Základy matice hustoty

Začneme popisem toho, co jsou matice hustoty z matematického hlediska, a poté se podíváme na několik příkladů. Následně probereme několik základních aspektů toho, jak matice hustoty fungují a jak souvisejí s kvantovými stavovými vektory ve zjednodušené formulaci kvantové informace.

Definice

Předpokládejme, že máme kvantový systém s názvem $\mathsf{X},$ a nechť $\Sigma$ je (konečná a neprázdná) množina klasických stavů tohoto systému. Zde kopírujeme konvence pojmenování použité v kurzu „Základy kvantové informace", v čemž budeme pokračovat, kdykoli to bude vhodné.

V obecné formulaci kvantové informace je kvantový stav systému $\mathsf{X}$ popsán maticí hustoty $\rho$, jejíž prvky jsou komplexní čísla a jejíž indexy (jak pro řádky, tak pro sloupce) byly přiřazeny ke klasické množině stavů $\Sigma.$ Malé řecké písmeno $\rho$ je konvenční první volba pro název matice hustoty, i když $\sigma$ a $\xi$ jsou také běžné volby.

Zde je několik příkladů matic hustoty popisujících stavy qubitů:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{i}{8}\\[2mm] -\frac{i}{8} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}, \quad\text{and}\quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Říci, že $\rho$ je matice hustoty, znamená, že jsou splněny obě následující podmínky, které budou vzápětí vysvětleny:

1. Jednotková stopa: $\operatorname{Tr}(\rho) = 1.$
2. Pozitivní semidefinitnost: $\rho \geq 0.$

Stopa matice

První podmínka pro matice hustoty odkazuje na stopu matice. Jedná se o funkci, která je definována pro všechny čtvercové matice jako součet diagonálních prvků:

$$\operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1} & \cdots & \alpha_{0,n-1}\\[1.5mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} & \cdots & \alpha_{1,n-1}\\[1.5mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1.5mm] \alpha_{n-1,0} & \alpha_{n-1,1} & \cdots & \alpha_{n-1,n-1} \end{pmatrix} = \alpha_{0,0} + \alpha_{1,1} + \cdots + \alpha_{n-1,n-1}.$$

Stopa je lineární funkce: pro libovolné dvě čtvercové matice $A$ a $B$ stejné velikosti a libovolná dvě komplexní čísla $\alpha$ a $\beta$ platí vždy následující rovnice.

$$\operatorname{Tr}(\alpha A + \beta B) = \alpha \operatorname{Tr}(A) + \beta\operatorname{Tr}(B)$$

Stopa je nesmírně důležitá funkce a dá se o ní říci mnohem více, ale počkáme, až bude potřeba říci více.

Pozitivně semidefinitní matice

Druhá podmínka odkazuje na vlastnost matice být pozitivně semidefinitní, což je základní pojem v teorii kvantové informace a v mnoha dalších oborech. Matice $P$ je pozitivně semidefinitní, pokud existuje matice $M$ taková, že

$$P = M^{\dagger} M.$$

Zde můžeme buď požadovat, aby $M$ byla čtvercová matice stejné velikosti jako $P$, nebo jí dovolit být nečtvercová — v obou případech získáme stejnou třídu matic.

Existuje několik alternativních (ale ekvivalentních) způsobů, jak tuto podmínku definovat, včetně těchto:

• Matice $P$ je pozitivně semidefinitní právě tehdy, když je $P$ hermitovská (tj. rovná se svému vlastnímu konjugovanému transponování) a všechna její vlastní čísla jsou nezáporná reálná čísla. Ověření, že matice je hermitovská a všechna její vlastní čísla jsou nezáporná, je jednoduchý výpočetní způsob, jak ověřit, že je pozitivně semidefinitní.

• Matice $P$ je pozitivně semidefinitní právě tehdy, když $\langle \psi \vert P \vert \psi \rangle \geq 0$ pro každý komplexní vektor $\vert\psi\rangle$ mající stejné indexy jako řádky a sloupce matice $P.$

Intuitivní způsob, jak přemýšlet o pozitivně semidefinitních maticích, je ten, že jsou jakousi maticovou analogií nezáporných reálných čísel. To znamená, že pozitivně semidefinitní matice se mají ke komplexním čtvercovým maticím tak, jako se nezáporná reálná čísla mají ke komplexním číslům. Například komplexní číslo $\alpha$ je nezáporné reálné číslo právě tehdy, když

$$\alpha = \overline{\beta} \beta$$

pro nějaké komplexní číslo $\beta,$ což odpovídá definici pozitivní semidefinitnosti, když nahradíme matice skaláry. I když matice jsou obecně složitější objekty než skaláry, přesto je to užitečný způsob, jak o pozitivně semidefinitních maticích přemýšlet.

To také vysvětluje běžný zápis $P\geq 0,$ který označuje, že $P$ je pozitivně semidefinitní. Všimni si zejména, že $P\geq 0$ v tomto kontextu neznamená, že každý prvek matice $P$ je nezáporný; existují pozitivně semidefinitní matice se zápornými prvky, stejně jako matice, jejichž všechny prvky jsou kladné, ale nejsou pozitivně semidefinitní.

Interpretace matic hustoty

V tuto chvíli se může definice matic hustoty zdát dost libovolná a abstraktní, protože jsme těmto maticím ani jejich prvkům zatím nepřiřadili žádný význam. Způsob, jakým matice hustoty fungují a jak je lze interpretovat, bude objasněn v průběhu lekce, ale prozatím může být užitečné přemýšlet o prvcích matic hustoty následujícím (poněkud neformálním) způsobem.

• Diagonální prvky matice hustoty nám dávají pravděpodobnosti, s jakými se jednotlivé klasické stavy objeví, pokud provedeme měření ve standardní bázi — takže o těchto prvcích můžeme přemýšlet jako o „váze" nebo „pravděpodobnosti" přiřazené každému klasickému stavu.

• Mimodiagonální prvky matice hustoty popisují míru, do jaké jsou dva klasické stavy odpovídající danému prvku (tedy ten odpovídající řádku a ten odpovídající sloupci) v kvantové superpozici, jakož i relativní fázi mezi nimi.

Rozhodně není a priori zřejmé, že by kvantové stavy měly být reprezentovány maticemi hustoty. Nicméně existuje smysl, v němž volba reprezentovat kvantové stavy maticemi hustoty vede přirozeně k celému matematickému popisu kvantové informace. Vše ostatní o kvantové informaci vlastně plyne celkem logicky z této jediné volby!

Souvislost s kvantovými stavovými vektory

Připomeň si, že kvantový stavový vektor $\vert\psi\rangle$ popisující kvantový stav systému $\mathsf{X}$ je sloupcový vektor s euklidovskou normou rovnou $1$, jehož prvky byly přiřazeny ke klasické množině stavů $\Sigma.$ Reprezentace stejného stavu maticí hustoty $\rho$ je definována následovně.

$$\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert$$

Pro upřesnění, násobíme sloupcový vektor řádkovým vektorem, takže výsledkem je čtvercová matice, jejíž řádky a sloupce odpovídají $\Sigma.$ Matice tohoto tvaru jsou kromě toho, že jsou maticemi hustoty, vždy projekcemi a mají hodnost rovnou $1.$

Například si definujme dva stavové vektory qubitu.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \\[5mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Matice hustoty odpovídající těmto dvěma vektorům jsou následující.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle{+i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\\[5mm] \vert {-i} \rangle\langle{-i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Zde je tabulka uvádějící tyto stavy spolu s několika dalšími základními příklady: $\vert 0\rangle,$ $\vert 1\rangle,$ $\vert {+}\rangle,$ a $\vert {-}\rangle.$ Těchto šest stavů uvidíme znovu později v této lekci.

Stavový vektor	Matice hustoty
$\vert 0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\[1mm] 0 \end{pmatrix}$	$\vert 0\rangle\langle 0\vert = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\vert 1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\[1mm] 1 \end{pmatrix}$	$\vert 1\rangle\langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\vert {+}\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+}\rangle\langle {+}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-}\rangle\langle {-}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {+i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

Ještě jeden příklad — zde je stav z lekce Jednotlivé systémy kurzu „Základy kvantové informatiky", včetně jeho reprezentace stavovým vektorem i maticí hustoty.

$$\vert v\rangle = \frac{1 + 2 i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle \qquad \vert v\rangle\langle v\vert = \begin{pmatrix} \frac{5}{9} & \frac{-2 - 4 i}{9}\\[2mm] \frac{-2 + 4 i}{9} & \frac{4}{9} \end{pmatrix}$$

Matice hustoty, které mají tvar $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ pro kvantový stavový vektor $\vert \psi \rangle$, se nazývají čisté stavy. Ne každou matici hustoty lze zapsat v tomto tvaru; některé stavy nejsou čisté.

Jako matice hustoty mají čisté stavy vždy jedno vlastní číslo rovné $1$ a všechna ostatní vlastní čísla rovná $0.$ To je konzistentní s interpretací, že vlastní čísla matice hustoty popisují náhodnost nebo neurčitost vlastní danému stavu. V podstatě u čistého stavu $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ neexistuje žádná neurčitost — stav je určitě $\vert \psi \rangle.$

Obecně pro kvantový stavový vektor

$$\vert\psi\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_0\\ \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_{n-1} \end{pmatrix}$$

systému s $n$ klasickými stavy vypadá reprezentace stejného stavu maticí hustoty následovně.

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle\langle\psi\vert & = \begin{pmatrix} \alpha_0 \overline{\alpha_0} & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \alpha_1 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_{n-1}} \end{pmatrix}\\[10mm] & = \begin{pmatrix} \vert\alpha_0\vert^2 & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \vert\alpha_1\vert^2 & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \vert\alpha_{n-1}\vert^2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Takže pro speciální případ čistých stavů můžeme ověřit, že diagonální prvky matice hustoty popisují pravděpodobnosti, s jakými měření ve standardní bázi dá jako výstup každý možný klasický stav.

Závěrečná poznámka o čistých stavech je, že matice hustoty eliminují degeneraci týkající se globálních fází, kterou nacházíme u kvantových stavových vektorů. Předpokládejme, že máme dva kvantové stavové vektory, které se liší globální fází: $\vert \psi \rangle$ a $\vert \phi \rangle = e^{i \theta} \vert \psi \rangle,$ pro nějaké reálné číslo $\theta.$ Protože se liší globální fází, tyto vektory reprezentují přesně tentýž kvantový stav, přestože samotné vektory mohou být různé. Matice hustoty, které z těchto dvou stavových vektorů získáme, jsou naproti tomu identické.

$$\vert \phi \rangle \langle \phi \vert = \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr) \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = e^{i(\theta - \theta)} \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$$

Obecně matice hustoty poskytují jednoznačnou reprezentaci kvantových stavů: dva kvantové stavy jsou identické — generují přesně stejné statistiky výsledků pro každé možné měření, které na nich lze provést — právě tehdy, když jsou jejich reprezentace maticemi hustoty shodné. Vyjádřeno matematickým jazykem, můžeme říci, že matice hustoty poskytují věrnou reprezentaci kvantových stavů.