Vícenásobné systémy a redukované stavy

Nyní se zaměříme na to, jak matice hustoty fungují pro více systémů, včetně příkladů různých typů korelací, které mohou vyjádřit, a jak je lze použít k popisu stavů izolovaných částí složených systémů.

Vice systémů

Matice hustoty mohou reprezentovat stavy více systémů analogickým způsobem jako stavové vektory ve zjednodušené formulaci kvantové informace, přičemž se řídí stejnou základní myšlenkou, že více systémů lze nahlížet, jako by tvořily jeden složený systém. Matematicky řečeno, řádky a sloupce matic hustoty reprezentujících stavy více systémů odpovídají kartézskému součinu množin klasických stavů jednotlivých systémů.

Připomeň si například reprezentace čtyř Bellových stavů pomocí stavových vektorů.

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[2mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Reprezentace těchto stavů pomocí matic hustoty jsou následující.

$$\vert \phi^+ \rangle \langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \phi^- \rangle \langle \phi^- \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^+ \rangle \langle \psi^+ \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^- \rangle \langle \psi^- \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Produktové stavy

Podobně jako u stavových vektorů, tenzorové součiny matic hustoty reprezentují nezávislost mezi stavy více systémů. Například pokud je $\mathsf{X}$ připraven ve stavu reprezentovaném maticí hustoty $\rho$ a $\mathsf{Y}$ je nezávisle připraven ve stavu reprezentovaném $\sigma,$ pak matice hustoty popisující stav $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ je tenzorový součin $\rho\otimes\sigma.$

Používá se zde stejná terminologie jako ve zjednodušené formulaci kvantové informace: stavy tohoto tvaru se nazývají produktové stavy.

Korelované a provázané stavy

Stavy, které nelze vyjádřit jako produktové stavy, reprezentují korelace mezi systémy. Ve skutečnosti existují různé typy korelací, které lze maticemi hustoty reprezentovat. Zde je několik příkladů.

1. Korelované klasické stavy. Například situaci, kdy Alice a Bob sdílejí náhodný bit, můžeme vyjádřit takto:

   $$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

2. Soubory kvantových stavů. Předpokládejme, že máme $m$ matic hustoty $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ všechny reprezentující stavy systému $\mathsf{X},$ a náhodně vybereme jeden z těchto stavů podle vektoru pravděpodobnosti $(p_0,\ldots,p_{m-1}).$ Takový proces je reprezentován souborem (ensemble) stavů, který zahrnuje specifikaci matic hustoty $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ stejně jako pravděpodobnosti $(p_0,\ldots,p_{m-1}).$ Souboru stavů můžeme přiřadit jedinou matici hustoty, popisující jak náhodný výběr $k,$ tak odpovídající matici hustoty $\rho_k,$ a to takto:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \vert k\rangle \langle k \vert \otimes \rho_k.$$

   Pro upřesnění, toto je stav dvojice $(\mathsf{Y},\mathsf{X}),$ kde $\mathsf{Y}$ reprezentuje klasický výběr $k$ — takže předpokládáme, že jeho množina klasických stavů je $\{0,\ldots,m-1\}.$ Stavy tohoto tvaru se někdy nazývají klasicko-kvantové stavy.

3. Separabilní stavy. Můžeme si představit situace, ve kterých máme klasickou korelaci mezi kvantovými stavy dvou systémů, a to takto:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \rho_k \otimes \sigma_k.$$

   Slovy řečeno, pro každé $k$ od $0$ do $m-1$ platí, že s pravděpodobností $p_k$ je systém vlevo ve stavu $\rho_k$ a systém vpravo ve stavu $\sigma_k.$ Stavy tohoto druhu se nazývají separabilní stavy. Tento koncept lze rozšířit i na více než dva systémy.

4. Provázané stavy. Ne všechny stavy dvojic systémů jsou separabilní. V obecné formulaci kvantové informace se takto definuje provázanost (entanglement): stavy, které nejsou separabilní, se nazývají provázané.

   Všimni si, že tato terminologie je konzistentní s terminologií, kterou jsme používali v kurzu „Základy kvantové informace". Tam jsme řekli, že kvantové stavové vektory, které nejsou produktovými stavy, reprezentují provázané stavy — a skutečně, pro jakýkoli kvantový stavový vektor $\vert\psi\rangle,$ který není produktovým stavem, zjistíme, že stav reprezentovaný maticí hustoty $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$ není separabilní. Provázanost je pro stavy, které nejsou čisté, mnohem komplikovanější.

Redukované stavy a parciální stopa

S maticemi hustoty v kontextu více systémů můžeme udělat jednu jednoduchou, ale důležitou věc, a tou je popsat stavy, které získáme ignorováním některých systémů. Když je více systémů v kvantovém stavu a jeden nebo více z nich zahodíme nebo se rozhodneme ignorovat, stav zbývajících systémů se nazývá redukovaný stav těchto systémů. Popis redukovaných stavů pomocí matic hustoty lze snadno získat prostřednictvím zobrazení, známého jako parciální stopa, z matice hustoty popisující stav celku.

Příklad: redukované stavy pro e-bit

Předpokládejme, že máme dvojici Qubitů $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ které jsou společně ve stavu

$$\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle.$$

Můžeme si představit, že Alice drží qubit $\mathsf{A}$ a Bob drží $\mathsf{B},$ tedy dohromady sdílejí e-bit. Rádi bychom měli popis Alicina Qubitu $\mathsf{A}$ v izolaci pomocí matice hustoty, jako by se Bob rozhodl vzít svůj qubit a vydat se ke hvězdám, aby už nikdy nebyl spatřen.

Nejprve se zamysleme nad tím, co by se stalo, kdyby se Bob někde na své cestě rozhodl změřit svůj qubit standardním bázovým měřením. Pokud by to udělal, získal by výsledek $0$ s pravděpodobností

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 0\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

v takovém případě se stav Alicina Qubitu stane $\vert 0\rangle;$ a výsledek $1$ by získal s pravděpodobností

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 1\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

v takovém případě se stav Alicina Qubitu stane $\vert 1\rangle.$

Takže pokud ignorujeme Bobův výsledek měření a zaměříme se na Alicin qubit, dojdeme k závěru, že získá stav $\vert 0\rangle$ s pravděpodobností $1/2$ a stav $\vert 1\rangle$ s pravděpodobností $1/2.$ To nás vede k popisu stavu Alicina Qubitu v izolaci pomocí matice hustoty

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \mathbb{I}_{\mathsf{A}}.$$

To znamená, že Alicin qubit je v úplně smíšeném stavu. Pro upřesnění, tento popis stavu Alicina Qubitu v izolaci nezahrnuje Bobův výsledek měření; Boba zcela ignorujeme.

Nyní se může zdát, že popis matice hustoty Alicina Qubitu v izolaci, který jsme právě získali, závisí na předpokladu, že Bob změřil svůj qubit, ale ve skutečnosti tomu tak není. To, co jsme udělali, je, že jsme využili možnost, že Bob změří svůj qubit, abychom na základě toho, co jsme se již naučili, argumentovali, že úplně smíšený stav vznikne jako stav Alicina Qubitu. Samozřejmě nic neříká, že Bob musí svůj qubit změřit — ale nic neříká, že to neudělá. A pokud je vzdálen na světelné roky, pak nic, co udělá nebo neudělá, nemůže nijak ovlivnit stav Alicina Qubitu při pohledu v izolaci. Jinými slovy, popis, který jsme získali pro stav Alicina Qubitu, je jediný popis konzistentní s nemožností komunikace rychlejší než světlo.

Můžeme také uvažovat stav Bobova Qubitu $\mathsf{B},$ který je rovněž úplně smíšeným stavem. Skutečně, pro všechny čtyři Bellovy stavy zjistíme, že redukovaný stav jak Alicina Qubitu, tak Bobova Qubitu je úplně smíšený stav.

Redukované stavy pro obecný kvantový stavový vektor

Nyní zobecníme právě probíraný příklad na dva libovolné systémy $\mathsf{A}$ a $\mathsf{B},$ nemusí to být nutně Qubity ve stavu $\vert \phi^+\rangle.$ Budeme předpokládat, že množiny klasických stavů systémů $\mathsf{A}$ a $\mathsf{B}$ jsou $\Sigma$ a $\Gamma,$ v daném pořadí. Matice hustoty $\rho$ reprezentující stav kombinovaného systému $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ má tedy řádkové a sloupcové indexy odpovídající kartézskému součinu $\Sigma\times\Gamma.$

Předpokládejme, že stav $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ je popsán kvantovým stavovým vektorem $\vert\psi\rangle,$ takže matice hustoty popisující tento stav je $\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert.$ Získáme popis matice hustoty stavu systému $\mathsf{A}$ v izolaci, který se konvenčně značí $\rho_{\mathsf{A}}.$ (Místo dolního indexu se někdy používá i horní index.)

Stavový vektor $\vert\psi\rangle$ lze vyjádřit ve tvaru

$$\vert\psi\rangle = \sum_{b\in\Gamma} \vert\phi_b\rangle \otimes \vert b\rangle$$

pro jednoznačně určenou kolekci vektorů $\{\vert\phi_b\rangle : b\in\Gamma\}.$ Tyto vektory lze zejména určit pomocí jednoduchého vzorce.

$$\vert\phi_b\rangle = \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr)\vert\psi\rangle$$

Podobným uvažováním jako v předchozím příkladu s e-bitem, kdybychom měřili systém $\mathsf{B}$ měřením ve standardní bázi, získali bychom každý výsledek $b\in\Gamma$ s pravděpodobností $\|\vert\phi_b\rangle\|^2,$ přičemž stav systému $\mathsf{A}$ by se stal

$$\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}.$$

Jako matici hustoty lze tento stav zapsat následovně.

$$\biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr) \biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr)^{\dagger} = \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2}$$

Zprůměrováním různých stavů podle pravděpodobností příslušných výsledků dospějeme k matici hustoty

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \|\vert\phi_b\rangle\|^2 \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

Parciální stopa

Vzorec

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

nás vede k popisu redukovaného stavu systému $\mathsf{A}$ pro libovolnou matici hustoty $\rho$ páru $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ nejen pro čistý stav.

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)$$

Tento vzorec musí fungovat, jednoduše díky linearitě spolu s faktem, že každou matici hustoty lze zapsat jako konvexní kombinaci čistých stavů.

Operace prováděná na $\rho$ k získání $\rho_{\mathsf{A}}$ v této rovnici je známá jako parciální stopa, a přesněji řečeno, parciální stopa se provádí přes $\mathsf{B},$ neboli $\mathsf{B}$ se vystopuje. Tato operace se značí $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}},$ takže můžeme psát

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} (\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr).$$

Můžeme také definovat parciální stopu přes $\mathsf{A},$ takže je to systém $\mathsf{A},$ který se vystopuje místo $\mathsf{B},$ takto.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} (\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl(\langle a \vert\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl(\vert a \rangle\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr)$$

To nám dává popis matice hustoty $\rho_{\mathsf{B}}$ stavu systému $\mathsf{B}$ v izolaci místo systému $\mathsf{A}.$

Abychom shrnuli, pokud $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ je libovolný pár systémů a máme matici hustoty $\rho$ popisující stav $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ redukované stavy systémů $\mathsf{A}$ a $\mathsf{B}$ jsou následující.

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{A}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)\\[2mm] \rho_{\mathsf{B}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle\otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}} \bigr) \end{aligned}$$

Pokud $\rho$ je matice hustoty, pak $\rho_{\mathsf{A}}$ a $\rho_{\mathsf{B}}$ budou také nutně matice hustoty.

Tyto pojmy lze přirozeným způsobem zobecnit na libovolný počet systémů místo dvou. Obecně můžeme do dolního indexu matice hustoty $\rho$ vložit názvy libovolných systémů, které si zvolíme, a popsat tak redukovaný stav právě těchto systémů. Například pokud $\mathsf{A},$ $\mathsf{B}$ a $\mathsf{C}$ jsou systémy a $\rho$ je matice hustoty popisující stav $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C}),$ pak můžeme definovat

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{AC}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \\[2mm] \rho_{\mathsf{C}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{AB}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \langle a \vert \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \end{aligned}$$

a analogicky pro další volby systémů.

Alternativní popis parciální stopy

Alternativní způsob, jak popsat zobrazení parciální stopy $\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}$ a $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}},$ je, že jsou to jedinečná lineární zobrazení splňující vzorce

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(M) N \\[2mm] \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(N) M. \end{aligned}$$

V těchto vzorcích jsou $N$ a $M$ čtvercové matice příslušných rozměrů: řádky a sloupce $M$ odpovídají klasickým stavům systému $\mathsf{A}$ a řádky a sloupce $N$ odpovídají klasickým stavům systému $\mathsf{B}.$

Tato charakterizace parciální stopy je nejen fundamentální z matematického hlediska, ale v některých situacích také umožňuje rychlé výpočty. Uvažuj například tento stav páru Qubitů $(\mathsf{A},\mathsf{B}).$

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert +\rangle\langle +\vert$$

Pro výpočet redukovaného stavu $\rho_{\mathsf{A}}$ například můžeme využít linearitu spolu s faktem, že $\vert 0\rangle\langle 0\vert$ a $\vert +\rangle\langle +\vert$ mají jednotkovou stopu.

$$\rho_{\mathsf{A}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert +\rangle\langle +\vert\bigr) \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert$$

Redukovaný stav $\rho_{\mathsf{B}}$ lze vypočítat podobně.

$$\rho_{\mathsf{B}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) \vert +\rangle\langle +\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert$$

Parciální stopa pro dva Qubity

Parciální stopu lze také popsat explicitně pomocí matic. Zde to provedeme jen pro dva Qubity, ale lze to zobecnit i na větší systémy. Předpokládejme, že máme dva Qubity $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ takže libovolnou matici hustoty popisující stav těchto dvou Qubitů lze zapsat jako

$$\rho = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

pro nějakou volbu komplexních čísel $\{\alpha_{jk} : 0\leq j,k\leq 3\}.$

Parciální stopa přes první systém má následující vzorec.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{22} & \alpha_{01} + \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{10} + \alpha_{32} & \alpha_{11} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

Jeden způsob, jak o tomto vzorci přemýšlet, začíná pohledem na $4\times 4$ matice jako na $2\times 2$ blokové matice, kde každý blok je $2\times 2.$ To znamená,

$$\rho = \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix}$$

pro

$$M_{0,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix}, \quad M_{0,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03} \\[2mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix}, \quad M_{1,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21} \\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix}, \quad M_{1,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23} \\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}.$$

Pak máme

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}\begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = M_{0,0} + M_{1,1}.$$

Zde je vzorec pro případ, kdy se trasuje přes druhý systém místo prvního.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[1mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21}\\[1mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[1mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{11} & \alpha_{02} + \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} + \alpha_{31} & \alpha_{22} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

Pomocí blokových matic ve tvaru podobném předchozímu máme tento vzorec.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr}(M_{0,0}) & \operatorname{Tr}(M_{0,1}) \\[1mm] \operatorname{Tr}(M_{1,0}) & \operatorname{Tr}(M_{1,1}) \end{pmatrix}$$

Popis těchto funkcí pomocí blokových matic lze přirozeným a přímým způsobem rozšířit na systémy větší než qubit​y.

Na závěr lekce aplikujme tyto vzorce na tentýž stav, který jsme uvažovali výše.

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle \langle 1 \vert \otimes \vert +\rangle \langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$

Redukovaný stav prvního systému $\mathsf{A}$ je

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

a redukovaný stav druhého systému $\mathsf{B}$ je

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$