Reprezentace kanálů

Dále se budeme zabývat matematickými reprezentacemi kanálů.

Lineární zobrazení z vektorů na vektory lze známým způsobem reprezentovat maticemi, kde působení lineárního zobrazení je popsáno násobením matice a vektoru. Kanály jsou ale lineární zobrazení z matic na matice, ne z vektorů na vektory. Takže, obecně vzato, jak můžeme kanály vyjádřit v matematických termínech?

Pro některé kanály můžeme mít jednoduchý vzorec, který je popisuje, jako u tří příkladů neunitárních Qubit kanálů popsaných dříve. Libovolný kanál ale nemusí mít tak pěkný vzorec, takže obecně není praktické vyjadřovat kanál tímto způsobem.

Pro srovnání: ve zjednodušené formulaci kvantové teorie informace používáme unitární matice k reprezentaci operací na kvantových stavových vektorech: každá unitární matice představuje platnou operaci a každou platnou operaci lze vyjádřit jako unitární matici. V podstatě se ptáme: Jak můžeme udělat něco analogického pro kanály?

K zodpovězení této otázky budeme potřebovat další matematické nástroje. Uvidíme, že kanály lze ve skutečnosti matematicky popsat několika různými způsoby, včetně reprezentací pojmenovaných na počest tří osobností, které sehrály klíčovou roli v jejich vývoji: Stinespring, Kraus, a Choi. Tyto různé způsoby popisu kanálů společně nabízejí různé úhly pohledu, z nichž je lze zkoumat a analyzovat.

Stinespringovy reprezentace

Stinespringovy reprezentace jsou založeny na myšlence, že každý kanál lze implementovat standardním způsobem, kdy se vstupní systém nejprve zkombinuje s inicializovaným pracovním systémem a vytvoří složený systém; poté se na složeném systému provede unitární operace; a nakonec se pracovní systém zahodí (neboli se provede parciální stopa), čímž zůstane výstup kanálu.

Následující obrázek znázorňuje takovou implementaci ve formě obvodového diagramu pro kanál, jehož vstupní a výstupní systém je tentýž systém $\mathsf{X}.$

V tomto diagramu vodiče představují libovolné systémy, jak naznačují popisky nad vodiči, a nemusí to nutně být jednotlivé Qubity. Symbol uzemnění běžně používaný v elektrotechnice také explicitně naznačuje, že $\mathsf{W}$ je zahozen.

Implementace funguje slovně takto. Vstupní systém $\mathsf{X}$ začíná v nějakém stavu $\rho,$ zatímco pracovní systém $\mathsf{W}$ je inicializován do stavu standardní báze $\vert 0\rangle.$ Na páru $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ se provede unitární operace $U$ a nakonec se pracovní systém $\mathsf{W}$ vystopuje (provede se parciální stopa), čímž zůstane $\mathsf{X}$ jako výstup.

Všimni si, že předpokládáme, že $0$ je klasický stav $\mathsf{W},$ a volíme ho jako inicializovaný stav tohoto systému, což pomůže zjednodušit matematiku. Lze však zvolit jakýkoli pevný čistý stav jako inicializovaný stav $\mathsf{W}$, aniž by se změnily základní vlastnosti reprezentace.

Matematické vyjádření výsledného kanálu $\Phi$ je následující.

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$$

Jako obvykle používáme konvenci uspořádání Qiskitu: systém $\mathsf{X}$ je v diagramu nahoře, a proto odpovídá pravému tenzorovému faktoru ve vzorci.

Obecně vstupní a výstupní systém kanálu nemusí být totožné. Zde je obrázek znázorňující implementaci kanálu $\Phi,$ jehož vstupní systém je $\mathsf{X}$ a výstupní systém je $\mathsf{Y}.$

Tentokrát unitární operace transformuje $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ na pár $(\mathsf{G},\mathsf{Y}),$ kde $\mathsf{G}$ je nový „odpadní" systém, který se vystopuje, a $\mathsf{Y}$ zůstane jako výstupní systém. Aby $U$ bylo unitární, musí to být čtvercová matice. To vyžaduje, aby pár $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$ měl stejný počet klasických stavů jako pár $(\mathsf{W},\mathsf{X}),$ a proto musí být systémy $\mathsf{W}$ a $\mathsf{G}$ zvoleny tak, aby to bylo možné.

Získáme matematické vyjádření výsledného kanálu $\Phi,$ které je podobné tomu, co jsme měli předtím.

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$$

Když je kanál popsán tímto způsobem, tedy jako unitární operace spolu se specifikací inicializace pracovního systému a výběru výstupního systému, říkáme, že je vyjádřen ve Stinespringově tvaru neboli že jde o Stinespringovu reprezentaci kanálu.

Není to vůbec zřejmé, ale každý kanál skutečně má Stinespringovu reprezentaci, jak uvidíme na konci této lekce. Také uvidíme, že Stinespringovy reprezentace nejsou jedinečné; vždy budou existovat různé způsoby, jak implementovat stejný kanál popsaným způsobem.

Remark

V kontextu kvantové teorie informace se termín Stinespringova reprezentace běžně vztahuje k o něco obecnějšímu vyjádření kanálu ve tvaru

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( A \rho A^{\dagger} \bigr)$$

pro izometrii $A,$ což je matice, jejíž sloupce jsou ortonormální, ale nemusí to být čtvercová matice. Pro Stinespringovy reprezentace ve tvaru, který jsme přijali jako definici, můžeme získat vyjádření tohoto jiného tvaru tak, že položíme

$$A = U (\vert 0\rangle_{\mathsf{W}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}).$$

Kanál úplného rozfázování

Zde je Stinespringova reprezentace Qubit kanálu rozfázování $\Delta.$ V tomto diagramu oba vodiče představují jednotlivé Qubity — takže se jedná o běžný diagram kvantového obvodu.

Abychom ověřili, že efekt tohoto obvodu na vstupní Qubit je skutečně popsán kanálem úplného rozfázování, můžeme projít obvodem krok po kroku s využitím explicitní maticové reprezentace parciální stopy popsané v předchozí lekci. Horní Qubit budeme označovat jako $\mathsf{X}$ — to je vstup a výstup kanálu — a budeme předpokládat, že $\mathsf{X}$ začíná v nějakém libovolném stavu $\rho.$

Prvním krokem je zavedení pracovního Qubitu $\mathsf{W}.$ Před provedením Gate CNOT (controlled-NOT) je stav páru $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ reprezentován následující maticí hustoty.

$$\begin{aligned} \vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Podle konvence uspořádání Qiskitu je horní Qubit $\mathsf{X}$ napravo a dolní Qubit $\mathsf{W}$ nalevo. Používáme matice hustoty místo kvantových stavových vektorů, ale tenzorový součin se provádí podobně jako ve zjednodušené formulaci kvantové teorie informace.

Dalším krokem je provedení operace controlled-NOT, kde $\mathsf{X}$ je řídicí a $\mathsf{W}$ je cílový. S ohledem na konvenci uspořádání Qiskitu je maticová reprezentace tohoto Gate následující.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Jedná se o unitární operaci, a pro její aplikaci na matici hustoty provedeme konjugaci unitární maticí. Hermitovská sdružená matice tuto konkrétní matici nemění, takže výsledek je následující.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\[3mm] = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

Nakonec se provede parciální stopa přes $\mathsf{W}.$ Připomeňme si působení této operace na matice $4\times 4$, které bylo popsáno v předchozí lekci; získáme následující výstupní matici hustoty.

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[3mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \Delta(\rho) \end{aligned}$$

Parciální stopu můžeme alternativně spočítat tak, že nejprve převedeme do Diracovy notace.

$$\begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0\rangle & 0 & 0 & \langle 0\vert \rho \vert 1\rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0\rangle & 0 & 0 & \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \end{pmatrix} = \begin{array}{r} \langle 0\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert \\[1mm] +\, \langle 0\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 0\rangle\langle 1\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 1\vert \\[1mm] +\, \langle 1\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 1\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 1\rangle\langle 0\vert \\[1mm] +\, \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert 1\rangle\langle 1\vert \end{array}$$

Vystopováním Qubitu na levé straně získáme stejnou odpověď jako předtím.

$$\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0\vert +\, \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1\vert = \Delta(\rho)$$

Intuitivní způsob, jak přemýšlet o tomto Circuit, je, že operace controlled-NOT efektivně kopíruje klasický stav vstupního Qubitu, a když se kopie zahodí, vstupní Qubit se pravděpodobnostně „zkolabuje" do jednoho ze dvou možných klasických stavů, což je ekvivalentní úplnému rozfázování.

Kanál úplného rozfázování (alternativa)

Výše popsaný Circuit není jediný způsob, jak implementovat kanál úplného rozfázování. Zde je jiný způsob, jak to provést.

Následuje stručná analýza ukazující, že tato implementace funguje. Po provedení Hadamardova Gate máme tento dvou-Qubitový stav jako matici hustoty:

$$\begin{aligned} \vert + \rangle\langle + \vert \otimes \rho & = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 1 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Řízená brána $\sigma_z$ funguje při konjugaci následovně.

$$\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\\[3mm] = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

Nakonec se provede parciální stopa přes pracovní systém $\mathsf{W}$.

$$\frac{1}{2} \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[3mm] \begin{aligned} & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0\\[2mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Tato implementace je založena na jednoduché myšlence: úplný defázovací kanál je ekvivalentní buď neprovedení žádné operace (tedy aplikaci identické operace), nebo aplikaci brány $\sigma_z$, každé s pravděpodobností $1/2.$

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \rho + \frac{1}{2} \sigma_z \rho \sigma_z & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0\\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[2mm] & = \Delta(\rho) \end{aligned}$$

Tedy úplný defázovací kanál je příkladem smíšeného unitárního kanálu, a konkrétněji Pauliho kanálu.

Kanál pro reset Qubitu

Kanál pro reset Qubitu lze implementovat následovně.

Brána SWAP jednoduše přesune stav $\vert 0\rangle$, kterým je inicializován pracovní Qubit, na výstup, zatímco vstupní stav $\rho$ se přesune na spodní Qubit a poté se provede jeho parciální stopa.

Alternativně, pokud nepožadujeme, aby výstup kanálu zůstal nahoře, můžeme použít tento velmi jednoduchý obvod jako naši reprezentaci.

Jinak řečeno, resetování Qubitu do stavu $\vert 0\rangle$ je ekvivalentní zahození Qubitu a získání nového.

Krausovy reprezentace

Nyní probereme Krausovy reprezentace, které nabízejí pohodlný formulační způsob, jak vyjádřit působení kanálu prostřednictvím maticového násobení a sčítání. Konkrétně je Krausova reprezentace specifikací kanálu $\Phi$ v následujícím tvaru.

$$\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

Zde $A_0,\ldots,A_{N-1}$ jsou matice, které mají všechny stejné rozměry: jejich sloupce odpovídají klasickým stavům vstupního systému $\mathsf{X}$ a jejich řádky odpovídají klasickým stavům výstupního systému, ať už je to $\mathsf{X}$ nebo jiný systém $\mathsf{Y}.$ Aby $\Phi$ byl platný kanál, musí tyto matice splňovat následující podmínku.

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

Tato podmínka je ekvivalentní podmínce, že $\Phi$ zachovává stopu. Druhá vlastnost požadovaná od kanálu — tedy úplná pozitivita — vyplývá z obecného tvaru rovnice pro $\Phi$ jakožto součtu konjugací.

Někdy je vhodné pojmenovat matice $A_0,\ldots,A_{N-1}$ jiným způsobem. Můžeme je například číslovat od $1$, nebo můžeme jako dolní indexy místo čísel použít stavy z nějaké libovolné klasické množiny stavů $\Gamma$:

$$\Phi(\rho) = \sum_{a\in\Gamma} A_a \rho A_a^{\dagger} \quad \text{where} \quad \sum_{a\in\Gamma} A_a^{\dagger} A_a = \mathbb{I}.$$

Tyto různé způsoby pojmenování těchto matic, které se nazývají Krausovy matice, jsou běžné a mohou být v různých situacích praktické — ale v této lekci se pro jednoduchost budeme držet názvů $A_0,\ldots,A_{N-1}$.

Číslo $N$ může být libovolné kladné celé číslo, ale nikdy nemusí být příliš velké: pokud má vstupní systém $\mathsf{X}$ počet $n$ klasických stavů a výstupní systém $\mathsf{Y}$ má $m$ klasických stavů, pak každý daný kanál z $\mathsf{X}$ do $\mathsf{Y}$ bude mít vždy Krausovu reprezentaci, pro kterou je $N$ nejvýše součin $nm.$

Úplný defázovací kanál

Krausovu reprezentaci úplného defázovacího kanálu získáme volbou $A_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert$ a $A_1 = \vert 1\rangle\langle 1\vert.$

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \vert 0\rangle\langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \vert 1\rangle\langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle\langle 1 \vert\\ & = \langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1 \vert \\[2mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Tyto matice splňují požadovanou podmínku.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \vert 0\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert 1\rangle\langle 1\vert = \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert = \mathbb{I}$$

Alternativně můžeme zvolit $A_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb{I}$ a $A_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\sigma_z,$ takže

$$\sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} = \frac{1}{2} \rho + \frac{1}{2} \sigma_z \rho \sigma_z = \Delta(\rho),$$

jak bylo spočítáno dříve. Tentokrát lze požadovanou podmínku ověřit následovně.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \frac{1}{2} \mathbb{I} + \frac{1}{2} \sigma_z^2 = \frac{1}{2} \mathbb{I} + \frac{1}{2} \mathbb{I} = \mathbb{I}$$

Kanál pro reset Qubitu

Krausovu reprezentaci kanálu pro reset Qubitu získáme volbou $A_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert$ a $A_1 = \vert 0\rangle\langle 1\vert.$

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \vert 0\rangle\langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \vert 0\rangle\langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle\langle 0 \vert\\ & = \langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert\\[2mm] & = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle \langle 0 \vert \end{aligned}$$

Tyto matice splňují požadovanou podmínku.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \vert 0\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 1\vert = \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert = \mathbb{I}$$

Úplný depolarizační kanál

Jeden způsob, jak získat Krausovu reprezentaci úplného depolarizačního kanálu, je zvolit Krausovy matice $A_0,\ldots,A_3$ následovně.

$$A_0 = \frac{\vert 0\rangle\langle 0\vert}{\sqrt{2}} \quad A_1 = \frac{\vert 0\rangle\langle 1\vert}{\sqrt{2}} \quad A_2 = \frac{\vert 1\rangle\langle 0\vert}{\sqrt{2}} \quad A_3 = \frac{\vert 1\rangle\langle 1\vert}{\sqrt{2}}$$

Pro libovolnou qubitovou matici hustoty $\rho$ pak máme

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^3 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \frac{1}{2} \bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 0\rangle\langle 1\vert \rho \vert 1\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle\langle 1\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert \rho \vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr)\\ & = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}\\[1mm] & = \Omega(\rho). \end{aligned}$$

Alternativní Krausovu reprezentaci získáme volbou Krausových matic takto.

$$A_0 = \frac{\mathbb{I}}{2} \quad A_1 = \frac{\sigma_x}{2} \quad A_2 = \frac{\sigma_y}{2} \quad A_3 = \frac{\sigma_z}{2}$$

Abychom ověřili, že tyto Krausovy matice skutečně reprezentují úplný depolarizační kanál, nejprve si všimněme, jak funguje konjugace libovolné matice $2\times 2$ Pauliho maticí.

$$\begin{aligned} \sigma_x \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_x & = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,0}\\[1mm] \alpha_{0,1} & \alpha_{0,0} \end{pmatrix}\\[5mm] \sigma_y \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_y & = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & -\alpha_{1,0}\\[1mm] -\alpha_{0,1} & \alpha_{0,0} \end{pmatrix}\\[5mm] \sigma_z \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_z & = \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & -\alpha_{0,1}\\[1mm] -\alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

To nám umožňuje ověřit správnost naší Krausovy reprezentace.

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^3 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \frac{\rho + \sigma_x \rho \sigma_x + \sigma_y \rho \sigma_y + \sigma_z \rho \sigma_z}{4} \\ & = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle & \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle - \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle - \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle \\[2mm] \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle - \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle - \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle & \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle \end{pmatrix} \\[4mm] & = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2} \end{aligned}$$

Tato Krausova reprezentace vyjadřuje důležitou myšlenku, a to že stav qubitu lze kompletně znáhodnit tím, že na něj aplikujeme jednu ze čtyř Pauliho matic (včetně matice identity) zvolenou rovnoměrně náhodně. Úplně depolarizující kanál je tedy dalším příkladem Pauliho kanálu.

Pro úplně depolarizující kanál $\Omega$ není možné najít Krausovu reprezentaci se třemi nebo méně Krausovými maticemi; pro tento kanál jsou potřeba alespoň čtyři.

Unitární kanály

Pokud máme unitární matici $U$ reprezentující operaci na systému $\mathsf{X},$ můžeme akci této unitární operace vyjádřit jako kanál:

$$\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger}.$$

Tento výraz je již platnou Krausovou reprezentací kanálu $\Phi,$ kde máme jen jednu Krausovu matici $A_0 = U.$ V tomto případě požadovaná podmínka

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

nabývá mnohem jednodušší podoby $U^{\dagger} U = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$ o čemž víme, že platí, protože $U$ je unitární.

Choiho reprezentace

Nyní probereme třetí způsob, jak lze kanály popsat, a to pomocí Choiho reprezentace. Funguje to tak, že každý kanál je reprezentován jedinou maticí známou jako jeho Choiho matice. Pokud má vstupní systém $n$ klasických stavů a výstupní systém má $m$ klasických stavů, pak Choiho matice kanálu bude mít $nm$ řádků a $nm$ sloupců.

Choiho matice poskytují věrnou reprezentaci kanálů, což znamená, že dva kanály jsou stejné právě tehdy, když mají stejnou Choiho matici. Jedním z důvodů, proč je to důležité, je to, že nám to poskytuje způsob, jak určit, zda dva různé popisy odpovídají stejnému kanálu nebo různým kanálům: jednoduše vypočteme Choiho matice a porovnáme je, zda jsou si rovny. Naproti tomu Stinespringovy a Krausovy reprezentace nejsou tímto způsobem jednoznačné, jak jsme viděli.

Choiho matice jsou také užitečné v dalších ohledech pro odkrývání různých matematických vlastností kanálů.

Definice

Nechť $\Phi$ je kanál ze systému $\mathsf{X}$ do systému $\mathsf{Y}$ a předpokládejme, že množina klasických stavů vstupního systému $\mathsf{X}$ je $\Sigma.$ Choiho reprezentace $\Phi,$ která se značí $J(\Phi),$ je definována následující rovnicí.

$$J(\Phi) = \sum_{a,b\in\Sigma} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl( \vert a\rangle\langle b \vert\bigr)$$

Pokud předpokládáme, že $\Sigma = \{0,\ldots, n-1\}$ pro nějaké kladné celé číslo $n,$ pak můžeme alternativně vyjádřit $J(\Phi)$ jako blokovou matici:

$$J(\Phi) = \begin{pmatrix} \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle n-1\vert\bigr) \\[1mm] \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle n-1\vert\bigr) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle n-1\vert\bigr) \end{pmatrix}$$

To znamená, že jako bloková matice má Choiho matice kanálu jeden blok $\Phi(\vert a\rangle\langle b\vert)$ pro každou dvojici $(a,b)$ klasických stavů vstupního systému, přičemž bloky jsou uspořádány přirozeným způsobem.

Všimni si, že množina $\{\vert a\rangle\langle b\vert \,:\, 0\leq a,b < n\}$ tvoří bázi prostoru všech $n\times n$ matic. Protože $\Phi$ je lineární, vyplývá z toho, že její akci lze obnovit z Choiho matice pomocí lineárních kombinací bloků.

Choiho stav kanálu

Další způsob, jak přemýšlet o Choiho matici kanálu, je ten, že se jedná o matici hustoty, pokud vydělíme $n = \vert\Sigma\vert.$ Zaměřme se pro jednoduchost na situaci, kdy $\Sigma = \{0,\ldots,n-1\},$ a představme si, že máme dvě identické kopie $\mathsf{X},$ které jsou společně v provázaném stavu

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{a = 0}^{n-1} \vert a \rangle \otimes \vert a \rangle.$$

Jako matice hustoty je tento stav následující.

$$\vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle\langle b \vert$$

Pokud aplikujeme $\Phi$ na kopii $\mathsf{X}$ na pravé straně, získáme Choiho matici vydělenou $n.$

$$(\operatorname{Id}\otimes \,\Phi) \bigl(\vert \psi \rangle \langle \psi \vert\bigr) = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) = \frac{J(\Phi)}{n}$$

Slovy řečeno, až na normalizační faktor $1/n$ je Choiho matice $\Phi$ matice hustoty, kterou získáme vyhodnocením $\Phi$ na jedné polovině maximálně provázaného páru vstupních systémů, jak znázorňuje následující obrázek.

Všimni si zejména, že to znamená, že Choiho matice kanálu musí být vždy pozitivně semidefinitní.

Také vidíme, že protože kanál $\Phi$ je aplikován pouze na pravý/horní systém, nemůže ovlivnit redukovaný stav levého/dolního systému. V daném případě je tento stav úplně smíšeným stavem $\mathbb{I}_{\mathsf{X}}/n,$ a proto

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \biggl(\frac{J(\Phi)}{n}\biggr) = \frac{\mathbb{I}_{\mathsf{X}}}{n}.$$

Odstraněním jmenovatele $n$ z obou stran dostaneme $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$

Ke stejnému závěru můžeme alternativně dospět pomocí faktu, že kanály musí vždy zachovávat stopu, a proto

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\Phi( \vert a\rangle\langle b \vert)\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert \\ & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert \\ & = \sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle\langle a \vert \\ & = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}. \end{aligned}$$

Shrneme-li to, Choiho reprezentace $J(\Phi)$ pro jakýkoli kanál $\Phi$ musí být pozitivně semidefinitní a musí splňovat

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$$

Jak uvidíme na konci této lekce, tyto dvě podmínky jsou nejen nutné, ale také postačující, což znamená, že jakékoli lineární zobrazení $\Phi$ z matic do matic, které splňuje tyto požadavky, musí být ve skutečnosti kanálem.

Úplně defázující kanál

Choiho reprezentace úplně defázujícího kanálu $\Delta$ je

$$\begin{aligned} J(\Delta) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Delta\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \vert a\rangle\langle a \vert \\[4mm] & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Úplně depolarizující kanál

Choiho reprezentace úplně depolarizujícího kanálu je

$$\begin{aligned} J(\Omega) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Omega\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \frac{1}{2} \mathbb{I} \\[4mm] & = \frac{1}{2} \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}\\[3mm] & = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Kanál resetu Qubit

Choiho reprezentace kanálu resetu qubitu $\Phi$ je

$$\begin{aligned} J(\Lambda) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Lambda\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert\\[4mm] & = \mathbb{I} \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert\\[3mm] & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Identický kanál

Choiho reprezentace qubitového identického kanálu $\operatorname{Id}$ je

$$\begin{aligned} J(\operatorname{Id}) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \operatorname{Id}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \\ & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a \rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle \langle b \vert \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$