Kvantová aproximativní vícekriteriální optimalizace

Odhad využití: 10 minut na procesoru Heron r2 (POZNÁMKA: Jde pouze o odhad. Tvoje doba běhu se může lišit.)

Výsledky učení

Tento tutoriál řeší optimalizační problém portfolia s omezenou kardinalitou: při omezení držet přesně $K$ aktiv vyvažuje cíle rizika, výnosu a diverzifikace, aby našel množinu optimálních portfolií.

Po dokončení tohoto tutoriálu budeš rozumět:

• Jak vyjádřit problém výběru portfolia se třemi soupeřícími cíli — nízké riziko, vysoký výnos a dobrá diverzifikace — jako problém kvantové optimalizace.

• Jak jediný obvod QAOA, procházející množinu vah cílů, zmapuje Paretovu frontu optimálních kompromisních portfolií.

• Jak mixér XY udržuje hledání uvnitř podprostoru „vyber přesně K aktiv“, takže není potřeba žádný penalizační člen a přípustnost se vynucuje postselekcí naměřených bitových řetězců.

• Jak trénovat úhly obvodu pomocí simulátoru maticových součinových stavů v měřítku příliš velkém na přesnou optimalizaci, podle Kotil et al. (arXiv:2503.22797).

Předpoklady

Doporučujeme, abys byl obeznámen s:

• Pracovním postupem vzorů Qiskit (mapování, optimalizace, provedení, následné zpracování).

• Základy QAOA.

Pozadí

Správce portfolia málokdy optimalizuje jediné číslo. Chce, aby byly výnosy vysoké, riziko (rozptyl těchto výnosů) nízké a podíly rozprostřené napříč sektory, aby portfolio nebylo příliš vystaveno jedné části trhu. Tyto cíle se střetávají: aktiva s nejvyšším výnosem jsou často nejvolatilnější a soustředění do jednoho žhavého sektoru škodí diverzifikaci.

Neexistuje žádné jediné „nejlepší“ portfolio. Místo toho existuje Paretova fronta: množina portfolií, u nichž nelze zlepšit jeden cíl bez vzdání se jiného. Naším cílem je tuto frontu zmapovat, aby si osoba rozhodující mohla vybrat preferovaný kompromis.

Problém formulujeme jako výběr přesně $K$ aktiv z $N$ (každé aktivum je buď zahrnuto, nebo ne — jeden qubit na aktivum). Tři hamiltoniány kódují tři cíle. Kombinujeme je s váhami $c$, které leží na simplexu (jejich součet je jedna), a vzorkovač QAOA vrací dobrá portfolia pro každou volbu vah. Procházení vah mění relativní důležitost rizika oproti výnosu oproti diverzifikaci a sjednocení všech vzorkovaných portfolií zmapuje Paretovu frontu.

Nejprve projdeme celý pracovní postup na malém příkladu s osmi aktivy, který můžeme ověřit hrubou silou, a poté spustíme stejnou metodu na instanci se 40 aktivy dimenzovanou pro kvantový hardware.

Tento tutoriál učí pracovní postup (mapování, trénování úhlů, vzorkování s omezením a Paretovo následné zpracování), nikoli demonstraci kvantové výhody. V měřítku 40 aktiv použitém zde si rovnoměrné náhodné vzorkování vede zhruba stejně dobře jako vzorkovač QAOA a toto srovnání výslovně ukazujeme.

Požadavky

Než začneš s tímto tutoriálem, ujisti se, že máš nainstalováno následující:

• Qiskit SDK v2.0 nebo novější s podporou vizualizace

• Qiskit Runtime v0.22 nebo novější (pip install qiskit-ibm-runtime)

• Qiskit Aer (pip install qiskit-aer)

• Addon Qiskit Optimization mapper (pip install qiskit-addon-opt-mapper) a trénovací pipeline QAOA připnutou ke značce v0.1.0: pip install "git+https://github.com/qiskit-community/qaoa_training_pipeline.git@v0.1.0"

• moocore pro výpočty Paretovy fronty a hypervolume (pip install moocore)

Nastavení

Naimportuj knihovny používané v celém tutoriálu a nastav náhodné semínko pro reprodukovatelnost.

# Added by doQumentation — installs the packages this notebook needs if they are missing
import importlib.util

_needed = {"matplotlib": "matplotlib", "moocore": "moocore", "numpy": "numpy", "qaoa_training_pipeline": "qaoa-training-pipeline", "qiskit": "qiskit", "qiskit_addon_opt_mapper": "qiskit-addon-opt-mapper", "qiskit_aer": "qiskit-aer", "qiskit_ibm_runtime": "qiskit-ibm-runtime", "scipy": "scipy"}
_missing = [pip for module, pip in _needed.items()
            if importlib.util.find_spec(module) is None]
# One at a time, so a package that fails to install does not block the others
for _pip in _missing:
    %pip install -q {_pip}
if not _missing:
    print("\u2713 All required packages are installed")

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import comb
from moocore import hypervolume, filter_dominated, is_nondominated

from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit.circuit import ParameterVector
from qiskit.circuit.library import qaoa_ansatz
from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp
from qiskit.transpiler import generate_preset_pass_manager
from qiskit_aer.primitives import SamplerV2 as AerSampler
from qiskit_addon_opt_mapper.problems import OptimizationProblem
from qaoa_training_pipeline.training import ScipyTrainer
from qaoa_training_pipeline.evaluation import (
    StatevectorEvaluator,
    MPSAerEvaluator,
)

np.random.seed(42)
sampler = AerSampler(seed=42)  # local simulator for the small-scale example
print("Setup complete.")

Setup complete.

Příklad malého rozsahu na simulátoru

Začneme osmi aktivy z šesti sektorů a vybereme přesně $K=4$ z nich. Při pouhých osmi aktivech existuje jen $\binom{8}{4}=70$ platných portfolií, takže kvantový výsledek můžeme později ověřit vyčerpávajícím hledáním.

Krok 1: Mapování klasických vstupů na kvantový problém

Každé aktivum je jeden qubit; bitový řetězec jako 10110010 je portfolio (jedničky jsou aktiva, která držíme). Potřebujeme tři složky: tržní data, tři cílové hamiltoniány a obvod, který navrhuje vždy jen portfolia s přesně $K$ aktivy.

# --- Small-scale universe: 8 assets across 6 sectors ---
tickers = ["AAPL", "XOM", "JPM", "JNJ", "KO", "AMT", "AMZN", "SLB"]
sectors = [
    "Tech",
    "Energy",
    "Finance",
    "Health",
    "Staples",
    "REIT",
    "Tech",
    "Energy",
]
n_assets = len(tickers)
K = 4  # choose exactly K assets
n_obj = 3  # risk, return, diversification

# Annualized expected returns
mu = np.array([0.28, 0.12, 0.22, 0.05, 0.08, 0.10, 0.32, 0.15])

# Annualized covariance matrix (the "risk" model)
sigma = np.array(
    [
        [0.070, 0.010, 0.020, 0.008, 0.005, 0.012, 0.045, 0.011],
        [0.010, 0.065, 0.015, 0.006, 0.004, 0.008, 0.009, 0.050],
        [0.020, 0.015, 0.055, 0.010, 0.007, 0.015, 0.018, 0.014],
        [0.008, 0.006, 0.010, 0.030, 0.012, 0.009, 0.007, 0.005],
        [0.005, 0.004, 0.007, 0.012, 0.025, 0.006, 0.004, 0.003],
        [0.012, 0.008, 0.015, 0.009, 0.006, 0.045, 0.011, 0.007],
        [0.045, 0.009, 0.018, 0.007, 0.004, 0.011, 0.085, 0.010],
        [0.011, 0.050, 0.014, 0.005, 0.003, 0.007, 0.010, 0.072],
    ]
)

# Diversification score: number of cross-sector pairs in the portfolio.
# D[i,j] = 0.5 when assets i and j are in different sectors, so x^T D x counts
# the cross-sector pairs. More cross-sector pairs = better diversified.
D = np.array(
    [
        [1.0 if sectors[i] != sectors[j] else 0.0 for j in range(n_assets)]
        for i in range(n_assets)
    ]
)
np.fill_diagonal(D, 0.0)
D = D / 2

print(f"{n_assets} assets, choose K={K}, {n_obj} objectives")
for t, s, m in zip(tickers, sectors, mu):
    print(f"  {t:5s} ({s:8s})  expected return {m:5.0%}")

8 assets, choose K=4, 3 objectives
  AAPL  (Tech    )  expected return   28%
  XOM   (Energy  )  expected return   12%
  JPM   (Finance )  expected return   22%
  JNJ   (Health  )  expected return    5%
  KO    (Staples )  expected return    8%
  AMT   (REIT    )  expected return   10%
  AMZN  (Tech    )  expected return   32%
  SLB   (Energy  )  expected return   15%

# Each objective becomes a Hamiltonian whose lowest-energy bitstrings are the
# best portfolios for that objective. The opt-mapper turns a plain
# min/max problem over binary variables into the equivalent Ising operator.
def build_risk_hamiltonian(sigma, n):
    """Minimize portfolio variance x^T sigma x  (quadratic -> ZZ terms)."""
    prob = OptimizationProblem("risk")
    prob.binary_var_list(n)
    prob.minimize(quadratic=sigma)
    op, _ = prob.to_ising()
    return op.simplify()

def build_return_hamiltonian(mu, n):
    """Maximize expected return mu . x  (linear -> Z terms)."""
    prob = OptimizationProblem("return")
    prob.binary_var_list(n)
    prob.maximize(linear=mu)
    op, _ = prob.to_ising()
    return op.simplify()

def build_diversity_hamiltonian(D, n):
    """Maximize cross-sector pairs x^T D x  (quadratic -> ZZ terms)."""
    prob = OptimizationProblem("diversity")
    prob.binary_var_list(n)
    prob.maximize(quadratic=D)
    op, _ = prob.to_ising()
    return op.simplify()

H_risk = build_risk_hamiltonian(sigma, n_assets)
H_return = build_return_hamiltonian(mu, n_assets)
H_diversity = build_diversity_hamiltonian(D, n_assets)
cost_ops = [H_risk, H_return, H_diversity]

for name, op in zip(["risk", "return", "diversity"], cost_ops):
    print(f"H_{name:10s}: {op.size} Pauli terms")

H_risk      : 36 Pauli terms
H_return    : 8 Pauli terms
H_diversity : 34 Pauli terms

Vynucení „přesně K aktiv“ bez penalizace. Běžným trikem je přidat penalizační člen, který trestá portfolia špatné velikosti, ale ten propojuje každý qubit s každým dalším, což po transpilaci vede k mnohem hlubším obvodům. Místo toho používáme mixér XY, který posouvá stav QAOA vždy jen mezi bitovými řetězci stejné Hammingovy váhy. Pokud začneme ve stavu, který už má vybráno $K$ aktiv, každé portfolio, které obvod prozkoumá, má také přesně $K$ aktiv. Omezení je zabudováno do struktury obvodu, místo aby bylo vynucováno penalizačním členem.

Počáteční stav připravíme levně: pootočíme každý qubit tak, aby byl „zapnutý“ s pravděpodobností $K/N$. Omezeno na výsledky s $K$ aktivy to reprodukuje ideální stav s rovnými vahami (Dickeho stav), takže jednoduše ponecháme naměřené bitové řetězce, které mají přesně $K$ jedniček — krok zvaný postselekce.

def xy_mixer(n):
    """Line XY mixer: couples neighboring qubits with XX+YY. Conserves the number
    of selected assets (Hamming weight), so cardinality is preserved automatically.
    Using a line (not a full ring) keeps the circuit shallow and hardware-friendly."""
    terms = [
        (pauli, [i, i + 1], 1) for i in range(n - 1) for pauli in ("XX", "YY")
    ]
    return SparsePauliOp.from_sparse_list(terms, n)

def product_init(n, k):
    """Cheap initial state: each qubit rotated so P(selected) = k/n. Zero two-qubit
    gates. Post-selecting its weight-k outcomes reproduces the ideal Dicke state."""
    qc = QuantumCircuit(n)
    theta = 2 * np.arcsin(np.sqrt(k / n))
    for q in range(n):
        qc.ry(theta, q)
    return qc

# Combine the three objectives with weights c (bound later, at sampling time).
p_layers = 1
c = ParameterVector("c", n_obj)
# Negate the objective so the sampling phase separator matches the sign the angles
# were trained under (the trainer maximizes the negated sum); binding below keeps +gamma.
combined_cost_op = sum(
    -c[k] * H_k for k, H_k in enumerate(cost_ops)
).simplify()

ansatz = qaoa_ansatz(
    combined_cost_op,
    reps=p_layers,
    initial_state=product_init(n_assets, K),
    mixer_operator=xy_mixer(n_assets),
)
ansatz.measure_all()

betas = [p for p in ansatz.parameters if p.name.startswith("β")]
gammas = [p for p in ansatz.parameters if p.name.startswith("γ")]
print(f"Qubits: {ansatz.num_qubits} | QAOA layers: {p_layers}")
print(
    f"Tunable angles: {len(betas)} beta + {len(gammas)} gamma, plus {n_obj} objective weights"
)

Qubits: 8 | QAOA layers: 1
Tunable angles: 1 beta + 1 gamma, plus 3 objective weights

Krok 2: Optimalizace problému pro provedení na kvantovém hardwaru

Před spuštěním se abstraktní obvod transpiluje do hradel nativních pro hardware. V tomto malém měřítku jen zkoumáme náklady: jak hluboký je obvod a kolik dvouqubitových hradel používá? (Dvouqubitová hradla jsou hlavním zdrojem šumu na skutečných zařízeních.)

# Bind dummy angle values so we can transpile and measure the circuit's size.
dummy = {p: 0.1 for p in ansatz.parameters}
test_pm = generate_preset_pass_manager(optimization_level=1)
test_qc = test_pm.run(ansatz.assign_parameters(dummy))

print(f"Circuit depth          : {test_qc.depth()}")
print(
    f"Two-qubit gate depth   : {test_qc.depth(lambda x: len(x.qubits) > 1)}"
)
print(f"Two-qubit gate count   : {test_qc.num_nonlocal_gates()}")

Circuit depth          : 25
Two-qubit gate depth   : 23
Two-qubit gate count   : 42

Krok 3: Provedení pomocí primitiv Qiskit

Dvě fáze. Nejprve jednou natrénujeme úhly QAOA s rovnými vahami cílů pomocí přesného simulátoru stavového vektoru, abychom našli dobré hodnoty $\beta,\gamma$. Poté proženeme mnoho vektorů vah přes simplex a v každém vzorkujeme obvod, čímž shromáždíme kandidátní portfolia. Protože se mezi průchody mění jen váhy cílů (nikoli natrénované úhly), všechny vektory vah se odesílají v jediné dávkové úloze.

# Train the angles with equal objective weights.
# The trainer maximizes energy, so we negate the (to-be-minimized) objective sum.
training_op = sum(-1.0 / n_obj * H_k for H_k in cost_ops).simplify()

# Linear-ramp initialization (Sack and Serbyn, arXiv:2101.05742)
dt = 0.75
grid = np.arange(1, p_layers + 1) - 0.5
init_params = np.concatenate((1 - grid * dt / p_layers, grid * dt / p_layers))

trainer = ScipyTrainer(
    StatevectorEvaluator(), minimize_args={"options": {"maxiter": 300}}
)
print("Training QAOA angles (exact statevector)...")
result_train = trainer.train(
    cost_op=training_op,
    mixer=xy_mixer(n_assets),
    initial_state=product_init(n_assets, K),
    params0=init_params,
)
opt = result_train["optimized_params"]
opt_betas, opt_gammas = opt[:p_layers], opt[p_layers:]
print(f"Trained beta : {opt_betas}")
print(f"Trained gamma: {opt_gammas}")

Training QAOA angles (exact statevector)...
Trained beta : [3.329186967386619]
Trained gamma: [3.4449804324291033]

def random_uniform_simplex(n_samples, n_obj=3):
    """n_samples weight vectors spread uniformly over the (n_obj-1)-simplex."""
    s = np.zeros((n_samples, n_obj + 1))
    s[:, 1:-1] = np.random.rand(n_samples, n_obj - 1)
    s[:, -1] = 1
    s = np.sort(s, axis=1)
    return np.diff(s, axis=1)

# Bind the trained angles, leaving the objective weights c free for the sweep.
param_map = {betas[i]: opt_betas[i] for i in range(p_layers)}
param_map.update({gammas[i]: opt_gammas[i] for i in range(p_layers)})
ansatz_bound = ansatz.assign_parameters(param_map)

n_samples, shots = 200, 500
c_vecs = random_uniform_simplex(n_samples, n_obj)

print(f"Sampling {n_samples} weight vectors x {shots} shots...")
result = sampler.run([(ansatz_bound, c_vecs)], shots=shots).result()

# Collect every distinct bitstring seen across all weight vectors.
all_bitstrings = set()
for s in range(n_samples):
    for bs in result[0].data.meas.get_counts(s):
        # get_counts is little-endian; reverse so bit i = asset i
        all_bitstrings.add(bs.replace(" ", "")[::-1])
print(f"Distinct portfolios sampled: {len(all_bitstrings)}")

Sampling 200 weight vectors x 500 shots...
Distinct portfolios sampled: 256

Krok 4: Následné zpracování a vrácení výsledku v požadovaném klasickém formátu

Ponecháme jen přípustná portfolia (přesně $K$ aktiv z kroku postselekce), ohodnotíme každé podle všech tří cílů a vyextrahujeme Paretovu frontu: portfolia, která nejsou poražena zároveň ve všech cílech. Hypervolume je jediné číslo shrnující, kolik prostoru cílů fronta dominuje, a větší je lepší.

Při 100 000 měřeních nad pouhými 256 bitovými řetězci tento běh vidí všech 70 platných portfolií, takže při této velikosti jde fakticky o kontrolu hrubou silou, že je pipeline správně zapojena, nikoli o důkaz, že QAOA frontu našlo.

def evaluate_portfolio(bitstring, sigma, mu, D):
    """Score one portfolio on all three objectives (all framed as 'bigger is better')."""
    x = np.array([int(b) for b in bitstring])
    # negative risk, return, diversification (cross-sector pairs)
    return np.array([-(x @ sigma @ x), x @ mu, x @ D @ x])

# Post-select feasible portfolios, then score them.
feasible = [bs for bs in all_bitstrings if bs.count("1") == K]
fis = np.array([evaluate_portfolio(bs, sigma, mu, D) for bs in feasible])

pareto_front = filter_dominated(fis, maximise=True)
ref_point = fis.min(axis=0)
qmoo_hv = hypervolume(fis, ref=ref_point, maximise=True)

print(
    f"Feasible portfolios found : {len(feasible)} of {comb(n_assets, K)} possible"
)
print(f"Pareto-front portfolios   : {len(pareto_front)}")
print(f"Hypervolume               : {qmoo_hv:.4f}")

Feasible portfolios found : 70 of 70 possible
Pareto-front portfolios   : 26
Hypervolume               : 0.2487

fig = plt.figure(figsize=(8, 6))
ax = fig.add_subplot(111, projection="3d")
ax.scatter(
    fis[:, 0],
    fis[:, 1],
    fis[:, 2],
    c="lightgray",
    s=12,
    label="All feasible portfolios",
)
ax.scatter(
    pareto_front[:, 0],
    pareto_front[:, 1],
    pareto_front[:, 2],
    c="steelblue",
    s=45,
    label="Pareto front",
)
ax.set_xlabel("Negative risk")
ax.set_ylabel("Return")
ax.set_zlabel("Diversification")
ax.set_title("Risk / return / diversification Pareto front (8 assets)")
ax.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

Příklad velkého rozsahu na hardwaru

Nyní stejný pracovní postup na 40 aktivech (8 sektorů × 5) s výběrem $K=6$. Čtyřicet qubitů je příliš mnoho na přesnou simulaci (stavový vektor s $2^{40}$ amplitudami), takže úhly nelze optimalizovat tak, jako u osmi aktiv, a hustý obvod by byl pro současný hardware příliš hluboký. $\binom{40}{6} \approx 3.8$M platných portfolií je stále dost málo na klasické vyčíslení, což na konci využijeme jako přesné srovnání. Několik věcí se mění a nic jiného na metodě se nemění:

1. Natrénuj úhly pomocí simulátoru maticových součinových stavů (MPS), ne přesného stavového vektoru. Podle reference (Kotil et al.) fixujeme váhy cílů na stejné hodnoty, optimalizujeme jediné β, γ na simulátoru MPS a znovu je použijeme pro každý vektor vah v průchodu. (Trénujeme ve velikosti, ve které spouštíme — žádný přenos úhlů z malého na velké.)

2. Zřeď model rizika, aby se vešel na hardware. Plná kovariance propojuje všech 780 dvojic aktiv. Ponecháváme jen nejsilnější a nejlevněji směrovatelné vazby pomocí importance-aware QAP truncation a pro člen diverzity propojíme každý sektor lehkým prstencem. Díky tomu cíle zůstávají smysluplné, a přitom obvod zůstává v hardwarově přívětivé velikosti.

3. Udrž obvod mělký a skóruj poctivě. Směrování je stochastické, proto transpilujeme s několika semínky a ponecháme nejmělčí (a nespotřebuje se žádný kvantový čas). Portfolia se vždy skórují vůči skutečným, plným cílům. Zředění pouze utváří obvod, nikoli to, jak se portfolia posuzují.

Proč QAP truncation?

Ponechání největších vazeb každého aktiva pouze podle velikosti může vést k obvodu, který je řídký, ale přesto nepohodlný pro směrování. QAP truncation místo toho ponechává vazby, které jsou velké a zároveň fyzicky blízko na čipu, takže stejný rozpočet hradel koupí mělčí a pro hardware přívětivější obvod.

Krok 1: Mapování vstupů (zředěných pro hardware)

import csv
import urllib.request

# Download the committed market-data snapshot from the repo.
# --- 40-asset universe: 8 GICS sectors x 5 tickers (real market data) ---
# Load the committed market-data snapshot (real annualized returns and covariance).
# Values are stored at the precision used to train the shipped QAOA angles
# (mu: 3 dp, sigma: 4 dp), so the pre-trained parameters in instances/ stay exactly valid.

url = "https://raw.githubusercontent.com/Qiskit/documentation/main/datasets/tutorials/qmoo/market_data.csv"
urllib.request.urlretrieve(url, "market_data.csv")

with open("market_data.csv", newline="") as _f:
    _rows = list(csv.reader(_f))

# Covariance column order
_tickers_csv = _rows[0][2:]
# Asset tickers
tickers_40 = [r[0] for r in _rows[1:]]
# Annualized expected returns
mu_40 = np.array([float(r[1]) for r in _rows[1:]])
# Covariance (risk model)
sigma_40 = np.array([[float(v) for v in r[2:]] for r in _rows[1:]])

sectors_40 = [
    "Tech",
    "Tech",
    "Tech",
    "Tech",
    "Tech",
    "Energy",
    "Energy",
    "Energy",
    "Energy",
    "Energy",
    "Finance",
    "Finance",
    "Finance",
    "Finance",
    "Finance",
    "Health",
    "Health",
    "Health",
    "Health",
    "Health",
    "Staples",
    "Staples",
    "Staples",
    "Staples",
    "Staples",
    "Industrials",
    "Industrials",
    "Industrials",
    "Industrials",
    "Industrials",
    "Utilities",
    "Utilities",
    "Utilities",
    "Utilities",
    "Utilities",
    "REIT",
    "REIT",
    "REIT",
    "REIT",
    "REIT",
]
n_assets_40 = len(tickers_40)
K_40 = 6  # choose exactly K assets

sector_names_40 = list(dict.fromkeys(sectors_40))
sect_idx_40 = np.array([sector_names_40.index(s) for s in sectors_40])
# True cross-sector diversification matrix (used for scoring)
D_40 = np.array(
    [
        [
            0.5 if sectors_40[i] != sectors_40[j] else 0.0
            for j in range(n_assets_40)
        ]
        for i in range(n_assets_40)
    ]
)
np.fill_diagonal(D_40, 0.0)
print(
    f"{n_assets_40} assets, {len(sector_names_40)} sectors, choose K={K_40}"
)

40 assets, 8 sectors, choose K=6

# Sparsify the covariance so the risk circuit fits on hardware. A small diagonal
# shift (added after truncation) keeps the risk model positive semidefinite; at fixed
# K it adds the same constant to every portfolio, so it never changes the ranking.
# Importance-aware QAP truncation (Kotil et al. style): place the qubits on a line
# and use a Quadratic Assignment Problem to choose the layout that keeps the
# strongest covariance couplings within routing distance k of the swap network,
# then drop the rest. Unlike a fixed top-k cap, it keeps couplings that are both
# large AND cheap to route.
from scipy.optimize import quadratic_assignment as qap
from qiskit.transpiler.passes.routing.commuting_2q_gate_routing import (
    SwapStrategy,
)

# Truncation level: larger k keeps more couplings (deeper circuit)
k_truncate = 2
_dist = np.array(
    SwapStrategy.from_line(list(range(n_assets_40))).distance_matrix
)

def qap_truncate(Q, k):
    w = np.abs(Q.copy())
    np.fill_diagonal(w, 0.0)
    mask = (_dist <= k).astype(float)
    # Seed the QAP solver explicitly (by default it draws from NumPy's global
    # RNG, which SciPy is deprecating) so the truncation is reproducible.
    perm = qap(-w, mask, options={"rng": np.random.default_rng(42)}).col_ind
    keep = mask[np.ix_(perm, perm)]
    Qt = Q * keep
    np.fill_diagonal(Qt, np.diag(Q))
    return Qt

sigma_sparse = qap_truncate(sigma_40, k_truncate)
print(
    f"QAP truncation (k={k_truncate}): risk edges kept = "
    f"{(np.count_nonzero(sigma_sparse) - n_assets_40) // 2}"
)
ridge = max(0.0, -np.linalg.eigvalsh(sigma_sparse)[0]) + 1e-6
sigma_sparse = sigma_sparse + ridge * np.eye(n_assets_40)

# Diversity: couple each sector's assets in a ring (sparse stand-in for the
# same-sector pair count). Scoring still uses the true cross-sector matrix D_40.
def build_same_sector_hamiltonian(D_same, n):
    prob = OptimizationProblem("diversity_sparse")
    prob.binary_var_list(n)
    prob.minimize(quadratic=D_same)
    op, _ = prob.to_ising()
    return op.simplify()

D_ring = np.zeros((n_assets_40, n_assets_40))
for s in set(sect_idx_40):
    members = np.where(sect_idx_40 == s)[0]
    for k in range(len(members)):
        i, j = members[k], members[(k + 1) % len(members)]
        D_ring[i, j] = D_ring[j, i] = 0.5

H_risk_40 = build_risk_hamiltonian(sigma_sparse, n_assets_40)
H_return_40 = build_return_hamiltonian(mu_40, n_assets_40)
H_diversity_40 = build_same_sector_hamiltonian(D_ring, n_assets_40)
cost_ops_40 = [H_risk_40, H_return_40, H_diversity_40]
n_zz = sum(
    1 for p in sum(cost_ops_40).simplify().paulis if str(p).count("Z") == 2
)
print(
    f"Cost-layer interactions: {n_zz} (dense would be {n_assets_40*(n_assets_40-1)//2})"
)

QAP truncation (k=2): risk edges kept = 78
Cost-layer interactions: 102 (dense would be 780)

Kroky 2–3: natrénování úhlů, poté sestavení a odeslání hardwarové úlohy

Čtyřicet qubitů je příliš mnoho na přesnou optimalizaci úhlů, takže trénujeme jedno $\beta, \gamma$ na simulátoru maticových součinových stavů při stejných vahách cílů a znovu je používáme napříč průchodem. Níže uvedená buňka načte předtrénované hodnoty ze souboru. Natrénovaný úhel nákladové vrstvy je malý ($\gamma \approx 0.32$), takže obvod aplikuje jemné vychýlení, nikoli ostrou projekci.

import json
from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService, SamplerV2

# Pre-trained angles loaded from a file (training is slow; QDC pattern).
# Set load_params_file = False to retrain in-notebook.
load_params_file = True
params_url = "https://raw.githubusercontent.com/Qiskit/documentation/main/datasets/tutorials/qmoo/qaoa_params.json"
params_path = "qaoa_params.json"
if load_params_file:
    urllib.request.urlretrieve(params_url, params_path)
    qaoa_params = json.load(open(params_path))
    p_layers_hw = qaoa_params["p_layers"]
    opt_betas_40, opt_gammas_40 = qaoa_params["betas"], qaoa_params["gammas"]
else:
    # Same workflow as the small-scale example: qaoa_training_pipeline's MPSAerEvaluator
    # evaluates the QAOA energy on Aer's MPS simulator and supports the XY mixer.
    # As in the small-scale example the trainer maximizes energy, so we negate the
    # (to-be-minimized) objective sum; the 1/n_obj scaling matches the equal-weight
    # point of the sweep, so the trained gamma transfers directly to the weighted circuits.
    p_layers_hw = 1
    training_op_40 = sum(-1.0 / n_obj * H_k for H_k in cost_ops_40).simplify()

    dt = 0.75
    grid = np.arange(1, p_layers_hw + 1) - 0.5
    init_params_40 = np.concatenate(
        (1 - grid * dt / p_layers_hw, grid * dt / p_layers_hw)
    )

    trainer_40 = ScipyTrainer(
        MPSAerEvaluator({"matrix_product_state_max_bond_dimension": 24}),
        minimize_args={"options": {"maxiter": 80}},
    )
    print("Training QAOA angles (MPS simulator)...")
    result_train_40 = trainer_40.train(
        cost_op=training_op_40,
        mixer=xy_mixer(n_assets_40),
        initial_state=product_init(n_assets_40, K_40),
        params0=init_params_40,
    )
    opt_40 = result_train_40["optimized_params"]
    opt_betas_40, opt_gammas_40 = (
        list(opt_40[:p_layers_hw]),
        list(opt_40[p_layers_hw:]),
    )
    import os

    os.makedirs(os.path.dirname(params_path) or ".", exist_ok=True)
    json.dump(
        {
            "p_layers": p_layers_hw,
            "betas": opt_betas_40,
            "gammas": opt_gammas_40,
        },
        open(params_path, "w"),
        indent=2,
    )
    print(
        f"Trained angles saved to {params_path} (set load_params_file=True to reuse)."
    )

c40 = ParameterVector("c", n_obj)
# Negated to match the trained angles' sign, as in the small-scale cell; binding keeps +gamma.
combined_cost_op_40 = sum(
    -c40[k] * H_k for k, H_k in enumerate(cost_ops_40)
).simplify()
qc_40 = qaoa_ansatz(
    combined_cost_op_40,
    reps=p_layers_hw,
    initial_state=product_init(n_assets_40, K_40),
    mixer_operator=xy_mixer(n_assets_40),
)
qc_40.measure_all()
b40 = [p for p in qc_40.parameters if p.name.startswith("β")]
g40 = [p for p in qc_40.parameters if p.name.startswith("γ")]
pmap = {b40[i]: opt_betas_40[i] for i in range(p_layers_hw)}
pmap.update({g40[i]: opt_gammas_40[i] for i in range(p_layers_hw)})
ansatz_qc_40 = qc_40.assign_parameters(pmap)

service = QiskitRuntimeService()

# only use Heron devices
backend = service.least_busy(min_num_qubits=156)

# SABRE routing is stochastic: different seeds give different depths. Transpilation
# is classical (it costs no QPU time), so we transpile many seeds and keep only the
# shallowest circuit -- a free reduction in two-qubit depth before anything is sent
# to hardware. Only this single best circuit is ever executed.
n_seeds = 24
best = None
depths = []
for seed in range(n_seeds):
    pm = generate_preset_pass_manager(
        optimization_level=3, backend=backend, seed_transpiler=seed
    )
    qc = pm.run(ansatz_qc_40)
    d2 = qc.depth(lambda x: len(x.qubits) > 1)
    depths.append(d2)
    if best is None or d2 < best[0]:
        best = (d2, seed, qc)
isa_qc = best[2]
sd = sorted(depths)
print(
    f"Backend: {backend.name} | {n_seeds} seeds | two-qubit depth "
    f"best/median/worst = {sd[0]}/{sd[len(sd)//2]}/{sd[-1]} (best seed {best[1]})"
)
print(
    f"Selected circuit -> two-qubit gates: {isa_qc.num_nonlocal_gates()}, "
    f"two-qubit depth: {isa_qc.depth(lambda x: len(x.qubits) > 1)}"
)

Backend: ibm_kingston | 24 seeds | two-qubit depth best/median/worst = 220/261/300 (best seed 22)
Selected circuit -> two-qubit gates: 787, two-qubit depth: 220

# Submit one batched job (job mode; a single batch needs no Session).
# Extra shots: noise lowers the post-selection yield
n_samples_40, shots_40 = 24, 1500
c_vecs_40 = random_uniform_simplex(n_samples_40, n_obj)
sampler_hw = SamplerV2(mode=backend)
# Tag hardware jobs for tracking
sampler_hw.options.environment.job_tags = ["TUT_QAMOO"]
# Seconds; guard against runaway jobs
sampler_hw.options.max_execution_time = 600

# The QAOA angles are already bound; only the objective weights c remain free.
# Assign each weight vector to get one concrete circuit per point on the simplex.
bound_circuits_40 = [
    isa_qc.assign_parameters({c40[k]: cv[k] for k in range(n_obj)})
    for cv in c_vecs_40
]
job_hw = sampler_hw.run([(qc,) for qc in bound_circuits_40], shots=shots_40)
print(
    f"Submitted to {backend.name}: job id {job_hw.job_id()} ({len(bound_circuits_40)} circuits)"
)

Submitted to ibm_kingston: job id darcaalvr3kc73einokg (24 circuits)

Krok 4: Následné zpracování do Paretovy fronty a vyčtení optimálních portfolií

result_hw = job_hw.result()

# Post-select feasible portfolios (exactly K assets), score on the TRUE objectives.
feasible_40 = set()
for s in range(n_samples_40):
    for bs in result_hw[s].data.meas.get_counts():
        # get_counts is little-endian; reverse so bit i = asset i
        bs = bs.replace(" ", "")[::-1]
        if bs.count("1") == K_40:
            feasible_40.add(bs)

def score_40(P):
    """Score portfolios given as an (n, K) array of asset indices.

    Returns an (n, 3) array of [negative risk, return, diversification], all framed
    as 'bigger is better'. This is the single definition of the true objectives,
    used for the hardware samples, the exact enumeration, and the random baseline.
    Looping over the K x K index pairs keeps memory O(n) even for millions of rows.
    """
    risk = np.zeros(len(P))
    div = np.zeros(len(P))
    for a in range(P.shape[1]):
        for b in range(P.shape[1]):
            risk += sigma_40[P[:, a], P[:, b]]
            div += D_40[P[:, a], P[:, b]]
    return np.column_stack([-risk, mu_40[P].sum(1), div])

def evaluate_40(bs):
    """Score one bitstring (bit i = asset i) with score_40."""
    idx = np.flatnonzero([b == "1" for b in bs])
    return score_40(idx[None, :])[0]

fis_40 = np.array([evaluate_40(bs) for bs in feasible_40])
pareto_40 = filter_dominated(fis_40, maximise=True)
print(f"Feasible portfolios collected : {len(feasible_40)}")
print(f"Pareto-front portfolios       : {len(pareto_40)}")

Feasible portfolios collected : 2359
Pareto-front portfolios       : 20

# --- Honest benchmark: QAOA and random vs the EXACT Pareto front ---
# 40 choose 6 = 3,838,380 feasible portfolios -- few enough to enumerate exactly, score
# every one on the TRUE objectives, and get the exact Pareto front. That front is an
# absolute ceiling, and its feasible nadir is a FIXED hypervolume reference point, so the
# numbers are comparable across runs instead of depending on what happened to be sampled.
import itertools

# Stream the combinations straight into an (n, K) index array, without first
# building millions of Python tuples.
combos = np.fromiter(
    itertools.chain.from_iterable(
        itertools.combinations(range(n_assets_40), K_40)
    ),
    dtype=np.int16,
).reshape(-1, K_40)
fis_exact = score_40(combos)
front_exact = filter_dominated(fis_exact, maximise=True)

# Fixed reference = worst value of each objective over ALL feasible portfolios (the nadir).
ref_fixed = fis_exact.min(axis=0)
# The hypervolume of a point set equals the hypervolume of its front.
hv_ceiling = hypervolume(front_exact, ref=ref_fixed, maximise=True)
hv_qaoa = hypervolume(fis_40, ref=ref_fixed, maximise=True)

def random_feasible_hv(n_draw, seed):
    """Hypervolume of n_draw uniformly-random feasible portfolios, same fixed reference."""
    rng = np.random.default_rng(seed)
    picks = set()
    while len(picks) < n_draw:
        picks.add(tuple(sorted(rng.choice(n_assets_40, K_40, replace=False))))
    P = np.array(list(picks))
    return hypervolume(score_40(P), ref=ref_fixed, maximise=True)

hv_rand = np.array(
    [random_feasible_hv(len(feasible_40), seed) for seed in range(20)]
)

print(f"Exact Pareto front            : {len(front_exact)} portfolios")
print(f"Hypervolume ceiling (optimum) : {hv_ceiling:.3f}")
print(
    f"QAOA (hardware)               : {100 * hv_qaoa / hv_ceiling:5.1f}% of optimum"
)
print(
    f"Random ({len(feasible_40)} draws, 20 seeds) : "
    f"{100 * hv_rand.mean() / hv_ceiling:5.1f}% +/- {100 * hv_rand.std() / hv_ceiling:.1f}% of optimum"
)

Exact Pareto front            : 61 portfolios
Hypervolume ceiling (optimum) : 64.211
QAOA (hardware)               :  85.5% of optimum
Random (2359 draws, 20 seeds) :  84.4% +/- 1.3% of optimum

Při této velikosti problému si QAOA vede zhruba stejně dobře jako rovnoměrné náhodné vzorkování. Obě metody obnoví velkou část hypervolume přesného optima a žádná zjevně nevede. Tento výsledek je očekávaný pro jedinou mělkou vrstvu QAOA se silně zkráceným nákladovým operátorem na zašuměném hardwaru; hodnota tohoto příkladu spočívá v kompletním vícekriteriálním pracovním postupu (mapování, trénování úhlů, vzorkování s omezením a Paretovo následné zpracování), nikoli v kvantovém zrychlení. Zmenšení odstupu od optima by vyžadovalo hlubší obvody (více vrstev QAOA), mírnější zkrácení nebo hardware s nižším šumem.

# The best trade-offs found by the sampler: no other sampled portfolio beats these
# on every objective. They approximate the exact front computed above; a
# decision-maker picks the trade-off they prefer.
bs_list = list(feasible_40)
# Boolean mask over fis_40; keep_weakly=True also keeps portfolios whose
# objective values tie with a front point (what the strict filter would drop).
mask = is_nondominated(fis_40, maximise=True, keep_weakly=True)
front_bs = [b for b, m in zip(bs_list, mask) if m]
front_f = fis_40[mask]
order = np.argsort(-front_f[:, 1])  # show a span sorted by return
print(
    f"{mask.sum()} non-dominated sampled portfolios. A representative span:\n"
)
print(
    f"{'tickers held':40s} {'risk':>7s} {'return':>7s} {'cross-sector':>12s}"
)
for idx in order[:: max(1, len(order) // 12)]:
    held = [tickers_40[i] for i, b in enumerate(front_bs[idx]) if b == "1"]
    print(
        f"{', '.join(held):40s} {-front_f[idx,0]:7.3f} {front_f[idx,1]:7.2f} {int(front_f[idx,2]):12d}"
    )

fig = plt.figure(figsize=(8, 6))
ax = fig.add_subplot(111, projection="3d")
ax.scatter(
    fis_40[:, 0],
    fis_40[:, 1],
    fis_40[:, 2],
    c="lightgray",
    s=8,
    label="Sampled portfolios",
)
ax.scatter(
    pareto_40[:, 0],
    pareto_40[:, 1],
    pareto_40[:, 2],
    c="tomato",
    marker="D",
    s=40,
    label="Pareto front",
)
ax.set_xlabel("Negative risk")
ax.set_ylabel("Return")
ax.set_zlabel("Diversification")
ax.set_title("40-asset Pareto front (quantum hardware)")
ax.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

20 non-dominated sampled portfolios. A representative span:

tickers held                                risk  return cross-sector
AAPL, NVDA, XOM, GS, BLK, CAT              1.715    2.22           13
NVDA, GS, MS, PFE, CAT, PLD                1.772    2.20           14
NVDA, MS, PFE, WMT, CAT, DUK               1.040    2.14           15
NVDA, CVX, GS, JNJ, KO, WMT                0.737    2.01           14
NVDA, COP, GS, JNJ, WMT, EQIX              1.014    1.98           15
NVDA, ABT, WMT, CAT, AEP, EQIX             0.913    1.92           15
NVDA, CVX, WMT, RTX, D, EQIX               0.835    1.82           15
NVDA, XOM, GS, JNJ, DUK, EQIX              0.763    1.80           15
AAPL, NVDA, JNJ, KO, RTX, SO               0.621    1.71           14
NVDA, CVX, BLK, JNJ, RTX, AEP              0.719    1.71           15
NVDA, JNJ, KO, COST, RTX, AEP              0.545    1.69           14
NVDA, CVX, ABT, WMT, HON, AEP              0.702    1.43           15
AAPL, GS, JNJ, PEP, AEP, EQIX              0.645    1.34           15
MSFT, XOM, BLK, JNJ, CAT, SO               0.617    1.34           15
MSFT, KO, WMT, RTX, SO, SPG                0.526    1.29           14
MSFT, XOM, BLK, JNJ, WMT, DUK              0.483    1.25           15
MSFT, CVX, JNJ, RTX, DUK, D                0.482    1.02           14
MSFT, XOM, JNJ, KO, HON, EQIX              0.479    0.93           15
MSFT, JNJ, PG, KO, RTX, DUK                0.423    0.86           14
MSFT, XOM, JNJ, PEP, DUK, AMT              0.476    0.57           15

Další kroky

Doporučení

Pokud tě tento tutoriál zaujal, zvaž následující:

• Nahraď stažená tržní data (market_data.csv) vlastními odhady výnosů a kovariance ze skutečné cenové historie.

• Zvyš počet vrstev QAOA, nebo trénuj na 12–16 aktivech a tyto úhly přenes, aby se hardwarová fronta přiblížila optimu.

• Přečti si Kotil et al., Quantum Approximate Multi-Objective Optimization (Nature Computational Science, 2025), studii max-cut, kterou tento tutoriál přizpůsobuje portfoliím.

Reference

1. Kotil et al., „Quantum Approximate Multi-Objective Optimization,“ Nature Computational Science (2025). arXiv:2503.22797

2. S. H. Sack and M. Serbyn, „Quantum annealing initialization of the quantum approximate optimization algorithm,“ Quantum 5, 491 (2021). arXiv:2101.05742