Řešení modelu Sherrington-Kirkpatrick pomocí ParityQC Parity Twine Optimizeru

Odhad doby využití: 10 sekund na procesoru Nighthawk r2. (POZNÁMKA: Jedná se pouze o odhad. Vaše skutečná doba běhu se může lišit.)

Co se naučíš

• Použijte Parity Twine Optimizer k vyřešení modelu Sherrington-Kirkpatrick.

• Nauč se, jaké možnosti Parity Twine Optimizer nabízí a jaké výsledky vrací.

Kontext

Tento tutoriál demonstruje, jak vyřešit model Sherrington-Kirkpatrick pomocí ParityQC Parity Twine Optimizeru.

Poskytuje kód pro formulaci problému zcela lokálně ve formě, kterou lze propojit s Parity Twine Optimizerem.

Model Sherrington-Kirkpatrick

Model Sherrington-Kirkpatrick (SK) je základní model ve statistické mechanice, konkrétně v oblasti studia spinových skel. Na rozdíl od standardního Isingova modelu, kde jsou interakce obvykle omezeny na nejbližší sousedy, je SK model modelem s nekonečným dosahem, což znamená, že každý spin interaguje s každým jiným spinem v systému. To vede k velmi složité, „členité“ energetické krajině charakterizované mnoha lokálními minimy, což je charakteristický znak chování skel.

Klíčovou vlastností SK modelu je frustrace. V modelu jsou síly interakce $J_{ij}$ mezi spiny náhodně rozděleny mezi kladné a záporné hodnoty. To vede k situacím (například v trojúhelníkových uspořádáích), kdy spiny nelze uspořádat tak, aby se minimalizovaly všechny interakce současně. V SK modelu, protože každý spin interaguje s každým jiným spinem, se tato frustrace kumuluje globálně, což vede k síti protichůdných omezení.

Matematická formulace

Stav systému je definován množinou $N$ Isingových spinů, $s_i \in \{+1, -1 \}$. Energie konkrétní konfigurace je dána hamiltoniánem:

$H = - \sum_{1 \leq i \leq j \leq N} J_{ij} s_i s_j$

kde $J_{ij}$ je síla vazby mezi spinem $i$ a spinem $j$.

V SK modelu jsou vazby $J_{ij}$ nezávislé a stejně rozdělené náhodné veličiny. Aby energie zůstala extenzivní (úměrná $N$), když $N \rightarrow \infty$, musí se rozptyl vazeb škálovat s počtem částic:

$J_{ij} \sim \mathcal{N} \left( 0, \frac{J^2}{N} \right)$

Základní stav pro dané $H$ je konkrétní konfigurace spinů ($s_1, s_2, ...s_n$), která minimalizuje energii. Nalezení základního stavu je NP-těžký optimalizační problém.

Požadavky

Před zahájením tohoto tutoriálu se ujistěte, že máte nainstalováno následující:

• Qiskit Functions Catalog IBM Client (pip install qiskit-ibm-catalog)

• Qiskit addon Optimization Mapper (pip install qiskit_addon_opt_mapper)

• NumPy (pip install numpy)

Také potřebujete oprávnění k přístupu k funkci ParityQC Twine Optimizer. Chcete-li o přístup požádat, vyplňte tento formulář.

Nastavení

(Tento kód předpokládá, že jste si již uložili svůj účet do svého lokálního prostředí.)

Nejprve importuj všechny balíčky potřebné pro tento tutoriál.

# Added by doQumentation — installs the packages this notebook needs if they are missing
import importlib.util

_needed = {"numpy": "numpy", "qiskit_ibm_catalog": "qiskit-ibm-catalog"}
_missing = [pip for module, pip in _needed.items()
            if importlib.util.find_spec(module) is None]
# One at a time, so a package that fails to install does not block the others
for _pip in _missing:
    %pip install -q {_pip}
if not _missing:
    print("\u2713 All required packages are installed")

import numpy as np

from qiskit_ibm_catalog import QiskitFunctionsCatalog

Načtěte Parity Twine Optimizer z katalogu Qiskit Functions:

catalog = QiskitFunctionsCatalog(channel="ibm_quantum_platform")
function = catalog.load("parityqc/parity-twine-optimizer")

Krok 1: Definování problému jako účelové funkce

Namísto získání SK problému z knihovny, jak to děláme u problému rozdělení trhu, ho formulujete přímo.

Funkce generate_sk_problem formuluje SK problém přímo v požadovaném formátu slovníku. Jediným požadovaným vstupem je n, počet spinů v modelu.

def generate_sk_problem(
    n: int,
    coupling_mean: float = 0.0,
    coupling_std: float = 1.0,
    local_fields_mean: float = 0.0,
    local_fields_std: float = 0.0,
    edge_density: float = 1.0,
    ensure_extensivity: bool = False,
    seed: int | None = None,
) -> dict:
    """Generate the Sherrington-Kirkpatrick (SK) model with varying
     edge density.

    Samples couplings and local fields via ``generate_couplings_sk_model``
    and assembles the corresponding Ising Hamiltonian

        H = -∑_{i<j} J_ij z_i z_j - ∑_i h_i z_i,

    where z_i ∈ {-1, +1}.

    Args:
        n: Number of spins (>= 2).
        coupling_mean: Mean coupling before optional SK scaling.
        coupling_std: Coupling std before optional SK scaling.
        local_fields_mean: Mean longitudinal field.
        local_fields_std: Std of the longitudinal fields.
        edge_density: Fraction of non-zero couplings, in ``[2/n, 1]``.
        ensure_extensivity: Whether to apply the SK 1/n scaling.
        seed: random number generator seed.

    Returns:
        An encoding the SK Hamiltonian.

    Raises:
        ValueError: If ``n < 2``, ``coupling_std < 0``, ``local_fields_std < 0``,
            or ``edge_density`` is outside ``[2/n, 1]``.
    """
    couplings, local_fields = _generate_couplings_sk_model(
        n=n,
        coupling_mean=coupling_mean,
        coupling_std=coupling_std,
        local_fields_mean=local_fields_mean,
        local_fields_std=local_fields_std,
        edge_density=edge_density,
        ensure_extensivity=ensure_extensivity,
        seed=seed,
    )

    # Handle quadratic terms: coupling[i, j] * zj[i] * zj[j]
    # Only iterate over the upper triangle (i < j)
    sk_problem = {
        str((i, j)): float(couplings[i, j])
        for i in range(n)
        for j in range(i + 1, n)
        if couplings[i, j] != 0
    }

    # Handle linear terms: local_fields[i] * zj[i]
    sk_problem.update(
        {
            str((i,)): float(local_fields[i])
            for i in range(n)
            if local_fields[i] != 0
        }
    )

    return sk_problem

Použij funkci _generate_couplings_sk_model k výpočtu náhodných vazebních členů v SK modelu. Pro větší kontrolu nad vazbami můžeš použít volitelné argumenty, které jsou vysvětleny v docstringu funkce.

def _generate_couplings_sk_model(
    n: int,
    coupling_mean: float = 0.0,
    coupling_std: float = 1.0,
    local_fields_mean: float = 0.0,
    local_fields_std: float = 0.0,
    edge_density: float = 1.0,
    ensure_extensivity: bool = False,
    seed: int | None = None,
) -> tuple[np.ndarray, np.ndarray]:
    """Generate random couplings and local fields for an Ising / SK model.

    Couplings are Gaussian. With ``ensure_extensivity=True`` they follow the
    Sherrington-Kirkpatrick scaling ``J_ij ~ N(coupling_mean/n, coupling_std^2/n)``
    (extensive energy, O(n)); otherwise ``J_ij ~ N(coupling_mean, coupling_std^2)``
    (energy O(n^2)). Fields are ``h_i ~ N(local_fields_mean, local_fields_std^2)``.

    ``edge_density`` sets the fraction of the ``n*(n-1)/2`` possible couplings that
    are non-zero (1 = fully dense). The kept edges always include a random spanning
    tree, so the interaction graph is guaranteed connected. This requires at least
    ``n-1`` edges, so ``edge_density`` must be at least ``2/n``.

    Args:
        n: Number of spins (>= 2).
        coupling_mean: Mean coupling before optional SK scaling.
        coupling_std: Coupling std before optional SK scaling.
        local_fields_mean: Mean longitudinal field.
        local_fields_std: Std of the longitudinal fields.
        edge_density: Fraction of non-zero couplings, in ``[2/n, 1]``.
        ensure_extensivity: Whether to apply the SK 1/n scaling.
        seed: random number generator seed.

    Returns:
        Tuple ``(couplings, fields)``: a symmetric ``(n, n)`` matrix with zero
        diagonal, and an ``(n,)`` field vector.

    Raises:
        ValueError: If ``n < 2``, ``coupling_std < 0``, ``local_fields_std < 0``,
            or ``edge_density`` is outside ``[2/n, 1]``.
    """
    if n < 2:
        raise ValueError(f"n must be >= 2, got {n}")
    if coupling_std < 0 or local_fields_std < 0:
        raise ValueError(
            "coupling_std and local_fields_std must be non-negative"
        )

    # A connected graph on n nodes needs at least n-1 of the n*(n-1)/2 possible
    # edges, so edge_density has a hard lower bound of 2/n.
    min_edge_density = 2.0 / n
    if not min_edge_density <= edge_density <= 1.0:
        raise ValueError(
            f"edge_density must be in [{min_edge_density:.4g}, 1] for n={n} "
            f"(at least n-1 edges are needed to keep the graph connected), "
            f"got {edge_density}"
        )

    rng = np.random.default_rng(seed)

    j_loc, j_scale = (
        (coupling_mean / n, coupling_std / np.sqrt(n))
        if ensure_extensivity
        else (coupling_mean, coupling_std)
    )

    upper_idx = np.triu_indices(n, k=1)
    n_edges = len(upper_idx[0])

    # Select which edges are present.
    if edge_density < 1.0:
        n_keep = int(round(edge_density * n_edges))
        # Map each (i, j) node pair to its position in the flat upper-triangle list.
        pair_to_flat = {
            (int(i), int(j)): idx
            for idx, (i, j) in enumerate(
                zip(upper_idx[0], upper_idx[1], strict=False)
            )
        }

        # Random spanning tree: node perm[k] links to a random earlier node.
        perm = rng.permutation(n)
        keep = np.zeros(n_edges, dtype=bool)
        for k in range(1, n):
            child, parent = perm[k], perm[rng.integers(0, k)]
            i, j = min(child, parent), max(child, parent)
            keep[pair_to_flat[(int(i), int(j))]] = True

        # Fill the remaining budget with random non-tree edges.
        remaining = n_keep - (n - 1)
        if remaining > 0:
            keep[
                rng.choice(
                    np.flatnonzero(~keep), size=remaining, replace=False
                )
            ] = True
    else:
        keep = np.ones(n_edges, dtype=bool)

    n_present = int(keep.sum())
    if j_scale == 0.0:
        vals = np.full(n_present, j_loc)
    else:
        vals = rng.normal(loc=j_loc, scale=j_scale, size=n_present)

    couplings = np.zeros((n, n))
    couplings[upper_idx[0][keep], upper_idx[1][keep]] = vals
    couplings += couplings.T  # symmetrize; diagonal stays zero

    fields = (
        np.full(n, local_fields_mean)
        if local_fields_std == 0.0
        else rng.normal(loc=local_fields_mean, scale=local_fields_std, size=n)
    )

    return couplings, fields

Krok 2: Řešení problému pomocí Parity Twine Optimizeru

Pomocí výše uvedených funkcí můžete nastavit SK problém a najít řešení pomocí Twine Optimizeru a zvoleného backendu IBM Quantum®.

Chcete-li spustit funkci, zvolte vhodný backend, například ibm_phoenix.

Pro další kontrolu nad odesláním můžeš volitelně použít možnosti (options):

options = {
    "shots": 100000,
    "postprocessing_level": 1,
    "transpile_only": False,
    "job_tags": ["sk"],
}

kde shots je celé číslo, které určuje počet spuštění obvodu, postprocessing_level určuje, zda se na výsledek použije následné zpracování, transpile_only určuje, zda je problém pouze transpilován do obvodu (a nikoli vyřešen), a job_tags je štítek k identifikaci úlohy na IBM Quantum Platform.

Velikost SK modelu je definována $N$, počtem interagujících spinů. Jakmile zvolíš $N$, výše uvedený kód vygeneruje problém pro n_spins.

Spusťte optimizer:

n_spins = 50
sk_problem = generate_sk_problem(n_spins)

function_job = function.run(
    problem=sk_problem,
    variable_type="spin",
    backend_name="ibm_phoenix",
    options=options,
)
print(f"Job ID: {function_job.job_id}")

Zkontrolujte stav úlohy:

# Monitor the job status
function_job.status()

Načtěte výsledky:

result = function_job.result()

result

Výsledek má tvar:

{
    'solution': {'0': 1, '1': 1, '10': 1, '11': 1, ... },
    'objective_value':  -240.5425312543882,
    'solution_bitstring': '00001101110100100111001110101001101111111011001110',
    'metadata': {
        'circuit_metrics': {
            'depth': 523,
            'gate_count': 10118,
            'two_qubit_gate_depth': 196,
            'two_qubit_gate_count': 2499,
            'num_qubits': 50,
            'operations': {'sx': 3353, 'rz': 3320, 'cz': 2499, 'delay': 894, 'measure': 50, 'x': 2},
        },
        'solver_info': {
            'variable_mapping': {'0': 0, '1': 1, '10': 2, '11': 3, ... },
            'bitstring_distributions': {
                'before_postprocessing': {'011101110010110111001110011000': 1, ... },
                'after_postprocessing': {'011011110000110101001111011000': 1, ... }
            },
            'best_parameters': {
                'beta': [-0.4602084830507902],
                'gamma': [1.8500357096574955]
            }
        },
        'resource_usage': {
            'RUNNING: MAPPING': {'CPU_TIME': 290.272},
            'RUNNING: OPTIMIZING_FOR_HARDWARE': {'CPU_TIME': 0.494},
            'RUNNING: WAITING_FOR_QPU': {'CPU_TIME': 8.775},
            'RUNNING: EXECUTING_QPU': {'QPU_TIME': 31.0},
            'RUNNING: POST_PROCESSING': {'CPU_TIME': 162.96},
        },
    }
}

kde slovník solution odpovídá qubitům definovaným v problému a udává jejich optimalizované hodnoty spinu pro hamiltonián SK modelu. Tato konkrétní sekvence spinů v optimálním řešení představuje konfiguraci, která minimalizuje celkovou energii systému na základě daných náhodných sil interakce. V SK modelu to lze považovat za stav s nejnižší energií neuspořádaného magnetického systému.

metadata poskytuje informace o transpilaci (počty/hloubka dvouqubitových hradel, použitá hradla, aktivní qubity) a různé časy běhu.

Další kroky

Doporučení

• Požádej o přístup k funkci vyplněním tohoto formuláře.
• Navštiv referenční dokumentaci API pro tuto funkci Qiskit.
• Přečti si průvodce.
• Vyzkoušej tutoriál pro použití Parity Twine Optimizeru na problém rozdělení trhu.
• Přečti si preprint Connectivity-aware Synthesis of Quantum Algorithms, Drier et al. (2025) na ArXiv.