Základy matice hustoty

Začneme popisem toho, co jsou matice hustoty z matematického hlediska, a poté se podíváme na několik příkladů. Následně probereme několik základních aspektů toho, jak matice hustoty fungují a jak souvisejí s kvantovými stavovými vektory ve zjednodušené formulaci kvantové informace.

Definice

Předpokládejme, že máme kvantový systém s názvem $\mathsf{X}$, a nechť $\Sigma$ je (konečná a neprázdná) množina klasických stavů tohoto systému. Zde kopírujeme konvence pojmenování použité v kurzu „Základy kvantové informace", v čemž budeme pokračovat, kdykoli to bude vhodné.

V obecné formulaci kvantové informace je kvantový stav systému $\mathsf{X}$ popsán maticí hustoty $\rho$, jejíž prvky jsou komplexní čísla a jejíž indexy (jak pro řádky, tak pro sloupce) byly přiřazeny ke klasické množině stavů $\Sigma$. Malé řecké písmeno $\rho$ je konvenční první volba pro název matice hustoty, i když $\sigma$ a $\xi$ jsou také běžné volby.

Zde je několik příkladů matic hustoty popisujících stavy qubitů:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{i}{8}\\[2mm] -\frac{i}{8} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}, \quad\text{and}\quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Říci, že $\rho$ je matice hustoty, znamená, že jsou splněny obě následující podmínky, které budou vzápětí vysvětleny:

1. Jednotková stopa: $\operatorname{Tr}(\rho) = 1.$

2. Pozitivní semidefinitnost: $\rho \geq 0.$

Stopa matice

První podmínka pro matice hustoty odkazuje na stopu matice. Jedná se o funkci, která je definována pro všechny čtvercové matice jako součet diagonálních prvků:

$$\operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1} & \cdots & \alpha_{0,n-1}\\[1.5mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} & \cdots & \alpha_{1,n-1}\\[1.5mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1.5mm] \alpha_{n-1,0} & \alpha_{n-1,1} & \cdots & \alpha_{n-1,n-1} \end{pmatrix} = \alpha_{0,0} + \alpha_{1,1} + \cdots + \alpha_{n-1,n-1}.$$

Stopa je lineární funkce: pro libovolné dvě čtvercové matice $A$ a $B$ stejné velikosti a libovolná dvě komplexní čísla $\alpha$ a $\beta$ platí vždy následující rovnice.

$$\operatorname{Tr}(\alpha A + \beta B) = \alpha \operatorname{Tr}(A) + \beta\operatorname{Tr}(B)$$

Stopa je nesmírně důležitá funkce a dá se o ní říci mnohem více, ale počkáme, až bude potřeba říci více.

Pozitivně semidefinitní matice

Druhá podmínka odkazuje na vlastnost matice být pozitivně semidefinitní, což je základní pojem v teorii kvantové informace a v mnoha dalších oborech. Matice $P$ je pozitivně semidefinitní, pokud existuje matice $M$ taková, že

$$P = M^{\dagger} M.$$

Zde můžeme buď požadovat, aby $M$ byla čtvercová matice stejné velikosti jako $P$, nebo jí dovolit být nečtvercová — v obou případech získáme stejnou třídu matic.

Existuje několik alternativních (ale ekvivalentních) způsobů, jak tuto podmínku definovat, včetně těchto:

• Matice $P$ je pozitivně semidefinitní právě tehdy, když je $P$ hermitovská (tj. rovná se svému vlastnímu konjugovanému transponování) a všechna její vlastní čísla jsou nezáporná reálná čísla. Ověření, že matice je hermitovská a všechna její vlastní čísla jsou nezáporná, je jednoduchý výpočetní způsob, jak ověřit, že je pozitivně semidefinitní.

• Matice $P$ je pozitivně semidefinitní právě tehdy, když $\langle \psi \vert P \vert \psi \rangle \geq 0$ pro každý komplexní vektor $\vert\psi\rangle$ mající stejné indexy jako řádky a sloupce matice $P$.

Intuitivní způsob, jak přemýšlet o pozitivně semidefinitních maticích, je ten, že jsou jakousi maticovou analogií nezáporných reálných čísel. To znamená, že pozitivně semidefinitní matice se mají ke komplexním čtvercovým maticím tak, jako se nezáporná reálná čísla mají ke komplexním číslům. Například komplexní číslo $\alpha$ je nezáporné reálné číslo právě tehdy, když

$$\alpha = \overline{\beta} \beta$$

pro nějaké komplexní číslo $\beta$, což odpovídá definici pozitivní semidefinitnosti, když nahradíme matice skaláry. I když matice jsou obecně složitější objekty než skaláry, přesto je to užitečný způsob, jak o pozitivně semidefinitních maticích přemýšlet.

To také vysvětluje běžný zápis $P\geq 0$, který označuje, že $P$ je pozitivně semidefinitní. Všimni si zejména, že $P\geq 0$ v tomto kontextu neznamená, že každý prvek matice $P$ je nezáporný; existují pozitivně semidefinitní matice se zápornými prvky, stejně jako matice, jejichž všechny prvky jsou kladné, ale nejsou pozitivně semidefinitní.

Interpretace matic hustoty

V tuto chvíli se může definice matic hustoty zdát dost libovolná a abstraktní, protože jsme těmto maticím ani jejich prvkům zatím nepřiřadili žádný význam. Způsob, jakým matice hustoty fungují a jak je lze interpretovat, bude objasněn v průběhu lekce, ale prozatím může být užitečné přemýšlet o prvcích matic hustoty následujícím (poněkud neformálním) způsobem.

• Diagonální prvky matice hustoty nám dávají pravděpodobnosti, s jakými se jednotlivé klasické stavy objeví, pokud provedeme měření ve standardní bázi — takže o těchto prvcích můžeme přemýšlet jako o „váze" nebo „pravděpodobnosti" přiřazené každému klasickému stavu.

• Mimodiagonální prvky matice hustoty popisují míru, do jaké jsou dva klasické stavy odpovídající danému prvku (tedy ten odpovídající řádku a ten odpovídající sloupci) v kvantové superpozici, jakož i relativní fázi mezi nimi.

Rozhodně není a priori zřejmé, že by kvantové stavy měly být reprezentovány maticemi hustoty. Nicméně existuje smysl, v němž volba reprezentovat kvantové stavy maticemi hustoty vede přirozeně k celému matematickému popisu kvantové informace. Vše ostatní o kvantové informaci vlastně plyne celkem logicky z této jediné volby!

Souvislost s kvantovými stavovými vektory

Připomeň si, že kvantový stavový vektor $\vert\psi\rangle$ popisující kvantový stav systému $\mathsf{X}$ je sloupcový vektor s euklidovskou normou rovnou $1$, jehož prvky byly přiřazeny ke klasické množině stavů $\Sigma$. Reprezentace stejného stavu maticí hustoty $\rho$ je definována následovně.

$$\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert$$

Abychom byli přesní, násobíme sloupcový vektor řádkovým vektorem, takže výsledkem je čtvercová matice, jejíž řádky a sloupce odpovídají $\Sigma$. Matice tohoto tvaru, kromě toho, že jsou maticemi hustoty, jsou vždy projekce a mají hodnost rovnou $1$.

Například si definujme dva vektory stavu qubitu.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \\[5mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Matice hustoty odpovídající těmto dvěma vektorům jsou následující.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle{+i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\\[5mm] \vert {-i} \rangle\langle{-i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Zde je tabulka uvádějící tyto stavy spolu s několika dalšími základními příklady: $\vert 0\rangle$, $\vert 1\rangle$, $\vert {+}\rangle$, a $\vert {-}\rangle$. Těchto šest stavů uvidíme v lekci ještě znovu.

Vektor stavu	Matice hustoty
$\vert 0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\[1mm] 0 \end{pmatrix}$	$\vert 0\rangle\langle 0\vert = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\vert 1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\[1mm] 1 \end{pmatrix}$	$\vert 1\rangle\langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\vert {+}\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+}\rangle\langle {+}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-}\rangle\langle {-}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {+i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

Pro ještě jeden příklad, zde je stav z lekce Jednotlivé systémy z kurzu "Základy kvantové informace", včetně jak jeho reprezentace vektorem stavu, tak maticí hustoty.

$$\vert v\rangle = \frac{1 + 2 i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle \qquad \vert v\rangle\langle v\vert = \begin{pmatrix} \frac{5}{9} & \frac{-2 - 4 i}{9}\\[2mm] \frac{-2 + 4 i}{9} & \frac{4}{9} \end{pmatrix}$$

Matice hustoty, které mají tvar $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ pro vektor kvantového stavu $\vert \psi \rangle$, se nazývají čisté stavy. Ne každou matici hustoty lze zapsat v tomto tvaru; některé stavy nejsou čisté.

Jako matice hustoty mají čisté stavy vždy jednu vlastní hodnotu rovnou $1$ a všechny ostatní vlastní hodnoty rovné $0$. Toto je v souladu s interpretací, že vlastní hodnoty matice hustoty popisují náhodnost neboli nejistotu vlastní danému stavu. V podstatě neexistuje žádná nejistota pro čistý stav $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ — stav je jistě $\vert \psi \rangle$.

Obecně, pro vektor kvantového stavu

$$\vert\psi\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_0\\ \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_{n-1} \end{pmatrix}$$

pro systém s $n$ klasickými stavy je reprezentace stejného stavu maticí hustoty následující.

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle\langle\psi\vert & = \begin{pmatrix} \alpha_0 \overline{\alpha_0} & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \alpha_1 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_{n-1}} \end{pmatrix}\\[10mm] & = \begin{pmatrix} \vert\alpha_0\vert^2 & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \vert\alpha_1\vert^2 & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \vert\alpha_{n-1}\vert^2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Takže pro speciální případ čistých stavů si můžeme ověřit, že diagonální prvky matice hustoty popisují pravděpodobnosti, se kterými by standardní bázové měření vrátilo každý možný klasický stav.

Poslední poznámka k čistým stavům je, že matice hustoty odstraňují degeneraci týkající se globálních fází, kterou nacházíme u vektorů kvantového stavu. Předpokládejme, že máme dva vektory kvantového stavu, které se liší globální fází: $\vert \psi \rangle$ a $\vert \phi \rangle = e^{i \theta} \vert \psi \rangle$, pro nějaké reálné číslo $\theta$. Protože se liší globální fází, tyto vektory představují přesně stejný kvantový stav, navzdory tomu, že vektory se mohou lišit. Matice hustoty, které z těchto dvou vektorů stavu získáme, jsou na druhou stranu totožné.

$$\vert \phi \rangle \langle \phi \vert = \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr) \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = e^{i(\theta - \theta)} \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$$

Obecně matice hustoty poskytují jedinečnou reprezentaci kvantových stavů: dva kvantové stavy jsou totožné, generují přesně stejnou statistiku výsledků pro každé možné měření, které na nich lze provést, právě tehdy, když jsou jejich reprezentace maticí hustoty stejné. Matematicky vyjádřeno, můžeme to říct tak, že matice hustoty nabízejí věrnou reprezentaci kvantových stavů.