Naimarkova věta

Naimarkova věta je fundamentální fakt týkající se měření. Tvrdí, že každé obecné měření lze implementovat jednoduchým způsobem, který připomíná Stinespringovu reprezentaci kanálů:

1. Systém, který se má měřit, se nejprve zkombinuje s inicializovaným pracovním systémem a vytvoří složený systém.
2. Na složený systém se poté provede unitární operace.
3. Nakonec se pracovní systém změří vzhledem ke měření ve standardní bázi, čímž se získá výsledek původního obecného měření.

Znění věty a důkaz

Nechť $\mathsf{X}$ je systém a nechť $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ je kolekce pozitivně semidefinitních matic splňujících

$$P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$$

což znamená, že popisují měření systému $\mathsf{X}.$ Dále nechť $\mathsf{Y}$ je systém, jehož množina klasických stavů je $\{0,\ldots,m-1\},$ což je množina možných výsledků tohoto měření.

Naimarkova věta tvrdí, že existuje unitární operace $U$ na složeném systému $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ taková, že implementace naznačená následujícím obrázkem dává výsledky měření, které souhlasí s daným měřením $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\},$ což znamená, že pravděpodobnosti různých možných výsledků měření přesně odpovídají.

Aby bylo jasno, systém $\mathsf{X}$ začíná v nějakém libovolném stavu $\rho$, zatímco $\mathsf{Y}$ je inicializován do stavu $\vert 0\rangle$. Na $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ se aplikuje unitární operace $U$ a poté se systém $\mathsf{Y}$ změří měřením ve standardní bázi, čímž se získá nějaký výsledek $a\in\{0,\ldots,m-1\}.$

Systém $\mathsf{X}$ je na obrázku znázorněn jako součást výstupu Circuit, ale prozatím se nebudeme zabývat stavem $\mathsf{X}$ po provedení $U$ a můžeme si představit, že je vytrasován. Stav $\mathsf{X}$ po provedení $U$ nás bude zajímat později v této lekci.

Implementace měření tímto způsobem jasně připomíná Stinespringovu reprezentaci kanálu a matematické základy jsou rovněž podobné. Rozdíl je v tom, že pracovní systém se zde měří, místo aby byl vytrasován jako v případě Stinespringovy reprezentace.

Skutečnost, že každé měření lze implementovat tímto způsobem, se dá poměrně jednoduše dokázat, ale nejprve budeme potřebovat jeden fakt o pozitivně semidefinitních maticích.

Fakt

Předpokládejme, že $P$ je $n \times n$ pozitivně semidefinitní matice. Existuje jediná $n\times n$ pozitivně semidefinitní matice $Q$, pro kterou $Q^2 = P.$ Tato jedinečná pozitivně semidefinitní matice se nazývá odmocnina z $P$ a značí se $\sqrt{P}.$

Jeden způsob, jak najít odmocninu z pozitivně semidefinitní matice, je nejprve vypočítat spektrální rozklad.

$$P = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Protože $P$ je pozitivně semidefinitní, její vlastní čísla musí být nezáporná reálná čísla, a nahrazením těchto vlastních čísel jejich odmocninami získáme výraz pro odmocninu z $P.$

$$\sqrt{P} = \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

S tímto konceptem v ruce jsme připraveni dokázat Naimarkovu větu. Za předpokladu, že $\mathsf{X}$ má $n$ klasických stavů, lze unitární operaci $U$ na páru $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ reprezentovat maticí $nm\times nm$, kterou můžeme chápat jako blokovou matici $m\times m$, jejíž bloky jsou $n\times n.$ Klíčem důkazu je zvolit $U$ jako libovolnou unitární matici, která odpovídá následujícímu vzoru.

$$U = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

Aby bylo možné doplnit bloky označené otazníkem tak, aby $U$ byla unitární, je nutnou a postačující podmínkou, aby prvních $n$ sloupců, které jsou tvořeny bloky $\sqrt{P_0},\ldots,\sqrt{P_{m-1}},$ bylo ortonormálních. Poté můžeme použít Gram-Schmidtův ortogonalizační proces k doplnění zbývajících sloupců, stejně jako jsme se s tím setkali v předchozí lekci.

Prvních $n$ sloupců matice $U$ lze vyjádřit jako vektory následujícím způsobem, kde $c = 0,\ldots,n-1$ označuje číslo sloupce počínaje od $0.$

$$\vert\gamma_c\rangle = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a \rangle \otimes \sqrt{P_a} \vert c\rangle$$

Skalární součin libovolných dvou z nich můžeme vypočítat následovně.

$$\langle \gamma_c \vert \gamma_d \rangle = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \langle a \vert b \rangle \cdot \langle c \vert \sqrt{P_a}\sqrt{P_b}\, \vert d\rangle = \langle c \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert d\rangle = \langle c \vert d\rangle$$

To ukazuje, že tyto sloupce jsou skutečně ortonormální, takže můžeme doplnit zbývající sloupce matice $U$ způsobem, který zaručí, že celá matice je unitární.

Zbývá ověřit, že pravděpodobnosti výsledků měření pro simulaci jsou konzistentní s původním měřením. Pro daný počáteční stav $\rho$ systému $\mathsf{X}$ vede měření popsané kolekcí $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ ke každému výsledku $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ s pravděpodobností $\operatorname{Tr}(P_a \rho).$

Pro získání pravděpodobností výsledků simulace pojmenujme nejprve $\sigma$ stav systému $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ po provedení $U.$ Tento stav lze vyjádřit následovně.

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}$$

Ekvivalentně v blokovém maticovém tvaru máme následující rovnici.

$$\begin{aligned} \sigma & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \rho & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \sqrt{P_1} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}\\[5mm] & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_{m-1}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Všimni si, že prvky $U$ spadající do bloků označených otazníkem nemají na výsledek žádný vliv, a to díky tomu, že konjugujeme matici tvaru $\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$ — takže prvky s otazníkem jsou při výpočtu maticového součinu vždy vynásobeny nulovými prvky matice $\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$.

Nyní můžeme analyzovat, co se stane, když se provede měření ve standardní bázi na $\mathsf{Y}.$ Pravděpodobnosti možných výsledků jsou dány diagonálními prvky redukovaného stavu $\sigma_{\mathsf{Y}}$ systému $\mathsf{Y}.$

$$\sigma_{\mathsf{Y}} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}\Bigr) \vert a\rangle \langle b \vert$$

Konkrétně, pomocí cyklické vlastnosti stopy vidíme, že pravděpodobnost získání daného výsledku $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ je následující.

$$\langle a \vert \sigma_{\mathsf{Y}} \vert a \rangle = \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}\Bigr) = \operatorname{Tr}(P_a \rho)$$

To odpovídá původnímu měření, čímž se potvrzuje správnost simulace.

Nedestruktivní měření

Dosud jsme se v této lekci zabývali destruktivními měřeními, kde výstup sestává pouze z klasického výsledku měření a neexistuje žádná specifikace post-měřicího kvantového stavu systému, který byl měřen.

Nedestruktivní měření naopak přesně toto poskytují. Konkrétně nedestruktivní měření popisují nejen pravděpodobnosti klasických výsledků měření, ale také stav měřeného systému podmíněný každým možným výsledkem měření. Všimni si, že termín nedestruktivní se vztahuje na systém, který je měřen, ale ne nutně na jeho stav, který se může v důsledku měření výrazně změnit.

Obecně platí, že pro dané destruktivní měření bude existovat více (ve skutečnosti nekonečně mnoho) nedestruktivních měření, která jsou kompatibilní s daným destruktivním měřením, což znamená, že pravděpodobnosti klasických výsledků měření přesně odpovídají destruktivnímu měření. Neexistuje tedy jednoznačný způsob, jak definovat post-měřicí kvantový stav systému pro dané měření.

Ve skutečnosti je možné nedestruktivní měření zobecnit ještě dále, aby produkovala klasický výsledek měření spolu s kvantovým stavem výstupního systému, který nemusí být nutně stejný jako vstupní systém.

Pojem nedestruktivního měření je zajímavá a užitečná abstrakce. Je však třeba si uvědomit, že nedestruktivní měření lze vždy popsat jako kompozice kanálů a destruktivních měření — takže v jistém smyslu je pojem destruktivního měření fundamentálnější.

Z Naimarkovy věty

Uvažuj simulaci obecného měření, jak ji máme v Naimarkově větě. Jednoduchý způsob, jak z této simulace získat nedestruktivní měření, odhaluje předchozí obrázek, kde systém $\mathsf{X}$ není vytrasován, ale je součástí výstupu. To dává jak klasický výsledek měření $a\in\{0,\ldots,m-1\}$, tak i post-měřicí kvantový stav systému $\mathsf{X}.$

Popišme tyto stavy matematicky. Předpokládáme, že počáteční stav $\mathsf{X}$ je $\rho,$ takže po zavedení inicializovaného systému $\mathsf{Y}$ a provedení $U$ máme, že $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ je ve stavu

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}.$$

Pravděpodobnosti různých klasických výsledků jsou stejné jako předtím — nemohou se změnit tím, že se rozhodneme ignorovat nebo neignorovat $\mathsf{X}.$ To znamená, že každý výsledek $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ získáme s pravděpodobností $\operatorname{Tr}(P_a \rho).$

Za podmínky, že jsme získali konkrétní výsledek měření $a,$ je výsledný stav $\mathsf{X}$ dán tímto výrazem.

$$\frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}$$

Jeden ze způsobů, jak to vidět, je reprezentovat měření ve standardní bázi systému $\mathsf{Y}$ pomocí úplně defázujícího kanálu $\Delta_m,$ kde výstup kanálu popisuje klasické výsledky měření jako (diagonální) matice hustoty. Výraz stavu, který získáme, je následující.

$$\sum_{a,b=0}^{m-1} \Delta_m(\vert a\rangle \langle b \vert) \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b} = \sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}.$$

Tento stav pak můžeme zapsat jako konvexní kombinaci produktových stavů,

$$\sum_{a=0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho)\, \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)},$$

což je konzistentní s výrazem, který jsme získali pro stav $\mathsf{X}$ podmíněný každým možným výsledkem měření.

Z Krausovy reprezentace

Existují alternativní volby $U$ v kontextu Naimarkovy věty, které produkují stejné pravděpodobnosti výsledků měření, ale dávají zcela odlišné výstupní stavy $\mathsf{X}.$

Například jednou z možností je nahradit $U$ výrazem $(\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes V) U,$ kde $V$ je libovolná unitární operace na $\mathsf{X}.$ Aplikace $V$ na $\mathsf{X}$ komutuje s měřením $\mathsf{Y},$ takže pravděpodobnosti klasických výsledků se nemění, ale nyní se stav $\mathsf{X}$ podmíněný výsledkem $a$ stává

$$\frac{V \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

Obecněji bychom mohli nahradit $U$ unitární maticí

$$\Biggl(\sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes V_a\Biggr) U$$

pro libovolnou volbu unitárních operací $V_0,\ldots,V_{m-1}$ na $\mathsf{X}.$ Opět se pravděpodobnosti klasických výsledků nemění, ale nyní se stav $\mathsf{X}$ podmíněný výsledkem $a$ stává

$$\frac{V_a \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

Ekvivalentní způsob, jak vyjádřit tuto volnost, je spojen s Krausovými reprezentacemi. To znamená, že můžeme popsat nedestruktivní měření s $m$ výsledky systému majícího $n$ klasických stavů pomocí výběru $n\times n$ Krausových matic $A_0,\ldots,A_{m-1}$ splňujících typickou podmínku pro Krausovy matice.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} A_a^{\dagger} A_a = \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \tag{1}$$

Za předpokladu, že počáteční stav $\mathsf{X}$ je $\rho,$ klasický výsledek měření je $a$ s pravděpodobností

$$\operatorname{Tr}\bigl(A_a \rho A_a^{\dagger}\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl(A_a^{\dagger} A_a \rho \bigr)$$

a za podmínky, že výsledek je $a,$ stav $\mathsf{X}$ se stává

$$\frac{A_a \rho A_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(A_a^{\dagger}A_a \rho)}.$$

Všimni si, že to je ekvivalentní volbě unitární operace $U$ v Naimarkově větě následujícím způsobem.

$$U = \begin{pmatrix} A_{0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] A_{1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] A_{m-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

V předchozí lekci jsme pozorovali, že sloupce tvořené bloky $A_0,\ldots,A_{m-1}$ jsou nutně ortogonální, z důvodu podmínky $(1).$

Zobecnění

Existují ještě obecnější způsoby, jak formulovat nedestruktivní měření, než ty, které jsme diskutovali.