Základy kvantových kanálů

V matematickém smyslu jsou kanály lineární zobrazení z matic hustoty na matice hustoty, která splňují určité požadavky. V celé této lekci budeme používat velká řecká písmena, včetně $\Phi$ a $\Psi$, stejně jako některá další písmena ve specifických případech, k označení kanálů.

Každý kanál $\Phi$ má vstupní systém a výstupní systém a my budeme typicky používat název $\mathsf{X}$ pro vstupní systém a $\mathsf{Y}$ pro výstupní systém. Běžně se stává, že výstupní systém kanálu je stejný jako vstupní systém, a v takovém případě můžeš použít stejné písmeno $\mathsf{X}$ pro oba.

Kanály jsou lineární zobrazení

Kanály jsou popsány lineárními zobrazeními, stejně jako pravděpodobnostní operace ve standardní formulaci klasické informace a unitární operace ve zjednodušené formulaci kvantové informace.

Pokud je kanál $\Phi$ proveden na vstupním systému $\mathsf{X},$ jehož stav je popsán maticí hustoty $\rho,$ pak výstupní systém kanálu je popsán maticí hustoty $\Phi(\rho).$ V situaci, kdy výstupní systém $\Phi$ je také $\mathsf{X},$ můžeš jednoduše chápat kanál jako změnu stavu $\mathsf{X}$ z $\rho$ na $\Phi(\rho).$ Když je výstupní systém $\Phi$ jiný systém $\mathsf{Y},$ nikoli $\mathsf{X},$ je třeba chápat, že $\mathsf{Y}$ je nový systém vytvořený procesem aplikace kanálu a že vstupní systém $\mathsf{X}$ již není k dispozici, jakmile je kanál aplikován — jako by kanál sám transformoval $\mathsf{X}$ na $\mathsf{Y},$ a zanechal ho ve stavu $\Phi(\rho).$

Předpoklad, že kanály jsou popsány lineárními zobrazeními, lze chápat jako axiom — jinými slovy, základní postulát teorie, nikoli něco, co se dokazuje. Můžeme však vidět potřebu, aby kanály působily lineárně na konvexní kombinace vstupních matic hustoty, aby byly konzistentní s teorií pravděpodobnosti a s tím, co jsme se již naučili o maticích hustoty.

Konkrétněji předpokládej, že máš kanál $\Phi$ a aplikuješ ho na systém, který je v jednom ze dvou stavů reprezentovaných maticemi hustoty $\rho$ a $\sigma$. Pokud aplikuješ kanál na $\rho$, získáš matici hustoty $\Phi(\rho)$, a pokud ho aplikuješ na $\sigma$, získáš matici hustoty $\Phi(\sigma)$. Pokud tedy náhodně zvolíš vstupní stav $\mathsf{X}$ jako $\rho$ s pravděpodobností $p$ a $\sigma$ s pravděpodobností $1-p$, získáš výstupní stav $\Phi(\rho)$ s pravděpodobností $p$ a $\Phi(\sigma)$ s pravděpodobností $1-p$, což reprezentujeme jako vážený průměr matic hustoty $p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma)$.

Na druhou stranu bychom mohli chápat vstupní stav kanálu jako vážený průměr $p\rho + (1-p)\sigma$, v takovém případě je výstupem $\Phi(p\rho + (1-p)\sigma)$. Jedná se o stejný stav bez ohledu na to, jak se na něj rozhodneme nahlížet, takže musí platit

$$\Phi(p\rho + (1-p)\sigma) = p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma).$$

Kdykoli máme zobrazení, které splňuje tuto podmínku pro každou volbu matic hustoty $\rho$ a $\sigma$ a skalárů $p\in [0,1]$, lze toto zobrazení vždy jednoznačně rozšířit na každý maticový vstup (tj. nejen na vstupy matic hustoty), aby bylo lineární.

Kanály transformují matice hustoty na matice hustoty

Přirozeně, kromě toho, že kanály jsou lineární zobrazení, musí také transformovat matice hustoty na matice hustoty. Pokud je kanál $\Phi$ aplikován na vstupní systém, zatímco je tento systém ve stavu reprezentovaném maticí hustoty $\rho$, pak získáme systém, jehož stav je reprezentován $\Phi(\rho)$, což musí být platná matice hustoty, abychom to mohli interpretovat jako stav.

Je však kriticky důležité, abychom zvážili obecnější situaci, kdy kanál $\Phi$ transformuje systém $\mathsf{X}$ na systém $\mathsf{Y}$ v přítomnosti dalšího systému $\mathsf{Z}$, se kterým se nic neděje. To znamená, že pokud začneme s dvojicí systémů $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ ve stavu popsaném nějakou maticí hustoty a poté aplikujeme $\Phi$ pouze na $\mathsf{X}$, čímž ho transformujeme na $\mathsf{Y}$, musíme získat matici hustoty popisující stav dvojice $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$.

Můžeme matematicky popsat, jak kanál $\Phi$, mající vstupní systém $\mathsf{X}$ a výstupní systém $\mathsf{Y}$, transformuje stav dvojice $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ na stav $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$, když se se systémem $\mathsf{Z}$ nic nedělá. Pro jednoduchost budeme předpokládat, že klasická množina stavů systému $\mathsf{Z}$ je $\{0,\ldots,m-1\}$. To nám umožňuje zapsat libovolnou matici hustoty $\rho$, reprezentující stav $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$, v následujícím tvaru.

$$\rho = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \rho_{a,b} = \begin{pmatrix} \rho_{0,0} & \rho_{0,1} & \cdots & \rho_{0,m-1} \\[1mm] \rho_{1,0} & \rho_{1,1} & \cdots & \rho_{1,m-1} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \rho_{m-1,0} & \rho_{m-1,1} & \cdots & \rho_{m-1,m-1} \end{pmatrix}$$

Na pravé straně této rovnice máme blokovou matici, kterou si můžeš představit jako matici matic, kde jsou vnitřní závorky odstraněny. To nám dává obyčejnou matici, kterou lze alternativně popsat pomocí Diracovy notace, jak je uvedeno ve středním výrazu. Každá matice $\rho_{a,b}$ má řádky a sloupce odpovídající klasickým stavům systému $\mathsf{X}$ a tyto matice lze určit jednoduchým vzorcem.

$$\rho_{a,b} = \bigl(\langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr) \rho \bigl(\vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr)$$

Všimni si, že toto obecně nejsou matice hustoty — pouze když jsou uspořádány dohromady tak, aby tvořily $\rho,$ získáme matici hustoty.

Následující rovnice popisuje stav $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$, který získáme, když je $\Phi$ aplikováno na $\mathsf{X}$.

$$\sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \Phi(\rho_{a,b}) = \begin{pmatrix} \Phi(\rho_{0,0}) & \Phi(\rho_{0,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{0,m-1}) \\[1mm] \Phi(\rho_{1,0}) & \Phi(\rho_{1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{1,m-1}) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi(\rho_{m-1,0}) & \Phi(\rho_{m-1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{m-1,m-1}) \end{pmatrix}$$

Všimni si, že k vyhodnocení tohoto výrazu pro danou volbu $\Phi$ a $\rho$ musíš porozumět tomu, jak $\Phi$ funguje jako lineární zobrazení na vstupech, které nejsou maticemi hustoty, protože každá $\rho_{a,b}$ obecně nebude sama o sobě maticí hustoty. Rovnice je konzistentní s výrazem $(\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}} \otimes \,\Phi)(\rho)$, ve kterém $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}$ označuje identitní kanál na systému $\mathsf{Z}$. To předpokládá, že jsme rozšířili pojem tenzorového součinu na lineární zobrazení z matic na matice, což je přímočaré — ale pro tuto lekci to není podstatné a nebude to dále vysvětlováno.

Zopakujme tvrzení uvedené výše: aby lineární zobrazení $\Phi$ bylo platným kanálem, musí platit, že pro každou volbu $\mathsf{Z}$ a každou matici hustoty $\rho$ dvojice $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ vždy získáme matici hustoty, když je $\Phi$ aplikováno na $\mathsf{X}$. V matematickém smyslu jsou vlastnosti, které musí zobrazení mít, aby bylo kanálem, tyto: musí být zachovávající stopu — aby matice, kterou získáme aplikací kanálu, měla stopu rovnou jedné — a také úplně pozitivní — aby výsledná matice byla pozitivně semidefinitní. Obě tyto vlastnosti jsou důležité a lze je zkoumat odděleně, ale pro účely této lekce není kritické zkoumat tyto vlastnosti izolovaně.

Ve skutečnosti existují lineární zobrazení, která vždy vytvoří matici hustoty, když dostanou matici hustoty jako vstup, ale selžou při mapování matic hustoty na matice hustoty u složených systémů, takže tímto způsobem skutečně vylučujeme některá lineární zobrazení z třídy kanálů. (Nejjednodušším příkladem je lineární zobrazení dané transpozicí matice.)

Máme analogický vzorec k výše uvedenému pro případ, kdy jsou dva systémy $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Z}$ prohozeny, takže $\Phi$ je aplikováno na systém vlevo, nikoli vpravo.

$$\bigl(\Phi\otimes\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}\bigr)(\rho) = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \Phi(\rho_{a,b}) \otimes \vert a\rangle\langle b\vert$$

To předpokládá, že $\rho$ je stav $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ namísto $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$. Tentokrát popis blokovou maticí nefunguje, protože matice $\rho_{a,b}$ nezapadají do po sobě jdoucích řádků a sloupců v $\rho$, ale jedná se o stejnou základní matematickou strukturu.

Jakékoli lineární zobrazení, které splňuje požadavek, že vždy transformuje matice hustoty na matice hustoty, i když je aplikováno pouze na jednu část složeného systému, představuje platný kanál. Takže v abstraktním smyslu je pojem kanálu určen pojmem matice hustoty spolu s předpokladem, že kanály působí lineárně. V tomto ohledu jsou kanály analogické unitárním operacím ve zjednodušené formulaci kvantové informace, které jsou přesně ta lineární zobrazení, která vždy transformují kvantové stavové vektory na kvantové stavové vektory pro daný systém; stejně jako pravděpodobnostním operacím (reprezentovaným stochastickými maticemi) ve standardní formulaci klasické informace, které jsou přesně ta lineární zobrazení, která vždy transformují vektory pravděpodobnosti na vektory pravděpodobnosti.

Unitární operace jako kanály

Předpokládejme, že $\mathsf{X}$ je systém a $U$ je unitární matice reprezentující operaci na $\mathsf{X}$. Kanál $\Phi$, který popisuje tuto operaci na maticích hustoty, je definován následovně pro každou matici hustoty $\rho$ reprezentující kvantový stav $\mathsf{X}$.

$$\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger} \tag{1}$$

Toto působení, kdy násobíme $U$ zleva a $U^{\dagger}$ zprava, se běžně nazývá konjugace maticí $U$.

Tento popis je v souladu se skutečností, že matice hustoty, která reprezentuje daný vektor kvantového stavu $\vert\psi\rangle$, je $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$. Konkrétně, pokud je unitární operace $U$ provedena na $\vert\psi\rangle$, pak výstupní stav je reprezentován vektorem $U\vert\psi\rangle$, a proto matice hustoty popisující tento stav se rovná

$$(U \vert \psi \rangle )( U \vert \psi \rangle )^{\dagger} = U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}.$$

Jakmile víme, že jako kanál má operace $U$ působení $\vert\psi\rangle\langle \psi\vert \mapsto U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}$ na čisté stavy, můžeme z linearity usoudit, že musí fungovat tak, jak je uvedeno rovnicí $(1)$ výše pro libovolnou matici hustoty $\rho$.

Konkrétní kanál, který získáme, když vezmeme $U = \mathbb{I}$, je identitní kanál$\;\operatorname{Id}$, který můžeme také opatřit dolním indexem (jako například $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}$, se kterým jsme se už setkali), když chceme explicitně vyjádřit, na jaký systém tento kanál působí. Jeho výstup se vždy rovná jeho vstupu: $\operatorname{Id}(\rho) = \rho$. Může se zdát, že to není zajímavý kanál, ale ve skutečnosti je velmi důležitý — a je vhodné, že se jedná o náš první příklad. Identitní kanál je v některých kontextech dokonalý kanál, reprezentující ideální paměť nebo dokonalý, bezšumový přenos informace od odesílatele k příjemci.

Každý kanál definovaný unitární operací tímto způsobem je skutečně platný kanál: konjugace maticí $U$ nám dává lineární zobrazení; a pokud $\rho$ je matice hustoty systému $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ a $U$ je unitární, pak výsledek, který můžeme vyjádřit jako

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}),$$

je také matice hustoty. Konkrétně tato matice musí být pozitivně semidefinitní, protože pokud $\rho = M^{\dagger} M,$ pak

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}) = K^{\dagger} K$$

pro $K = M (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})$, a musí mít jednotkovou stopu díky cyklické vlastnosti stopy.

$$\operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}(\rho) = 1$$

Konvexní kombinace kanálů

Předpokládej, že máme dva kanály, $\Phi_0$ a $\Phi_1,$ které sdílejí stejný vstupní systém a stejný výstupní systém. Pro libovolné reálné číslo $p\in[0,1]$ se můžeme rozhodnout aplikovat $\Phi_0$ s pravděpodobností $p$ a $\Phi_1$ s pravděpodobností $1-p,$ čímž získáme nový kanál, který lze zapsat jako $p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1.$ Explicitně je způsob, jakým tento kanál působí na danou matici hustoty, specifikován následující jednoduchou rovnicí.

$$(p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1)(\rho) = p \Phi_0(\rho) + (1-p) \Phi_1(\rho)$$

Obecněji, pokud máme kanály $\Phi_{0},\ldots,\Phi_{m-1}$ a vektor pravděpodobností $(p_0,\ldots, p_{m-1})$, pak můžeme tyto kanály zprůměrovat a získat nový kanál.

$$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \Phi_k$$

Toto je konvexní kombinace kanálů a tímto procesem vždy získáme platný kanál. Jednoduchý způsob, jak to říci matematicky, je, že pro danou volbu vstupního a výstupního systému je množina všech kanálů konvexní množina.

Jako příklad bychom mohli zvolit aplikaci jedné z kolekce unitárních operací na určitý systém. Získáme takzvaný smíšený unitární kanál, což je kanál, který lze vyjádřit v následujícím tvaru.

$$\Phi(\rho) = \sum_{k=0}^{m-1} p_k U_k \rho U_k^{\dagger}$$

Smíšené unitární kanály, ve kterých jsou všechny unitární operace Pauliho matice (nebo tenzorové součiny Pauliho matic), se nazývají Pauliho kanály a v kvantovém počítání se s nimi běžně setkáváme.

Příklady qubitových kanálů

Nyní se podíváme na několik konkrétních příkladů kanálů, které nejsou unitární. Pro všechny tyto příklady jsou vstupní i výstupní systémy jednotlivé qubity, což znamená, že se jedná o příklady qubitových kanálů.

Kanál resetování qubit-u

Tento kanál dělá něco velmi jednoduchého: resetuje qubit do stavu $\vert 0\rangle$. Jako lineární zobrazení lze tento kanál vyjádřit následovně pro každou qubitovou matici hustoty $\rho$.

$$\Lambda(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle\langle 0\vert$$

Ačkoli stopa každé matice hustoty $\rho$ je rovna $1$, zápis kanálu tímto způsobem jasně ukazuje, že jde o lineární zobrazení, které lze aplikovat na jakoukoli $2\times 2$ matici, nejen na matici hustoty. Jak jsme již pozorovali, potřebujeme pochopit, jak kanály fungují jako lineární zobrazení na vstupy, které nejsou maticemi hustoty, abychom popsali, co se děje, když se aplikují pouze na jednu část složeného systému.

Předpokládej například, že $\mathsf{A}$ a $\mathsf{B}$ jsou qubit-y a dohromady je pár $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ v Bellově stavu $\vert \phi^+\rangle$. Jako matice hustoty je tento stav dán

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Pomocí Diracovy notace můžeme tento stav alternativně vyjádřit následovně.

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert$$

Aplikací kanálu resetování qubit-u na $\mathsf{A}$ a ponecháním $\mathsf{B}$ beze změny získáme následující stav.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \frac{\mathbb{I}}{2} & \end{aligned}$$

Mohlo by být lákavé říci, že resetování $\mathsf{A}$ mělo vliv na $\mathsf{B}$, a způsobilo, že se stal úplně smíšeným — ale v jistém smyslu je to vlastně naopak. Před resetováním $\mathsf{A}$ byl redukovaný stav $\mathsf{B}$ úplně smíšený stav, a to se v důsledku resetování $\mathsf{A}$ nemění.

Kanál úplného defázování

Zde je příklad qubitového kanálu nazvaného $\Delta$, popsaného svým působením na $2\times 2$ matice:

$$\Delta \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & 0\\[1mm] 0 & \alpha_{11} \end{pmatrix}.$$

Slovy řečeno, $\Delta$ vynuluje mimodiagonální prvky $2\times 2$ matice. Tento příklad lze zobecnit na libovolné systémy, nejen na qubit-y: ať je na vstupu jakákoli matice hustoty, kanál vynuluje všechny mimodiagonální prvky a diagonálu ponechá beze změny.

Tento kanál se nazývá kanál úplného defázování a lze si ho představit jako extrémní formu procesu známého jako dekoherence — který v podstatě ničí kvantové superpozice a mění je na klasické pravděpodobnostní stavy.

Další způsob, jak o tomto kanálu uvažovat, je, že popisuje měření ve standardní bázi na qubitu, kde je vstupní qubit změřen a poté zahozen, a kde výstupem je matice hustoty popisující výsledek měření. Alternativně, ale ekvivalentně, si můžeme představit, že výsledek měření je zahozen a qubit zůstane ve svém stavu po měření.

Uvažujme opět e-bit a podívejme se, co se stane, když se $\Delta$ aplikuje pouze na jeden ze dvou qubit-ů. Konkrétně máme qubit-y $\mathsf{A}$ a $\mathsf{B}$, pro které je $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ ve stavu $\vert\phi^+\rangle$, a tentokrát aplikujme kanál na druhý qubit. Zde je stav, který získáme.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert & \end{aligned}$$

Alternativně můžeme tuto rovnici vyjádřit pomocí blokových matic.

$$\begin{pmatrix} \Delta\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

Můžeme také uvažovat qubitový kanál, který qubit pouze mírně defázuje, na rozdíl od úplného defázování, což je méně extrémní forma dekoherence než ta, kterou představuje kanál úplného defázování. Konkrétně předpokládej, že $\varepsilon \in (0,1)$ je malé, ale nenulové reálné číslo. Můžeme definovat kanál

$$\Delta_{\varepsilon} = (1 - \varepsilon) \operatorname{Id} + \varepsilon \Delta,$$

který transformuje danou qubitovou matici hustoty $\rho$ takto:

$$\Delta_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Delta(\rho).$$

To znamená, že s pravděpodobností $1-\varepsilon$ se nic nestane a s pravděpodobností $\varepsilon$ se qubit defázuje. V maticovém vyjádření lze toto působení zapsat následovně, kde diagonální prvky zůstávají beze změny a mimodiagonální prvky se násobí hodnotou $1-\varepsilon$.

$$\rho = \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & (1-\varepsilon) \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] (1-\varepsilon) \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

Kanál úplné depolarizace

Zde je další příklad qubitového kanálu nazvaného $\Omega$.

$$\Omega(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}$$

Zde $\mathbb{I}$ označuje $2\times 2$ jednotkovou matici. Slovy řečeno, pro jakoukoli vstupní matici hustoty $\rho$ kanál $\Omega$ na výstupu vydá úplně smíšený stav. Více šumu už přidat nelze! Tento kanál se nazývá kanál úplné depolarizace a stejně jako kanál úplného defázování jej lze zobecnit na libovolné systémy namísto qubit-ů.

Můžeme také uvažovat méně extrémní variantu tohoto kanálu, kde k depolarizaci dochází s pravděpodobností $\varepsilon$, podobně jako jsme viděli u kanálu defázování.

$$\Omega_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Omega(\rho).$$