 0\rangle,\vert 1\rangle\}.$ Začněme stavem $\vert 0\rangle.$ Jako matici hustoty jej můžeme zapsat takto.

   $$\vert 0 \rangle \langle 0 \vert = \frac{\mathbb{I} + \sigma_z}{2}$$

   Shromážděním koeficientů Pauliho matic v čitateli vidíme, že odpovídající bod na jednotkové $2$-sféře v kartézských souřadnicích je $(0,0,1).$ Ve sférických souřadnicích je tento bod $(1,0,\phi),$ kde $\phi$ může být libovolný úhel. To je konzistentní s výrazem

   $$\vert 0\rangle = \cos(0) \vert 0\rangle + e^{i \phi} \sin(0) \vert 1\rangle,$$

   který také platí pro libovolné $\phi.$ Intuitivně řečeno, polární úhel $\theta$ je nula, takže jsme na severním pólu Blochovy sféry, kde je azimutální úhel irelevantní.

   Podobně lze matici hustoty pro stav $\vert 1\rangle$ zapsat takto.

   $$\vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \frac{\mathbb{I} - \sigma_z}{2}$$

   Tentokrát jsou kartézské souřadnice $(0,0,-1).$ Ve sférických souřadnicích je tento bod $(1,\pi,\phi)$, kde $\phi$ může být libovolný úhel. V tomto případě je polární úhel celý $\pi,$ takže jsme na jižním pólu, kde je azimutální úhel opět irelevantní.

2. Báze $\{\vert + \rangle, \vert - \rangle\}.$ Pro matice hustoty odpovídající těmto stavům máme tyto výrazy.

   $$\begin{aligned} \vert {+} \rangle\langle {+} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_x}{2}\\[2mm] \vert {-} \rangle\langle {-} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_x}{2} \end{aligned}$$

   Odpovídající body na jednotkové $2$-sféře mají kartézské souřadnice $(1,0,0)$ a $(-1,0,0)$ a sférické souřadnice $(1,\pi/2,0)$ a $(1,\pi/2,\pi)$.

   Jinými slovy, $\vert +\rangle$ odpovídá bodu, kde kladná osa $x$ protíná jednotkovou $2$-sféru, a $\vert -\rangle$ odpovídá bodu, kde ji protíná záporná osa $x$. Intuitivněji řečeno, $\vert +\rangle$ leží na rovníku Blochovy sféry tam, kde se setkává s nultým poledníkem, a $\vert - \rangle$ leží na rovníku na opačné straně sféry.

3. Báze $\{\vert {+i} \rangle, \vert {-i} \rangle\}.$ Jak jsme viděli dříve v této lekci, tyto dva stavy jsou definovány takto:

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle\\[2mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

   Tentokrát máme tyto výrazy.

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_y}{2}\\[2mm] \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_y}{2} \end{aligned}$$

   Odpovídající body na jednotkové $2$-sféře mají kartézské souřadnice $(0,1,0)$ a $(0,-1,0)$ a sférické souřadnice $(1,\pi/2,\pi/2)$ a $(1,\pi/2,3\pi/2)$.

   Jinými slovy, $\vert {+i} \rangle$ odpovídá bodu, kde kladná osa $y$ protíná jednotkovou $2$-sféru, a $\vert {-i} \rangle$ bodu, kde ji protíná záporná osa $y$.

Zde je další třída kvantových stavových vektorů, která se v tomto seriálu občas objevovala, včetně dříve v této lekci.

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle = \cos(\alpha) \vert 0\rangle + \sin(\alpha) \vert 1\rangle \qquad \text{(pro $\alpha \in [0,\pi)$)}$$

Reprezentace každého z těchto stavů pomocí matice hustoty je následující.

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle \langle \psi_{\alpha} \vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\alpha) & \cos(\alpha)\sin(\alpha)\\[2mm] \cos(\alpha)\sin(\alpha) & \sin^2(\alpha) \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} + \sin(2\alpha) \sigma_x + \cos(2\alpha) \sigma_z}{2}$$

Následující obrázek ilustruje odpovídající body na Blochově sféře pro několik voleb $\alpha.$

Konvexní kombinace bodů

Podobně jako jsme již diskutovali u matic hustoty, můžeme brát konvexní kombinace bodů na Blochově sféře a získat tak reprezentace matic hustoty qubitů. Obecně to vede k bodům uvnitř Blochovy sféry, které reprezentují matice hustoty stavů, jež nejsou čisté. Někdy odkazujeme na Blochovu kouli, když chceme být explicitní ohledně zahrnutí bodů uvnitř Blochovy sféry jako reprezentací matic hustoty qubitů.

Například jsme viděli, že matici hustoty $\frac{1}{2}\mathbb{I},$ která reprezentuje úplně smíšený stav qubitu, lze zapsat těmito dvěma alternativními způsoby:

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \quad\text{a}\quad \frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert + \frac{1}{2} \vert -\rangle\langle -\vert.$$

Máme také

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert {+i}\rangle\langle {+i} \vert + \frac{1}{2} \vert {-i} \rangle\langle {-i}\vert,$$

a obecněji můžeme použít libovolné dva ortogonální stavové vektory qubitu (které budou vždy odpovídat dvěma protilehlým bodům na Blochově sféře). Pokud zprůměrujeme odpovídající body na Blochově sféře podobným způsobem, získáme tentýž bod, který je v tomto případě ve středu sféry. To je konzistentní s pozorováním, že

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{\mathbb{I} + 0 \cdot \sigma_x + 0 \cdot \sigma_y + 0 \cdot \sigma_z}{2},$$

což nám dává kartézské souřadnice $(0,0,0).$

Jiným příkladem konvexních kombinací bodů na Blochově sféře je ten, který byl diskutován v předchozí podsekci.

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8} \rangle \langle \psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8} \rangle \langle \psi_{5\pi/8}\vert$$

Následující obrázek ilustruje tyto dva různé způsoby, jak získat tuto matici hustoty jako konvexní kombinaci čistých stavů.