Rozlišování kvantových stavů a tomografie

V poslední části lekce se stručně podíváme na dva úkoly spojené s měřením: diskriminace kvantových stavů a tomografie kvantových stavů.

1. Diskriminace kvantových stavů

   Při diskriminaci kvantových stavů máš známou kolekci kvantových stavů $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ spolu s pravděpodobnostmi $p_0,\ldots,p_{m-1}$ přiřazenými těmto stavům. Stručný způsob, jak to vyjádřit, je říct, že máme ansámbl

   $$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\}$$

   kvantových stavů.

   Číslo $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ se vybere náhodně podle pravděpodobností $(p_0,\ldots,p_{m-1})$ a systém $\mathsf{X}$ se připraví ve stavu $\rho_a.$ Cílem je zjistit pouze pomocí měření systému $\mathsf{X}$, jaká hodnota $a$ byla zvolena.

   Máme tedy konečný počet alternativ spolu s priorem — což je naše znalost pravděpodobnosti výběru každého $a$ — a cílem je určit, která alternativa skutečně nastala. Pro některé volby stavů a pravděpodobností to může být snadné, pro jiné to nemusí být možné bez určité šance na chybu.

2. Tomografie kvantových stavů

   Při tomografii kvantových stavů máme neznámý kvantový stav systému — takže na rozdíl od diskriminace kvantových stavů typicky nemáme žádný prior ani žádné informace o možných alternativách.

   Tentokrát však není k dispozici jen jedna kopie stavu, ale mnoho nezávislých kopií. To znamená, že $N$ identických systémů $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ je každý nezávisle připraven ve stavu $\rho$ pro nějaké (možná velké) číslo $N.$ Cílem je najít aproximaci neznámého stavu ve formě matice hustoty pomocí měření těchto systémů.

Diskriminace mezi dvěma stavy

Nejjednodušší případ diskriminace kvantových stavů je ten, kdy máme dva stavy, $\rho_0$ a $\rho_1,$ které je třeba rozlišit.

Představ si situaci, ve které se náhodně volí bit $a$: $a = 0$ s pravděpodobností $p$ a $a = 1$ s pravděpodobností $1 - p.$ Systém $\mathsf{X}$ se připraví ve stavu $\rho_a,$ tedy $\rho_0$ nebo $\rho_1$ v závislosti na hodnotě $a,$ a předá se nám. Naším cílem je správně uhodnout hodnotu $a$ pomocí měření na $\mathsf{X}.$ Přesněji řečeno, budeme se snažit maximalizovat pravděpodobnost, že náš odhad je správný.

Optimální měření

Optimální způsob řešení tohoto problému začíná spektrálním rozkladem váženého rozdílu mezi $\rho_0$ a $\rho_1,$ kde váhy jsou odpovídající pravděpodobnosti.

$$p \rho_0 - (1-p) \rho_1 = \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Všimni si, že v tomto výrazu máme znaménko mínus místo plus: jde o vážený rozdíl, ne o vážený součet.

Pravděpodobnost správného odhadu můžeme maximalizovat volbou projektivního měření $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ následovně. Nejprve rozděl prvky množiny $\{0,\ldots,n-1\}$ do dvou disjunktních množin $S_0$ a $S_1$ podle toho, zda je odpovídající vlastní číslo váženého rozdílu nezáporné, nebo záporné.

$$\begin{gathered} S_0 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k \geq 0 \}\\[2mm] S_1 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k < 0 \} \end{gathered}$$

Pak můžeme zvolit projektivní měření následovně.

$$\Pi_0 = \sum_{k \in S_0} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert \quad\text{and}\quad \Pi_1 = \sum_{k \in S_1} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

(Nezáleží na tom, do které množiny $S_0$ nebo $S_1$ zařadíš hodnoty $k$, pro které $\lambda_k = 0.$ Zde se libovolně rozhodujeme zařadit tyto hodnoty do $S_0.$)

Jedná se o optimální měření v dané situaci, které minimalizuje pravděpodobnost nesprávného určení zvoleného stavu.

Pravděpodobnost správnosti

Nyní určíme pravděpodobnost správnosti pro měření $\{\Pi_0,\Pi_1\}.$

Na začátek se nemusíme zabývat konkrétní volbou $\Pi_0$ a $\Pi_1,$ i když může být užitečné mít ji na paměti. Pro libovolné měření $\{P_0,P_1\}$ (nemusí být projektivní) můžeme zapsat pravděpodobnost správnosti následovně.

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)$$

S využitím faktu, že $\{P_0,P_1\}$ je měření, tedy $P_1 = \mathbb{I} - P_0,$ můžeme tento výraz přepsat následovně.

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_0) \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) - (1 - p) \operatorname{Tr}(P_0 \rho_1) + (1-p) \operatorname{Tr}(\rho_1)\\[1mm] & = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1 - p \end{aligned}$$

Na druhou stranu jsme místo toho mohli provést substituci $P_0 = \mathbb{I} - P_1.$ To by nezměnilo hodnotu, ale dá nám to alternativní výraz.

$$p \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_1) \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(\rho_0) - p \operatorname{Tr}(P_1 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\\[1mm] & = p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) \end{aligned}$$

Oba výrazy mají stejnou hodnotu, takže je můžeme zprůměrovat a získat další výraz pro tuto hodnotu. (Zprůměrování obou výrazů je jen trik pro zjednodušení výsledného výrazu.)

$$\frac{1}{2} \bigl(\operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1-p\bigr) + \frac{1}{2} \bigl(p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr)\bigr)\\ = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl( (P_0-P_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) + \frac{1}{2}$$

Nyní vidíme, proč má smysl zvolit projekce $\Pi_0$ a $\Pi_1$ (jak byly specifikovány výše) pro $P_0$ a $P_1$ — protože právě tak můžeme stopu v posledním výrazu maximalizovat. Konkrétně,

$$(\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert \cdot \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert.$$

Takže když vezmeme stopu, dostaneme součet absolutních hodnot vlastních čísel — což se rovná takzvané stopové normě váženého rozdílu.

$$\operatorname{Tr}\bigl( (\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert = \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

Pravděpodobnost, že měření $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ vede ke správné diskriminaci $\rho_0$ a $\rho_1,$ daných s pravděpodobnostmi $p$ a $1-p,$ je tedy následující.

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

Skutečnost, že toto je optimální pravděpodobnost pro správnou diskriminaci $\rho_0$ a $\rho_1,$ daných s pravděpodobnostmi $p$ a $1-p,$ se běžně označuje jako Helstromův–Holevův teorém (nebo někdy jen Helstromův teorém).

Diskriminace tří a více stavů

Pro diskriminaci kvantových stavů, kdy existují tři nebo více stavů, není známo řešení v uzavřeném tvaru pro optimální měření, i když je možné problém formulovat jako semidefinitní program — což umožňuje efektivní numerické aproximace optimálních měření s pomocí počítače.

Je také možné ověřit (nebo vyvrátit) optimalitu daného měření v úloze diskriminace stavů pomocí podmínky známé jako Holevova-Yuenova-Kennedyho-Laxova podmínka. Konkrétně, pro úlohu diskriminace stavů definovanou souborem

$$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\},$$

měření $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ je optimální právě tehdy, když matice

$$Q_a = \sum_{b = 0}^{m-1} p_b \rho_b P_b - p_a \rho_a$$

je pozitivně semidefinitní pro každé $a\in\{0,\ldots,m-1\}.$

Uvažuj například úlohu diskriminace kvantových stavů, ve které je jeden ze čtyř tetraedrálních stavů $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_3\rangle$ vybrán rovnoměrně náhodně. Tetraedrální měření $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ uspěje s pravděpodobností

$$\frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_0 \vert\phi_0\rangle\langle \phi_0 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_1 \vert\phi_1\rangle\langle \phi_1 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_2 \vert\phi_2\rangle\langle \phi_2 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_3 \vert\phi_3\rangle\langle \phi_3 \vert) = \frac{1}{2}.$$

To je optimální podle Holevovy-Yuenovy-Kennedyho-Laxovy podmínky, protože výpočet ukáže, že

$$Q_a = \frac{1}{4}(\mathbb{I} - \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert) \geq 0$$

pro $a = 0,1,2,3.$

Tomografie kvantového stavu

Na závěr stručně probereme problém tomografie kvantového stavu. V tomto problému máme k dispozici velký počet $N$ nezávislých kopií neznámého kvantového stavu $\rho$ a cílem je rekonstruovat aproximaci $\tilde{\rho}$ stavu $\rho.$ Pro upřesnění to znamená, že chceme najít klasický popis matice hustoty $\tilde{\rho},$ který je co nejblíže stavu $\rho.$

Nastavení můžeme alternativně popsat následujícím způsobem. Je vybrána neznámá matice hustoty $\rho$ a máme přístup k $N$ kvantovým systémům $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N,$ z nichž každý byl nezávisle připraven ve stavu $\rho.$ Stav složeného systému $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$ je tedy

$$\rho^{\otimes N} = \rho \otimes \rho \otimes \cdots \otimes \rho \quad \text{($N$ times)}$$

Cílem je provést měření na systémech $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ a na základě výsledků těchto měření vypočítat matici hustoty $\tilde{\rho},$ která dobře aproximuje $\rho.$ Ukazuje se, že jde o fascinující problém, na kterém probíhá aktivní výzkum.

Můžeme uvažovat různé typy strategií pro přistoupení k problému. Můžeme si například představit strategii, kde je každý ze systémů $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ měřen samostatně, postupně, čímž se vytvoří posloupnost výsledků měření. Lze provést různé konkrétní volby prováděných měření, včetně adaptivních a neadaptivních výběrů. Jinými slovy, volba, jaké měření se provede na konkrétním systému, může nebo nemusí záviset na výsledcích předchozích měření. Na základě posloupnosti výsledků měření se odvodí odhad $\tilde{\rho}$ stavu $\rho$ — a opět existují různé metodologie, jak to udělat.

Alternativním přístupem je provést jediné společné měření celé kolekce, kde o $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$ uvažujeme jako o jednom systému a vybereme jediné měření, jehož výstupem je odhad $\tilde{\rho}$ stavu $\rho.$ To může vést k lepšímu odhadu než co je možné při oddělených měřeních jednotlivých systémů, i když společné měření na všech systémech dohromady bude pravděpodobně mnohem obtížnější implementovat.

Tomografie Qubitu pomocí Pauliho měření

Nyní se podíváme na tomografii kvantového stavu v jednoduchém případě, kdy $\rho$ je qubitová matice hustoty. Předpokládáme, že máme k dispozici Qubity $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N,$ které jsou každý nezávisle ve stavu $\rho,$ a naším cílem je vypočítat aproximaci $\tilde{\rho},$ která je blízko $\rho.$

Naše strategie bude rozdělit $N$ Qubitů $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ do tří přibližně stejně velkých kolekcí, jedné pro každou ze tří Pauliho matic $\sigma_x,$ $\sigma_y$ a $\sigma_z.$ Každý Qubit je pak měřen nezávisle následujícím způsobem.

1. Pro každý Qubit v kolekci přiřazené $\sigma_x$ provedeme $\sigma_x$ měření. To znamená, že Qubit je měřen vzhledem k bázi $\{\vert + \rangle, \vert -\rangle\},$ což je ortonormální báze vlastních vektorů $\sigma_x,$ a odpovídající výsledky měření jsou vlastní hodnoty přiřazené dvěma vlastním vektorům: $+1$ pro stav $\vert + \rangle$ a $-1$ pro stav $\vert -\rangle.$ Zprůměrováním výsledků přes všechny stavy v kolekci přiřazené $\sigma_x$ získáme aproximaci střední hodnoty

   $$\langle + \vert \rho \vert + \rangle - \langle - \vert \rho \vert - \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho).$$

2. Pro každý Qubit v kolekci přiřazené $\sigma_y$ provedeme $\sigma_y$ měření. Takové měření je podobné $\sigma_x$ měření, až na to, že měřicí báze je $\{\vert\! +\!i \rangle, \vert\! -\!i \rangle\},$ vlastní vektory $\sigma_y.$ Zprůměrováním výsledků přes všechny stavy v kolekci přiřazené $\sigma_y$ získáme aproximaci střední hodnoty

   $$\langle +i \vert \rho \vert \!+\!i \rangle - \langle -i \vert \rho \vert \!-\!i \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho).$$

3. Pro každý Qubit v kolekci přiřazené $\sigma_z$ provedeme $\sigma_z$ měření. Tentokrát je měřicí báze standardní báze $\{\vert 0\rangle, \vert 1 \rangle\},$ vlastní vektory $\sigma_z.$ Zprůměrováním výsledků přes všechny stavy v kolekci přiřazené $\sigma_z$ získáme aproximaci střední hodnoty

   $$\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle - \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho).$$ $$\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle - \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho).$$

Jakmile získáme aproximace

$$\alpha_x \approx \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho),\; \alpha_y \approx \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho),\; \alpha_z \approx \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho)$$

zprůměrováním výsledků měření pro každou kolekci, můžeme aproximovat $\rho$ jako

$$\tilde{\rho} = \frac{\mathbb{I} + \alpha_x \sigma_x + \alpha_y \sigma_y + \alpha_z \sigma_z}{2} \approx \frac{\mathbb{I} + \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho) \sigma_x + \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho) \sigma_y + \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho) \sigma_z}{2} = \rho.$$

V limitě, kdy $N$ jde k nekonečnu, tato aproximace konverguje v pravděpodobnosti ke skutečné matici hustoty $\rho$ podle zákona velkých čísel a dobře známé statistické odhady (jako je Hoeffdingova nerovnost) lze použít k ohraničení pravděpodobnosti, že aproximace $\tilde{\rho}$ se odchýlí od $\rho$ o různé hodnoty.

Důležité je si však uvědomit, že matice $\tilde{\rho}$ získaná tímto způsobem nemusí být maticí hustoty. Konkrétně, i když bude mít vždy stopu rovnou $1,$ nemusí být pozitivně semidefinitní. Existují různé známé strategie pro „zaokrouhlení" takové aproximace $\tilde{\rho}$ na matici hustoty, jednou z nich je výpočet spektrálního rozkladu, nahrazení záporných vlastních čísel hodnotou $0$ a následná renormalizace (vydělením získané matice její stopou).

Tomografie Qubitu pomocí tetraedrálního měření

Další možností pro provádění tomografie Qubitu je měření každého Qubitu $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ pomocí tetraedrálního měření $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ popsaného dříve. To znamená,

$$P_0 = \frac{\vert \phi_0 \rangle \langle \phi_0 \vert}{2}, \quad P_1 = \frac{\vert \phi_1 \rangle \langle \phi_1 \vert}{2}, \quad P_2 = \frac{\vert \phi_2 \rangle \langle \phi_2 \vert}{2}, \quad P_3 = \frac{\vert \phi_3 \rangle \langle \phi_3 \vert}{2}$$

pro

$$\begin{aligned} \vert \phi_0 \rangle & = \vert 0 \rangle\\ \vert \phi_1 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_2 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{2\pi i/3} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_3 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{-2\pi i/3} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

Každý výsledek je získán několikrát, což označíme jako $n_a$ pro každé $a\in\{0,1,2,3\},$ takže $n_0 + n_1 + n_2 + n_3 = N.$ Poměr těchto čísel k $N$ poskytuje odhad pravděpodobnosti přiřazené každému možnému výsledku:

$$\frac{n_a}{N} \approx \operatorname{Tr}(P_a \rho).$$

Nakonec využijeme následující pozoruhodný vzorec:

$$\rho = \sum_{a=0}^3 \Bigl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \rho) - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$

Pro odvození tohoto vzorce můžeme použít následující rovnici pro absolutní hodnoty druhých mocnin skalárních součinů tetraedrálních stavů, kterou lze ověřit přímým výpočtem.

$$\bigl\vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \bigr\vert^2 = \begin{cases} 1 & a=b\\ \frac{1}{3} & a\neq b. \end{cases}$$

Čtyři matice

$$\begin{aligned} \vert\phi_0\rangle \langle \phi_0 \vert & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[2mm] 0 & 0\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_1\rangle \langle \phi_1 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_2\rangle \langle \phi_2 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_3\rangle \langle \phi_3 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix} \end{aligned}$$

jsou lineárně nezávislé, takže stačí dokázat, že vzorec platí, když $\rho = \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert$ pro $b = 0,1,2,3.$ Konkrétně,

$$3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \vert^2 - \frac{1}{2} = \begin{cases} 1 & a=b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

a proto

$$\sum_{a=0}^3 \biggl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{\operatorname{Tr}(\vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert)}{2}\biggr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert = \vert \phi_b\rangle\langle \phi_b \vert.$$

Dospějeme k aproximaci $\rho:$

$$\tilde{\rho} = \sum_{a=0}^3 \Bigl( \frac{3 n_a}{N} - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$